1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Примем эту длину за 1.У неподвижного куба изображение ребра E'F' было бы слито с изображением А'В' (в предельном случае сколь угодно малого телесного угла,когда все лучи параллельны). В случае движущегося куба кванты от ребра E'F' достигнут фотопластинки одновременно с квантами от ребра А'В',482ГлаваХесли первые будут испущены раньше на время At = /о /с (в системе S).В это время ребро E'F' занимало положение E[F[ и до испускания света ребром А'В' проделало путь, равный Vlo/c. Следовательно, теперь ребро E'F' не будет загорожено ребром АВ, изображения ребер А'Е' и B'F'будут иметь длину V/c = (5, а не нуль, как у неподвижного куба, и всягрань A'B'F'E' сфотографируется в виде прямоугольника ABFE (рис.
98а)с соотношением сторон 1: /?.11а)Рис. 98Кванты, создающие изображения ребер А'В' и CD', испускаются кубом одновременно в системе S. В системе S', как следует из преобразованийЛоренца (Х.1), кванты с ребра CD' должны быть испущены раньше, чемглес ребра А'В', на время At' = -^fVl,' — длина ребер В'С и A'D' в сисстеме 5. Можно считать, что в системе 5 ' в точках, отстоящих друг от другана расстоянии Ах' = /о, произошли два события, одно на At' позже другого.Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (Х.1):I = Ах = 7(Дх' - VAt'),2откуда, подставляя Дх' и At', находим I = loy/l — /? — длину ребер ВСи AD в системе S.
Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их§ 1. Преобразования Лоренца483изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины л/1 - /З 2 .Чертеж изображения куба приведен на рис. 98а. Любопытно отметить,что такое же изображение даст неподвижный куб, повернутый относительно V на угол а = arcsin(Vyc). Видимая форма предмета в данном случаене испытывает деформации из-за лоренцева сокращения — предмет только«повернулся» на угол а. Этот результат, как оказывается (см. [24], а также следующие задачи),имеет место для любого предмета и любого угламежду скоростью и направлением наблюдения.Нужно только, чтобы предмет был виден подмалым под малым телесным углом.Если бы были справедливы преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С' не испытали бы лоренцева сокращения, и изображениеприняло бы вид, показанный на рис.
986. Задняя (по отношению к направлению движения)грань куба по-прежнему была бы сфотографирована. Таким образом, видимая форма движущегося предмета подверглась бы искажению.582. а) I = fo|\/l-/32cosa' - /?sina'|,Рис. 99/3 = V/c. Значение a ^ , при котором функция | \J\ — /З2 cos a' — /3 sin a' | имеет максимум,определяется условием t g a ^ = —/З/л/l — /З2.При этом I = 1о'- таким образом, наибольшая длина I равна /о- Изображение в этом случае эквивалентно изображению неподвижного стержня,ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень «повернулся» наугол тг - а' т а х .а) а' = arctg ( — — - — J; в этом случае изображение получится таким,как если бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярнофотопластинке.б) Если два наблюдателя, неподвижных в системе 5, одновременносделают зарубки на плоскости ху в точках М и N, мимо которых в данныймомент проходят концы стержня, то полученный ими отрезок MN будетсоставлять с осью х угола = arctg484ГлаваХ583.
Изображение будет иметь форму круга. Сфотографируется полусфера, заштрихованная на рис. 99. Она ограничена плоскостью А'В',составляющей угола' = arctg •0с направлением V (в системе шара). Вопреки естественному интуитивному представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем какэллипсоид, сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращениеоказывается невидимым! Но это, разумеется, не означает, что оно отсутствует.а)= cos aРис. 100584. Видимые положения куба изображены схематически на рис. 100.При V/c < cos а видна передняя грань A'D' и нижняя грань А'В'.
