1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Взаимодействие заряженных частиц с излучением573+ООгде /о = / с11ш — полная интенсивность излучения. Спектральное распре—ооделение (6) имеет характер резонансной кривой (рис. 130).Рис. 130Ширина спектральной линии характеризуется величиной Аи> = 7Естественная ширина линии очень мала (на графике длин волн онаравнялась бы ДА = Д ^ р = ^ г 0 = 1,17 • К Г 1 2 с м )) .Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискретнымипорциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классическойэлектродинамики), то неопределенность энергии фотонов AS = HACJ = flyсвязана со временем жизни возбужденного состояния т = i- соотношениемAS • т = П.(7)Это — частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения неопределенности для энергии-времени.795.^= 10е, где 7д =— допплерова ширинаспектральной линии, а через /о обозначена интенсивность при и> = и>0.
Ширина линии зависит от температуры и может служить мерой температурыгаза.574Глава XII796. Ца- = !£•+, где I =1Гdlu.797. Если волна поляризована вдоль оси х, тош~еЕхитт111'•\ 'где3 me3Энергия, поглощенная осциллирующим электроном,+ООAW=ООI eEx(t)x(t) <И=—оо?ХШО2^22 2,так как (х)ш = -шхш. Подынтегральная функция в последнем выраженииописывает спектральное распределение интенсивности поглощения. Из вида этой функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина 7> к а к и в случае испускания. Так как, по условию, ширинаспектрального распределения группы велика по сравнению с естественнойшириной линии 7, тооодЖ=2#|/где ^ = и) — LJQ. Нижний предел можно заменить на —оо, так как 7В результате интегрирования получим окончательно:2где го = -^~2 — классический радиус электрона.
Результат не зависит от 7тсЗависимость от частоты только косвенная: величина AW пропорциональна спектральной плотности SUo при резонансной частоте и>0 осциллятора.1Как легко проверить,+ООIООA(t) • B(t) dt = 2тгУ"(А,В* + А1ВШ) дш.§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением575Из вывода ясно, что тот же результат мы получили бы и в случае паденияна изотропный осциллятор неполяризованной и неплоской группы волн.В этом случае Sw представляла бы собой сумму интенсивности всех поляризованных волн частоты и>, входящих в эту группу.798. a) AW = 2n2r0cSUo cos 2 tf;б) AW = n2r0cSUo sin 2 tf;в) AW =\n*r0cSuo.799. Уравнение движения гармонического осциллятора в данном случае принимает вид:(1)тесли пренебречь неоднородностью электрического поля в области, занятойосциллятором, и действием магнитной силы — эффектами порядка | .Решение уравнения (1), соответствующее вынужденным колебаниям,выражается формулой:_reEтШп — и>Отсюда для усредненной по времени интенсивности света, рассеянногов данном направлении, найдем:dU47ГС3'ег х nl 2 ='8тг( « 2 - ^ ) 7где 1? — угол между направлением п распространения рассеянного излучения и направлением поляризации падающей волны.
Плотность потокасЕ2энергии (усредненная по времени) в падающей волне 7о = -Б~^~- Д и ФФ е отгренциальное сечеиие рассеяния:da _1 dl=r422w sin •дПолное сечение рассеяния получается отсюда интегрированием поуглам:• - f ^ НО J dil87Гdг2^12(uii - u) Y576Глава XIIВ случае сильно связанного электрона, когда и>0 > со,8тгго^4Характерна зависимость сечения от частоты: а ~ to4.В случае слабо связанного электрона при малом лучистом трении 7 ~ 0, too ~ 0 и800. Н = — ^ Н - ( е а cost? - ге^)е~* ( а ; *'~ а ) , где •&, а — полярные углытс гнаправления п распространения рассеянной волны (направление распространения падающей волны вдоль оси z), A — амплитуда падающей волны.Из выражения Н видно, что рассеянная волна оказывается, вообщеговоря, эллиптически поляризованной.
Волны, рассеянные вперед и назад,поляризованы по кругу. Волна, рассеянная в плоскости ху, поляризованалинейно. Дифференциальное и полное сечения рассеянияda _ _ 2 ( l + cos 2 #)_8ж2801. p = cos2tf.802. В случае линейно поляризованной волны:(1 — pcosu)- (1-р)sin2*cos2a],где 1?, а — полярные углы направления распространения рассеянной волны, ось z параллельна скорости v заряда, (3 = ^, азимутальный угол аотсчитывается от направления вектора Б в падающей волне.В случае неполяризованной волны:§ 4.
