1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Записав уравнения, приведенные в решении задачи 807, и умножая их на е к Л , получим для поперечной части потенциала Ак(£):qkx(t)+ijiqkx(t)=Fkx(t),(1)гдеi k ( )(2)а го(£) — радиус-вектор частицы в момент времени t, v — ее скорость в этотже момент времени. В нерелятивистском случаеm r 0 = F + еЕ(г 0 ),(3)где т — масса частицы, F — действующая на частицу сила неэлектромагнитного происхождения,Е(г 0 ) =— [ ekA<jkAeik-ro ( Л )1(4)7TV2 J— напряженность поля излучения в той точке, где находится частица. Мы неучитываем силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля, таккак предполагается, что ! ) < с . Уравнение (1) представляет собой уравнениевынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы Fk\(i).Движение частицы и электромагнитного поля, взаимодействующих междусобой, описывается системой уравнений (1), (3).§4.
Разложение электромагнитного поля на плоские волны585820. Изменение энергии одного осциллятора:Скорость изменения энергии поля:821.Сила Fkx(t) в данном случае принимает видгде6kA = — ^ = ( v o • е к Л ) ,7Г\/2v0 =(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля,так что орты вкА — вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819,получаемЯ** =,кА,(coso;o* -coswkt),если в начальный момент времени t = 0 осцилляторы поля не были возбуждены.
Это значение дьА подставим в выражение для скорости изменениякЛэнергии поля излученияatUJ£, найденное в задаче 820:- и%Интегрируя последнее выражение по t от 0 до t, получим количество энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (к, Л):dtu?-uZ\ 2o;k2~~2|Wk+woWk-^o4^oJ'586Глава XIIПри u>k = UJQ и t —> оо второй член в скобках очень велик по сравнениюс первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит, следовательно, резонансным образом: в первую очередь возбуждаются те осцилляторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы Fk\.Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии, полученные осцилляторами поля, у которых частоты не сильно отличаютсяот и>о, направление к заключено внутри телесного угла d£l, а орт поляризации eki (еьг) имеет одно и то же направление:dWТc s( fco)tТ У "^ Л • "* c° ° s"( ""f c"" o ) t **•= У wkX == Д1Т32с JПодынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимумпри и>к = UIQ.
Этот максимум тем уже, чем больше t. При достаточнобольших t можно вынести плавно меняющийся множитель > — ,заY Wk + Woзнак интеграла, положив в нем и>к = и>0. В оставшемся интеграле можноустремить 6 к оо. Тогда он примет вид (см. приложение 1):оо11 — cos att —* оо.da = nt,Мы получим, таким образом:dW2с3Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хорошо известный результат:~dT=ldWdu2где через vt du2=g22347ГС?'= -у обозначена средняя скорость колеблющейся частицы,через •& — угол между направлением vo и направлением к. При выводепоследней формулы мы воспользовались легко получаемым соотношением(v 0 • e k i ) 2 + (v 0 • e k 2 ) 2 = и2, sin 2 д.§4.
Разложение электромагнитного поля на плоские волны587Интегрированием по углам находим полную интенсивность излучения823*. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 819. Пренебрегая реакцией излучения, подставим в уравнение (3) напряженность поля Е = Ео cos u)t падающей волны. Его решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид:r(t) то=^-Еo Р4rWQДвижение частицы под действием падающей волны будет возбуждатьосцилляторы поля излучения согласно уравнению (1) задачи 819, в которомнужно силу Fk\ выразить через r(i):е22шТП7Г \/2вкл •ЕЕо оssmut.Орты поляризации выбраны вещественными. Решая уравнения (1) задачи 819 с начальным условием <7кл(0) = 0, получим:wи\е2( E o екл)qk\(t) =-= • — 2^—~2/ . s i .n w f • .ч2T(- sinukt).Поступая далее так же, как в задаче 821, найдем интенсивность излучения в направлении к с поляризацией, характеризуемой ортомe4dWkX_^(E0e2k AE%duc^)2)I me 2 / (wg-w 2 ) 2'l^dUt dUИз (2) видно, что рассеянное излучение линейно поляризовано в плоскости, проходящей через Ео и к.
Вводя угол fl между векторами Ео и к,получим:2da = SjLdL = ( е \*и*{ Чdu(w'что находится в полном согласии с результатом задачи 799. Интегрированием по углам находим полное сечение рассеяния:=Ъ*(е2\23 \тс*)и4{и2-и2)2'ГЛАВАXIIIИЗЛУЧЕНИЕПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦС ВЕЩЕСТВОМ826. Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и времени:E(R,, t)=f 8{Y, w )e i < k ' R --'*> (dk) d w . . . ,получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений относительно амплитуд Фурье:£ n • v - l),хп хf n .
v - l),(1)здесь Ji?(k, w) — амплитуда Фурье магнитного поля, к = ^fxn, x — параметр, выражающийся через ш и k, n - единичный вектор. При выводе (1)нужно учесть, что амплитуда Фурье функции J(R—vf) равна - Ц J(k-v—ш)и что (J(ax) = тЦй(ж). Из системы (1) определяются 8 и Ж:ИИзлучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом589Для определения полей нужно произвести обратное преобразованиеФурье. Начнем с вычисления EZ(R, t). Как следует из (2):поэтому2тгсг У—ооJJe(xr - е)Ох exp<z^rx[rsin0cos^ — у) — zcosfl] >6(0yccose — l)siпвdвdФ.(3)Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху, <р — угол между ги осью х, (3 = ^,6 иФ — полярные углы п.Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя J o l ^ x r s i n f l )(см.