Еслив оптической системе фотоаппарата не происходит сокращения размеровпредмета, то1—0 cos a '1—0 cos а '§ 1. Преобразования Лоренца485С помощью этих формул находим угол i9 поворота куба:* = f2 - a - e ,где tgfl=При V/c = cos a имеем д = n/2 — a и видна только нижняя грань А'В'.При У/с > cos a видны нижняя и задняя грани,.тгi ? = 7 7 - a + arctg0 — cos a= .H2Vl-^iНаконец, при У/с —> 1 видна только задняя грань, нижняя грань испыталалоренцево сокращение до нуля, i9 = ж — а.585. Пусть в системе отсчета 5', связанной со средой, распространяется плоская волна с частотой ш и волновым вектором к.
(к' cos a', к' sin a', 0),k' _L Oz. Фазовая скорость волны v' = — = ^y в системе S' не зависит отпкугла а', определяющего направление распространения волны. Компонентыполя пропорциональны e~ tfc *% где к[ = (^-, к ' ) . Так как фаза faxi = к[х[ —инвариант относительно преобразования Лоренца, то h представляет собой4-вектор (волновой 4-вектор). Используя (Х.4) и (Х.14), мы можем найтикомпоненты ki в системе отсчета S, относительно которой среда движетсясо скоростью V || Ох, откуда(1)v =г2у/п'222+ 2f3n cos а' + /3 (1 - п sin a ' )(3)где /3 = V/c, 7 = (1 — / З 2 ) " 1 / 2 .
Из (3) видно, что фазовая скорость в движущейся среде зависит от направления распространения. Возникает своеобразная анизотропия, связанная с движением среды.586. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущейзадачи ( а ' = 0):- /3п(А')486ГлавахЗдесь А' = 2-кс/из', из' — частота, наблюдаемая в системе S', относительно которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находимс точностью до членов первого порядка по V/c:А' _ы _из'Л,nVсоткудас _ сп(А') ~ п(А)с_ dn д пУп2' d\си окончательноп(А)п2(А)Vп(А) d\§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры590.
На трехмерный тензор II ранга Аар (а, /9 = 1,2,3), два трехмерных вектора Аоа и Аао (а = 1,2,3), трехмерный скаляр Л591. Антисимметричный 4-тензор Aik может быть представлен в виде:(0-Bi-В2-В3~\-Bi0Л3-А2В2-Аз0ЛхВ3А2-Аг0где А = (i4i, А2, Аз) и В = {В\,В2,Вз)— трехмерные векторы (точнее,В — полярный, а А — аксиальный вектор).595. Инвариантная величинаимеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета; поскольку dxi (i = 0,1,2,3) — компоненты 4-вектора, то совокупность величин'Зал'•§ 2.
Четырехмерные векторы и тензоры487также является 4-вектором. Таким образом, оператор четырехмерного градиента, определенный в видегде V — оператор трехмерного градиента, преобразуется как 4-вектор.596.Vfc =Tik(_ддд_\дЧетырехмерная дивергенцияУЛ -+—д+—д+ —-invдРис. 101597. а) скаляр; б) 4-вектор.598. Перепишем условие параллельности векторов Ai и Bi в виде(умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число):Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим:Bi- a2iA2-— Q.21B2—599. Существенно различны четыре компоненты. Они совпадаютс точностью до знака с компонентами вектора Ai = ^ешт-^Ыт, откуда Ао = Ai23 = А231 = • • •, Ai = -А230= -<4i30 = ..., A3 = — А120 = А210 = ...= А320 = ..., А2 = Остальные компонентыравны нулю (у них имеются совпадающие индексы).
