1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 66
Текст из файла (страница 66)
По земным часам: At = 8 лет. При расчете запасов снаряжения следует брать в основу промежуток времени Д£о = 0,01Д£ ии 1 месяц по часам в ракете;Т = шс 2 (7 - 1) = 2,5 • 10 1 6 квт-ч.Это количество энергии в 10000 раз превышает годовую выработкуэлектроэнергии во всем мире в настоящее время.2 l o A tу -Для наблюдателя, связанного с первым масштабом (рис. 95а), сначала совпадут левые концы, потом правые; для наблюдателя, связанного со191^Iа)19б)Рис. 95вторым масштабом (рис. 956), — наоборот. С точки зрения наблюдателя,относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величиие скоростью, концы совпадают одновременно.552.тора г:Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-век-г±=г-гц,г'х=г'-гцПрименив к гц и г__| преобразования Лоренца (Х.1), получимr||=7(r||+Vt'),Окончательно:rx=r'x.474Главах553. A =554.
v = vy + vx =, где v и v ' —скорости в системах 5 и 5'. Можно также просто продифференцировать повремени радиус-вектор г, выраженный через г' и t' по формуле, полученнойв задаче 552.558. Угол томасовской прецессии определяется соотношением2<р = -22222v Jl - V /c + V Jl-v /carccos222 22V + v - V v /cПри t i , F < c угол уз и 0.При v —» с угол ip —» — arccos y ' l — V2/c2; если при этом и V —» с,то уз —> 7г/2.559. 1 560. а) V = 2 • 0,9 с = 1,8 с;б) V = 0,994 с.561.
Относительная скорость двух частиц в системе, связанной с одной из них: V = —Щ:—т. Отсюда2- V /c2= тс2\2В ультрарелятивистском случае So 3> m e 2 и, следовательно,тс22Если ускорению подвергаются электроны (тс = 0,5 Мэв), то, например,при SQ = 50 Мэв получается выигрыш мощности ускорителя в 200 раз: S == 10 000 Мэв.§ 1. Преобразования Лоренца475562. Эту задачу, как и задачу 554, можно решить двумя способами.Результат:.V1.,VV(7-1)(*'-У)У33V(У'-У)У'2232'где„_-, , v ' - VИз этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движетсяс постоянным ускорением v', то в другой системе отсчета ускорение v,вообще говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразованиявходит переменная скорость v ' частицы).563.
ш? = - 7 6 [*» - £ у £ ] = -7 4 [v2 + 7 2 ^ ] < 0, т.е.четырехмерное ускорение — пространственноподобный вектор.564. Пусть 5 ' — мгновенно сопутствующая частице система. Согласноответу к задаче 562,v' =7 2 [ v + ^ ( v - v ) v ] .(1)Отсюда квадрат ускоренияЕсли скорость частицы меняется только по величине, то v || v и3v' = 7 v .(3)Если скорость частицы меняется только по направлению, T O V J _ V H V - V == 0, так что2v' = 7 v .(4)Результат (2) можно получить и другим, более простым способом, воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным в предыдущей задаче. Квадрат u>f является 4-инвариантом.
Это значит,что вычисление u>f как в системе 5, так и в системе S' должно дать одини тот же результат. Замечая, что скорость частицы v ' = 0, получим формулу (2).476ГлавахV565. v(t) =x(t) = £ {В ультрарелятивистском пределе:v(t) и с,x(t) &В нерелятивистском пределе:и(£) = v0 + cut,x(t) = хо + vot + 2 Ш * 2 -566. Время разгона по часам в неподвижной системе:оВремя разгона по часам в системе, связанной с ракетой,__с,_ 1 + v/c2|v|l-v/c= 2,5 года.567. Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной скоростью Av и поворот на угол Atp = \A(p\, причем осьвращения проходит через начало координат и параллельна вектору А(р.Эти преобразования вследствие малости Av и А<р могут производитьсяв любой последовательности.
Таким образом, мгновенно сопутствующаясистема является вращающейся. Это вращение представляет собой чистокинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса(см. задачу 558).При « « с формулы (2) принимают види 6v,А(р и —^Svx v.2с2В этом пределе величинуможно рассматривать как угловую скорость томасовскои прецессии мгновенно сопутствующей системы относительно лабораторной системы 5.§ 1. Преобразования Лоренца477568. В системе S: cos a = , V l ,', V 2 ,.
В системе S":|vi||v 2 |cos a' = —(vi - V) • (v 2 - V) - ^ ( v i x V) • (v 2 x V)-—-22•2-V) -^(v2xV)569. Угол в системе S" стремится к нулю. Для того чтобы убедитьсяв этом, положим V = Voc, где |Vo| = 1. Вычислим cos a' по формуле,полученной в предыдущей задаче. Воспользовавшись формулой(а х Ь) • (ai х bi) = (а • ai)(b • bi) - (а • bi)(ai • b),получимс 2 - vi • V - v 2 • V + -L(vi • V)(v 2 • V)COS a ' =;^;^= 1,откуда a ' = 0.
Это сужение углового распределения является характернымрелятивистским эффектом, проявляющимся во многих явлениях.570. Определение угла аберрации сводится к вычислению двух углов(рис. 96): угла a i между направлением луча АС и направлением скорости v Земли в первом ее положении и угла а 2 между направлением ВСлуча и направлением скорости v ' Земли во втором ее положении (черезполгода). Угол аберрации 5 можно определить как 5 = (тг — а 2 ) — a i == 7г — a i — а 2 .