Разложение электромагнитного поля на плоские волны803. Решая уравнение движения осциллятора в магнитном поле Н || zтак, как это делалось в задаче 695, получим пришш1г = Ai(e x + геу)е-« °- ^+ А2(ех - геугде Al, А2, Аз — постоянные интегрирования, определяемые из начальныхусловий.Из выражения г видно, что осциллятор, помещенный в магнитное поле,становится анизотропным, частота его колебаний расщепляется на 3 частоты: шо и шо ± шь- При наблюдении излучения в любом направлении поляризация каждой из монохроматических компонент оказывается, вообщеговоря, эллиптической. В частности, вдоль оси z (вдоль поля Н ) наблюдаются две спектральные линии, поляризованные по кругу в противоположные стороны.
В перпендикулярном к полю направлении наблюдаются всетри монохроматические компоненты, поляризованные линейно. При этомвектор электрического поля несмещенной спектральной линии колеблетсяв направлении магнитного поля, вектора же электрического поля у обеихсмещенных линий колеблются в перпендикулярном направлении.§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоскиеволны805.Еы(г) = - g r a d e r ) + Г^Нш(г) = rot Аш(г),Н к («) = гк х А к («),= гк х806.
а) Г(ЛЕЫ = ^ ^ Н ы ,rot Н ы = - ^ Еы+ 4£j w ,div fiHw = 0;б) гк х Е к = — £ В к , гк • D k =гк х Н к = i D k + ^Lj k , к • В к = 0;577578Глава XII*i- wrtXIZwc TJIift/T si_f\XT807. a)HivA -^tw-0-6),fc2c2Ak = 47rc/yw,-гск • A k + ецфъ = О;= 0.808. Воспользуемся формулой (XII.40'). Выполняя интегрирование поуглам, получимоПоследний интеграл не имеет, вообще говоря, определенного значения, таккак величинаNтINf • 1 J1 — cos kN= I sin kr dr =АГпри N —» ooоне стремится ни к какому определенному пределу.
Легко видеть, однако, чтонеопределенный член, содержащий cos kN, не дает вклада в потенциал у(г)при подстановке IN В разложение (XII.40) и переходе к пределу N —» оо.Это вытекает из того, что / c o se*k r (dk) —» 0 при N —» оо вследлоствие быстрых осцилляции. Таким образом, эффективно можно положитьЗаметим, что значение / = lim IN = -г можно получить, например,ооN-юоесли определить / как предел / eо-6rКsin kr dr при 6 —» 0.§ 4.
Разложение электромагнитного поля на плоские волны579Можно получить тот же результат и другим способом. Применяя к обеим частям равенства у?(г) = J tpketk'r(dk) оператор Лапласа Д, получимС другой стороны, выражение компоненты Фурье (Ду)к = — ^мож-27Гно получить, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона Aip = —4ne5(r). Приравнивая эти два выражения для (Ду)к. получимдля <рк прежний результат.809. Е к = -iky> k =-^810.
Так как объемная плотность р(г, t) = eJ(r — vf), тоvt)e-i(-k-r«(г -(27Г) 4+оо—ооОтсюда с помощью результатов предыдущей задачи находим_е_ 5(к-\-ш)' 2тг2 ', 2 _ и?_'с2Таким же образом можно получить, что<S(k • v — и>)e v27Г2Сk2 -—Используя выражения компонент напряженностей поля (см. решениезадачи 805), получим:.k w5(к • v — ае227Г, 2 _ а^.с2РJ(k • v - w)H k w = ik x A k w = i - V ( k x v)- ,2 w2580Глава XIIВо всех компонентах поля присутствует множитель J(k • v — UJ), обязанныйдисперсионному уравнению w = k • v. Благодаря этому, все разложенияФурье электромагнитного поля в данном случае фактически являются нечетырех, а трехмерными. Например, в случае потенциала ip:JJ(k)-ooIK.2L2КШ~-Jгде=е22тг812.
