1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Учитывая, что а = а', получим окончательно:(2)В случае ультрарелятивистских частиц v' = си угловое распределениев системе 5 упрощается (ср. с задачей 572):F{d,a) = FW*>),a]-i—^-( £ )(3)Заметим, что частицы, движущиеся в системе 5 под разными углами i9,обладают различной энергией, несмотря на то, что в системе S' у них однаи та же энергия.633. Функция распределения / является инвариантной величиной.Это означает, что при переходе к другой системе отсчета 5':где в правой части равенства надо выразить г, p u t через штрихованныевеличины по формулам (Х.4).634. Обозначим через п\ и п2 числа рассеиваемых и рассеивающихчастиц в единице объема.
Рассмотрим процесс рассеяния в системе S. Общее число частиц dN, рассеянных в интервал телесного угла du за время tрассеивающими частицами, заключенными в объеме V, выражается, согласно определению сечения, формулой: dN = dcr^Jn^Vt,где J\2 = n\V\.В системе S' можно написать для того же числа dN аналогичное выражение: dN = dcr'^J^n^V't', где J'12 = n i l v i — V 2l ( в э т о и системе dNпредставляет собой число частиц, рассеиваемых в телесный угол d£l', соответствующий dil).
Таким образом,dN = da12n1n2v1Vt= da'^n'^- V2\V't'.(1)§ 1. Энергия и импульсВеличинащ =i n v—,поэтому501совокупностьчетырехвели-чин (rijVj,mjc) представляет собой 4-вектор (он пропорционален 4-скорости частицы). Отсюда следует, что^ ^ )(2)так как скалярное произведение двух 4-векторов инвариантно.
Учитывая (2)и то, что 4-объем инвариантен: Vt = V't', мы получим окончательноd°ii = d°i*•, _ , •lviv2|•(3)В том частном случае, когда v'j || v 2Vl =vi-v2l_V'l-V2c2(см. задачу 554) и из (3) следует, что сечение инвариантно:(4)da12 = da'12.Этот случай имеет место, например, при преобразовании от лабораторной системы отсчета к системе ц. и. Заметим, что если поток определитьформулой J12 = n\v, где v = v\ 11*22J, то сечение будет инвариантнопри произвольном преобразовании Лоренца (см. [6], §28.3).635.
dW=57-^Та. J dW = 1,где/3=^.636. / = -—-z, откуда 8 = тс2, где m — масса тг°-мезона.1 -Р2v/638. Поскольку импульс фотона р = ^, то (ср. с задачей 631):С _8'al _ ТПСа _ V502Глава XIСопоставив следующее отсюда выражение d§ =^- с угло-вым распределением 7-квантов распада, найденным в ответе к задаче 635,получим распределение вероятностей для энергий фотонов распада:Згде £т\п = (£"«/тахощщ— минимальное значение энергии 7-кванта распада(при •в = 7г), £тях = £'\-—-5 — максимальное значение энергии 7-квантараспада (при fl = 0). Отсюда видно, что спектр 7-квантов распада имеетв лабораторной системе отсчета прямоугольную форму, т.
е. любые значенияэнергии в промежутке от £т\„ до (? т а х равновероятны.639. m = 2640. m =m\ + m\ + 2 [у/ЩТгпЩЩТгг^)гпп = 139,58 Мэв.- pip2 cos д], с = 1;641. m\ = m 2 + m ^ - 2 [ y / ( p 2 + m 2 )(p 2 , + m 2 ! ) - pp? cos tf2], с = 1.642. m 2 = £ 2 - p 2 = m 2 + m 2irPV = e~5 =mivn„. с = 1.mi +m2Vl — V(mo— nil) — ТЛ2 .'а) Та/Тя = 58,5;mT 2=(mo — т г )2m0— nil'1C = 1'б) Tv/T» = 7,27;cгде m — масса исходного ядра, AS — энергия его возбуждения, при-чем me2 > AS.Из общих формул для Ti, Тг, а также из рассмотренных примеров видно, что большая часть энергии приходится на долю более легкой частицы.503§ 1.
Энергия и импульс644.Ть + 2тпьm,d + \/Т? + 2Тътпъ + miQ E + = Ю9,6 Мэв;М Е + = 1188,7 Мэв (Е+7Г+);Q E + = 116,1 Мэв;М Е + = 1189,3 Мэв (Е+7Г°).Оба обозначения M s + находятся в хорошем согласии друг с другом.645.,,Ag (.Ag \Энергия fkj, уносимая квантом, меньше, чем А§, на величину энергии (Д<£) 2 /(2тс 2 ), уносимой ядром отдачи. В условиях жесткой связи ядрас кристаллической решеткой последняя не получает энергии (так как еемасса М » т очень велика) и квант уносит всю энергию, Ни = A646. а) Закон сохранения энергии ограничивает равносторонний треугольник ABC (рис.
105а), высота ВО которого равна энергии распада Q == т — т\ — гп2 — гпз (с = 1). Расстояние от точки D до основания АСравно Ti по построению, расстояния от D до АВ и ВС легко вычисляютсяи оказываются равными Тг и Тз соответственно.б)Рис. 105б) Величины импульсов при заданных массах всех частиц определяются заданием двух энергий, например Ti и Тг (так как Тз = Q — Ti — Тг),или их двумя линейными комбинациями х и у.