П 3.11).Интеграл по в имеет вид:I /(в)6(13х cos 0 - 1) sin в dO = - ^ООн отличен от нуля только в случае, еслиизменения х равен 1//3. В формуле (3)вследствие наличия ^-функции, но послеисчезнет, и нужно будет учесть нижнийвиде.Интегрируя (4) по у, получим/" <^(у)5(у - 1) dy.(4)-0х(ЗУС ^ 1, поэтому нижний пределэто учитывается автоматически,интегрирования по у ^-функцияпредел интегрирования в явном(5)Подставим (5) в (3) и введем вместо УС переменную х = .1УС2 —=^;поскольку УС меняется в пределах от 1/(3 до оо, х будет меняться от 0 до оо.Тогда Ez{R,t) запишется в виде:•ЧНxdx590Глава XIIIФормула (П3.16) позволяет провести интегрирование по х:Ez(R,t) = - ^ у (l - ф-)к0(згУш(«-*)и>сЬо,(6)где обозначено s 2 = ^ — ^е(и>).
Знак s нужно выбирать так, чтоvсбы Re s > 0, в противном случае интеграл по ш оказывается расходящимся.Интегрирование п о и в (6) можно провести, только задавшись конкретнымвидом функции е(и>).При вычислении EX(R, t) также начинаем с интегрирования по Ф.Интегрирование по в выполняется с помощью ^-функции. При последующем интегрировании по х = .Ы2— ^ИУЖНО воспользоваться форму-лойкоторая получается из (П3.16) дифференцированием по г, если учесть,что J'o = - J i , K'o = -KLВ результате находимEx(R,t) = c o s ^ I ^ ( « O e * " ^ - * ) cku.Компоненты Ey(R, t) и H(R,f) определяются таким же путем.
Еу отличается от Ех заменой cos <p на sin <p; поэтому в цилиндрических координатахимеемооEr(R,t) = ^ j^ ( « У " ^ - ' ) du, ^ = 0.(7)—ооДля Н получимоо£j)e*"(»-*) ^Я, = Я г = 0.(8)Как следует из формул (6)-(8), электромагнитное поле обладает аксиальнойсимметрией.Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом591Полученные формулы справедливы только в области г ~> а, где а —величина порядка межатомных расстояний. В области г ^ а необходимоучитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.827. Как следует из формул (6)-(8) предыдущей задачи, монохроматические компоненты полей Е Ы ( Н , t) и Н Ы ( Н , t) имеют вид:Ешг(Ъ*) = j g (l - -^где(2)a Kn — модифицированные функции Бесселя.В волновой зоне \sr\ 3> 1, вследствие чего можно использовать асимптотическое выражение (П3.8) для функций Кп:(3)Из (2) следует, что при вещественном S(CJ) s будет вещественным, еслн -=j > е(о>) или /3n(uj) < 1 (п(а>) — показатель преломления для волнс частотой а>).
При /Зп(ш) > 1 s будет чисто мнимым.Если s — вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит.При чисто мнимом s амплитуда полей в волновой зоне будет менятьсякак 1/у/г, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что этиволны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет происходить излучение.Запишем s в виде±{JJc/I/2Y/3£\i±l n.{JJW- c VPriI nnО1/ л \1(4)и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужнопринять во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплекснымпоказателем преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателяпреломления п" действительно описывала поглощение энергии (т.
е. чтобыамплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется592Глава XIIIвыполнение условий п" > 0 при UJ > 0 и п" < 0 при UJ < 0. Считая п"весьма малым, можем записатьin»)* - 1 «Отсюда следует, что условие Res > 0 будет выполняться, если выбратьв (4) знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получимНо такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так какэкспоненциальный множитель в выражениях (1) примет видехрг(к • R — ujt) = expz[fc(;zcos0 + rsin#) — ujt),где к = ^п, cos0 = -£-, sin# =n/1уP(6)^ , kcosO = kz = к\\ и fcsin# =/3 П= k± — компоненты волнового вектора.Таким образом, при выполнении условия 0п(и)) > 1 частица, движущаяся в диэлектрике с постоянной скоростью v = 0с, излучает электромагнитные волны с частотой UJ (излучение Вавилова-Черенкова). Условие 0п > 1означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой и> в данной среде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