Рассмотрим вычисление скалярного потенциала. Согласно уравнениям в) решения задачи 8071.2W2е = Ц = 1).Компонента Фурье плотности заряда:= -фр/[Р • grader - v*)]e-'(k-'-*)(dr) dt =Дисперсионное уравнение w = k • v имеет тот же вид, что и в случаеполя равномерно движущегося точечного заряда (см. задачу 810). Поступаяпри вычислении <p(r, t) в соответствии с указанием к задаче 811, получим:^где: Г00=P= (X - Vt,, 4- ^, , %-% ), Г* =\77-^,[ают длядля BiАналогичные вычисления даютвекторного потенциалаv(P'(1)§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны581813.X Г816. Разложим все векторы, входящие в уравнения Максвелла, набезвихревую и соленоидальную1 (или продольную и поперечную — см.задачу 815) части:H = Hj_,н||=°-Приравнивая поперечные части векторов, получим из уравнений Максвелла:divEj_=0,divH = 0.jПродольная (безвихревая) часть электрического поля определяется уравнениями:divE||(r,t)=4irp(r,t),lrotE||(r,t) = 0,Jимеющими вид уравнений электростатики.
Время в них входит как параметр. Отсюда следует, что Ец — кулоново поле.817. Согласно результатам задачи 8076,= 0,(1)где а>к = кс.Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Его общее решение имеет вид:Коэффициенты а^л и б^л связаны между собой соотношением, вытекающим из вещественности [А(г, t) = А* (г, £)]:= e!. kA 6!.
kA ,ekA6kA = e!. kA a!. kA .'Разложение электромагнитного поля на продольную и поперечную части используетсяв одном из вариантов квантовой электродинамики. При этом разложении поперечная частьполя квантуется — ей соответствуют частицы (фотоны), продольная часть поля не квантуется.582Глава XIIЕсли выбрать орты, описывающие основные состояния поляризацииволн с противоположными волновыми векторами к и —к так, чтое к д = е*-ъ\,токА = Ь*_кХ,и(*)-f c(2)6кА = а*_кХ"+!f c1>"J(3)Напряженности поля Б, Н выражаются через координаты qk\(t):(5)Рассмотрим вычисленне энергии электромагнитного поляТак как Б, Н — вещественны, то можно написать:= \Мы воспользовались ортогональностью ортов поляризации, принадлежащих одному и тому же к, но разным А: е к 1 • е£ 2 = 0, а также формулой (П 1.15). Аналогичным образом вычисляется энергия магнитного поля.Для полной энергии электромагнитного поля получаем:W=\j£ ( * * « * + ^9кАЙА)(Л).Она складывается из энергий(6)§4.
Разложение электромагнитного поля на плоские волны583отдельных «осцилляторов поля». Энергию поля (6) можно выразить непосредственно через коэффициенты а^л, используя выражение (3):W = 2 f"£ulakXa*kX(dk).J(8)XАналогичным образом получаем для импульса поля выражение:.(9)Рассмотренные в этой задаче осцилляторные координаты q^x аналогичны координатам, описывающим нормальные колебания механическойсистемы (главное отличие от механики состоит в том, что поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы).
Эта аналогияпозволяет применять формальные методы квантовой механики к решениюзадач квантовой электродинамики.818.А(г, t) = -±= j Y,ekA [Qkx(t) cosk • г - ±Qkx(t) sink • г] (dk),Е(г, t) =H(r,t) =^ - / ^2 e k A [QkA cosk • г + wQ kA sin k • r] (dk),nV2J A7Гу2xПри выводе выражения для Е(г, t) мы использовали то обстоятельство,что координаты QkA удовлетворяют уравнениюВыражение энергии поля проще всего получить из формулы (8) предыдущейзадачи, выразив входящие в нее коэффициенты а^л и а£ л через QkA и Qk\'-Отсюда584Глава XIIИз последней формулы видно, что энергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности такой же вид, как в случае механической колебательнойсистемы:(9)W = J ^Wbxidk),где WkA = £(<&+<*2<ЙА)Вычисление импульса поля G дает:Импульс отдельного осциллятора GkA связан с его энергией формулойGkA =^Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случаечастиц, движущихся со скоростью света в направлении к (фотоны!).819.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