Импульсы частиц, образовавшихся при распаде, являются сторонами треугольника (pi + рг + рз = 0504Глава XIв системе покоя распадающейся частицы). Углы треугольника характеризуют относительные направления вылета частиц и могут быть найдены поизвестным pi, р?, рзв) Границы разрешенной области определяются условиямиPi + Pi ^ РЗ,-РЗ < Pi - Р2 < РЗ-Эти условия приводят к области, заштрихованной на рис. 1056. Сверхуобласть ограничена прямой у = (т — mi) 2 /2m, снизу — гиперболой х =647. Диаграмма Далица имеет вид, изображенный на рис.
1056.а ) Т 1 г а х й Т 2 т а х й Т 3 т и й 69,8Мэв.6)228Мэв.«127Мэв,Максимальные импульсы всех трех частиц одинаковы.,УВ648.рис. 106.Диаграмма Далица в приближении Q <C m , приведена наOB = Q,R = Q/3,T m a x = 2Q/3«50Afoe.649. Диаграмма Далица приведена на рис. 107.OS = Q,T ma x ?si 210Afee.Внутренняя замкнутая кривая дается уравнениемх=±\23[(тш - тп^) - 2тшу]§ 1. Энергия и импульс505650. ^-функцию от 4-вектора нужно понимать как произведение четырех ^-функций от его компонент:S(Pi - Рп - Pi2 - Pa) = S(p - Pi - P2 - Рз) = S(g -Sx-82-#$)• (1)Произведя интегрирование по (dps) с помощью (1), придем к выражению/ ^iiy ^*з),где @z = m — S\ — 82, $ — угол между p i и рг.Представим (с^рг) в виде (сфг) = р\ Ф г ^ 2 .
где (Ю.2 — элемент телесного угла. Примем за полную ось направление p i ; тогда <й7г = 27rsint?dt?.Кроме того, р2 dp2 = 82 d&2, как следует из (XI.3). Преобразуем ^-функциюв (2), использовав формулу (П 1.18):+P2 +тз(3)Поскольку — 1 ^ cost? ^ 1, то интеграл (2) будет отличен от нулятолько при выполнении неравенствPi + Р2 > РЗ,Pi - Р2 < РЗ,Pl~P2^~РЗ,но именно эти неравенства определяют границы разрешенной области надиаграмме Далица.С помощью (3) и (П1.5), выполнив интегрирование по dd, получим/d p i d§2.-if*iPiJПерейдем теперь к интегрированию по переменнымТ2-Т3§i + 2& + тз - т 2 - т„.-^— =—, y = Ti =§i - m i ,\/3\/3которые использовались при построении диаграммы Далица.
Преобразовавэлемент dS\ d§2, найдемх == 2\/Зтг2 Г dxdy,где область интегрирования ограничена внутренней кривой диаграммы (см.рис. 1056-107).(2)506Глава XIПоследняя формула показывает, что элемент фазового объема dT == 2%/Зтг2 dxdy пропорционален элементу площади на диаграмме Далица.Энергии Г ь Г г и Гз частиц, образующихся при распаде, можно измерятьэкспериментально и наносить соответствующие точки на диаграмму Далица. При этом густота точек будет пропорциональна величине р (см. условиезадачи), которая, таким образом, может быть найдена из данных эксперимента.651. Рассмотрим 4-вектор энергии-импульса системы частиц р^ Онсохраняется, т.
е. его соответствующие компоненты до и после реакции равны между собой. При значении кинетической энергии Го, соответствующемпорогу реакции, образовавшиеся частицы покоятся в системе ц. и. (заметим,что в лабораторной системе отсчета частицы не могут покоиться при пороговом значении Го, так как это означало бы нарушение закона сохраненияимпульса). Вектор полного 4-импульса системы до реакции имеет в лабораторной системе вид:где So — полная энергия и ро — полный импульс на пороге.После же реакции в системе ц. и. 4-импульс равен р'г = (Мс, 0).
Вследствие инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-импульса, р\= Pi • Запишем последнее равенство в развернутом виде:М 2 с 2 = % + 2mi*b + m\c2 - р20,СоткудаГо = 2 ^ ~ ( М -mi - т)(М + mi + m).652. а)Г 0 = 288Мэв; б) Го = 160 Мэв; в)Г 0 = 763Мэв;Л 7,22тр(т + 2тр)сгде тпр — масса протона.В частном случае столкновения с протоном m = m p , имеемГ о = 6 т р с 2 = 5,63/эв.Приближенная формула для пороговой энергии:2При больших А, Го и 2 т р с .§ 1. Энергия и импульс507653. Т о = (mт+В случае а) имеем по приведенной выше приближенной формулеД £ = Т о = 2,18люв( т = 0).По точной формуле (см. задачу 574) мы получили бы больше наи 0,0012Afoe, где Q = — (М — mi — m)c2 — тепловой эффект реакции.В случае б) приближенная формула дает То = 2\Q\ = 7,96Мэв.
Отличие отточной формулы составляет 0,003 Мэв.654. Уравнение реакции имеет вид:7 + (частица) —» е + + е~ + (частица).Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 651):2^(+2m-mi)(mi +2mгде т — масса электрона (или позитрона). Когда частицы нет, такчто mi —у 0, пороговая энергия То —» оо, что и означает невозможностьреакции.Последний результат можно также получить, показав невозможностьвыполнения равенства /г» = р+» +р_», где /г», р+», р_» — 4-импульсы фотона,позитрона и электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