Отсюда следует, чтоне равные нулю компоненты Aiki преобразуются при четырехмерных поворотах и отражениях как компоненты четырехмерного псевдовектора.488Главах601. Если Xi = o.ikx'k, то матрица а имеет вид (координату XQ пишемна четвертом месте):а(cha_sh a~ ' 0О— shot— ch а000000- 1 00 -1,602. Искомую матрицу д можно представить в виде произведения трехматриц:g = g(ti,<p)g(a)g-\ti,<p).Матрица(1000\О — cos d cos ip sin ipsin i9 cos <p I0 — cos i9 sin ip — cos ip — sin i9 sin ip I0sintf0-COSTSJописывает пространственный поворот системы отсчета (рис. 101):Матрица(cha00 -sha>0 - 1 0000 - 1 0sha 00-chajсоответствует переходу к системе отсчета 5 " от системы S'", движущейс ося вдоль оси Хзскоростью V/c = th a (т. е.
описывает преобразованиеЛоренца для координат XQ, ХЗ). Наконец, матрица д~* ($, ф) описывает поворот, в результате которого система отсчета S' переходит в S'" (см. рис. 101).5 -1 (?9, ф) совпадает с матрицей, транспонированной к g(fl, ф). Перемноживматрицы, найдем:/cha[[whisha\ijJ2sha\w3shaгде—ш\ sh a— ьзг s h а—и>з s h a\u>i(lcha)lwiu^l—cha)wia;3(l—cha)\( h )^)()\ш\Ш2(\ — cha) — 1 u>2(l — cha) — 1и>2Шз{\ —cha) I 'ш\шз{\ — cha)шъшз(\ — cha) — 1 u>1{\ — cha) — 1/wi = sin ?9 cos ip,u)? = sin ?9 sin cp,Ш3 = cos i9.§ 3. Релятивистская электродинамика489§ 3.
Релятивистская электродинамика603. В вакууме:E =7(E'_YxH')-(7-i)v^,//VЛ(V-H')В средах:Формулы преобразования для пар векторов Е, В и D, Н аналогичны формулам преобразования пары Е, Н в вакууме.604. Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найденасистема S" (движущаяся со скоростью V), в которой Е' || Н', то в любойсистеме отсчета, движущейся относительно S" вдоль этого общего направления, Е и Н будут параллельны, как это следует из (Х.25). Будем искатьв связи с этим только ту систему отсчета S", которая движется перпендикулярно плоскости Е, Н. Воспользовавшись условием параллельностивекторов Е' и Н', Е' х Н ' = 0 и формулами преобразования из задачи 603,найдем:Е2 + Н2- у/(Е2 - Я 2 ) 2 + 4(Е • Н ) 2vТЕ Х Н2(Е х Н ) 2~'С помощью инвариантов поля получим далее222Е' = \[Е2 - Я + у/{Е2 - Я )Н12 =2\\Н2-Е2-605.
Для предварительного исследования удобно воспользоваться инвариантами поля. При Е > Я должна существовать система отсчета, в которой Я ' = 0, Е' = уЕР^Н^. При Е < Я существует система отсчета,в которой Е' = 0, Я ' = v/Я 2 - £ 2 .490ГлавахВ случае Е > Н имеем:у=сЕ=ЕВ любой системе S", движущейся вдоль Б ' с произвольной скоростью,магнитное поле также будет отсутствовать.В случае Е < Нv_~cHxEH2„, _ H'~н606. При x < JIс в системе отсчета, движущейся со скоростью V =2= с х/^параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е х Н, элек-трическое поле Е' = 0, а магнитное поле Н' = =£г \ 11 — с *\ .При х > J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V =параллельно оси цилиндра в направлении Е х Н , Я ' = 0 и £ ' =J/хy ( l -« 2 N.1/2При х = $ /с не существует такой системы отсчета, в которой имелосьбы только электрическое или только магнитное поле.
Как видно из приведенных формул, при х —» J?/с скорость такой системы отсчета стремиласьбы к с, а величины обоих полей — к нулю.607. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения dr х Н = 0, Е • dr = 0. Первое из них показывает, что dr \\ Н, т. е. drявляется элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в виде Fik dxk = 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность.Здесь Fik — тензор поля, dxk — приращения координат.б) Условие совместности системы имеет вид Е-Н = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