Углы а 2 и а 2 вычислим по формулам (Х.15), выразив ихчерез угол •д, который наблюдается в системе отсчета, связанной с Солнцем,между лучом ОС света и вектором скорости Земли:._/-/ГОтсюда находим1 — COS 6_ \1sin??478ГлавахЗаметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96,относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например,изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 6зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависитот скорости Солнечной системы относительно звезды.Avоу'=-уВРис. 96571. Если положение Земли на орбите определяется азимутальнымуглом <р, и а = (0, а,0, аа) — вектор, проведенный из точки (•&, а) небеснойсферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, тоа# = —(5cos?? • sin(a — <р),аа = -/3cos(a- <p).Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение годаописывает эллипс с полуосями (3 cos fl и (3.572.
Рассмотрим в системе S пучок внутри телесного угла dQ == sin fl dd da. В системе S' этот пучок будет наблюдаться внутри угла dQ' =cos i9 3= sin fl' dti' da'. Угол a = a', a cos fl' =—Цг. Отсюда1 /?cosi?21-е= sin •&' dd' da' =При этом, разумеется, f <KY = f dil =^^ dQ.§ 1. Преобразования Лоренца4791573.
Щ = £ ° • Щ = £ ° •~Р„ где ЛГ0 - полное числоdtf4тг dfi'4тг (1-0COS0')2видимых звезд.574. w = 7 w ' ( l + 5 ^ )или ш =^(1-*Ч( ? ), к =У575. Если изо — частота в той системе, где источник покоится и V —скорость источника относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую частоту из = изо* 1 — ^у (красное смещение).Угол а луча с направлением движения источника в системе его покояопределяется формулой:cosa = —-£-.Угол а близок к 90° только при V <g.c.
Если V —» с, то a —» тг.576. а)А =577. из = и,»-—-г ъ ,1 — р cos вЧастоты совпадают, из = изо при 0 = 0о, где cos0o = (1 — \/l — /32)//3;при этом J = Jo-v/l — /З 2 . Интенсивности сравниваются, J = JQ при 0 == 01 < 0о, cos0i = [1 — (1 — /?2)3/4]//?. Когда источник света находитсядалеко от наблюдателя, приближаясь к нему,так что 0 < 0о, частота из > изоиз-за эффекта Доплера («фиолетовое» смещение).
Если к тому же 0 < в\,то интенсивность J также превышает Jo — движущийся источник выглядитболее ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при 0 = 03 2и составляет J m a x = J 0 ( l + /?) / /у/1 — /3. При 0 > 0о частота из < изо, и наблюдатель видит «красное» смещение; интенсивность света теперь меньше,чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно заметны при V и с,когда(1 + /?) 3 / 2ИJ max — <Л)7Т7 ^ ^ *Л) i(1 - /?) 1 / 2а угол1/40О и \/2(1 - /3)< 1,480Главахтак что покраснение света начинается, когда источник находится еще далекоот наблюдателя, приближаясь к нему.
Это происходит, начиная с расстояний I и d/воЧисло фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале углов 0 < в < во, естьвоа в интервале во < в < пN2 =Очевидно, что Ni + iV2 = ATTJQ \/l — (З2 соответствует полному числу фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениям. Ni и N?равны между собой при /9 <С 1, когда cos do w 0.
Если же /3 приближаетсяк единице, то Ni делается много больше, чем ЛГ2. Таким образом в этомультрарелятивистском случае подавляющая часть света излучается в узкомконусе в < во, испытывая при этом фиолетовое смещение.578. Используя решение предыдущей задачи, получим(1 - в 2 ) 23(l-/?cos0) 'где /о = Jofi^o — изотропно распределенная сила света в системе покояисточника. Полный световой поток(4»)0одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе (сравнитьс результатом задачи 767).579.
Введем систему 5', связанную с зеркалом (5 — лабораторнаясистема). Обозначим через а'х и а 2 углы, образуемые волновыми векторами kj и к 2 падающей и отраженной волн с направлением скорости V§ 1. Преобразования Лоренца481зеркала (рис. 97). Частоту до и после отражения будем обозначать и}[ и и)'2соответственно. Аналогичные величины в системе S будем обозначать темиже буквами без штрихов. Будем исходить из известных законов отраженияв системе S': и)[ = ш'2 = о/ и а'2 = п — а\, откуда cosa 2 = ~ cosa^.Выражая а/ через ш, cos а' через cos а с помощью формул (Х.4) и (X. 14)и решая получившиеся уравнения относительно и)2 И COSОД»найдем:COSC*2 =—l + /3 2 )cosai-2/3l - 2 / 3 c o s a i + /32 'l-2/3cosc*i2U2=U\-Если /3 —> 1, то при нормальном падении на удаляющееся зеркалоа при нормальном падении на приближающееся зеркало ш? —> оо.580.ния.0,LJl = U>2-Угол падения равен углу отраже-581.Изображение создаетсяквантами света, одновременно достигающими фотопластинки.
Но этиа,'кванты испускаются точками движущегося тела, вообще говоря, неодновременно. Это происходит как вследствие неодинаковости расстояний различных точек тела до фотопластинки,так и из-за того, что события, одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой. Поэтому изображение движущегося предмета будетРис. 97не таким, как изображение неподвижного предмета.Кванты, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в системе S' (куба), достигнут фотопластинки одновременно. Длина изображения АВ будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием допредмета и фокусным расстоянием фотоаппарата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
