1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Применение формулы Кирхгофа в векторной форме (VIII.32)позволяет получить следующие выражения для поля излучения:sink'bs^ ) („ikR / sin к а \ / sfcf.6\Ea = -Щ = -ikabEo*— ( ^ )(^L)cos.)sina,(1+ cos.) cosa,где д, а — углы сферической системы координат с полярной осью, перпендикулярной плоскости отверстия, к'х = к sin •в cos a, k'y = к sin •в sin a —проекции волнового вектора дифрагированной волны.Угловое распределение излучения:где /о = тр^-Ео ~ интенсивность падающей на отверстие волны.§ 4. Когерентность и интерференция431478. Если направить оси х, у, z вдоль векторов Е о , Н о и к соответственно, то поле излучения:4Vika2E0eikRfcasintf/(M^a sin(v2где /о = ^§-^o "~ интенсивность волны, падающей на отверстие.При 1? < 1 имеемЭтот результат был получен в задаче 475 с помощью скалярной дифракционной формулы.§ 4. Когерентность и интерференция481.
Аи = ^ ~ £ 1 - ± - = ( А )Телесный угол когерентности независит от расстояния R до источника.482. ДА и 3,52 • 10~ 1 0 см; 1± ~ А ^ = 5,4 • 10~ 3 см; 1ц ~ ^3124= 7,1 см;3ДП ~ 1,3 • Ю - соте/wid; Д У = l jn ~ 2,1 • 10~ см .483. Д = 9,46 • 10 1 8 км, т. е. в 6,3 • 10 5 раз больше, чем расстояние отЗемли до Солнца. Отсюда следует, что 1±_ и 3,4 • 10 3 см — в 6,3 • 10 5 разбольше, чем 1± в предыдущей задаче. Что же касается 2ц и А2/ДА и 7,1 сми ДП и 1,3 • 10~ 3 1 стерад, то они сохраняют те же значения, что и в предыдущей задаче.
Обьем когерентности AV « 8,3 • 10 7 см3 — в 4 - 1 0 1 1раз больше, чем обьем когерентности солнечного излучения на Земле. Характерным является увеличение степени когерентности света по мере егораспространения. Это относится только к поперечной когерентности.484.I» ~ -£- и 3 • 10 8 см. Так как от оптического генератора идетконус лучей с углом раствора Ад ~ X/D = 10~ 5 , то прилегающий к генератору обьем когерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору432Глава VIIIвершиной.{D = 5 см у генератора,/у -=г « 6000 см у основания конуса когерентности,AV = | т ( у )1\\ « 28 • 10 1 4 см 3 .485.5=-'х\Sи ^ ^1005 = е-и 200« 10"при А = 1 см, Т = 273 К,43при А = 5 • 10" 5 см, Т = 273 К,«0,07 при А = 5- КГ 5 см, Т = 10000К.S = -p%486. S = 5 • 10 1 8 , Т = 1,4 • 10 2 3 К.оо487.
Г(т) = / J(w) cos wrduj.о488. r(r) = 2J489.sРазность хода для света от одного из независимых излучате-лей, находящегося в точке (х1,у'), есть si - S2 «yyD(см. рнс. 26),лесли учесть, что поперечные размеры источника много больше, чем D == у/х2 + у2. Поле в точках ri(0,0), гг(0,0) создается всеми излучателямиисточника:§ 4. Когерентность и интерференция433где Щ(Г,Г), Щ(Г,Г) — амплитуды поля г-го излучателя на первом и второмотверстиях в момент времени t.
Корреляционная функцияГ(г1,г 2 > 0)=«*(г1 > «)«(г 2 > «) =)Uj(t) exp [-iВторой член в Г пропадает из-за некогерентности независимых излучателей. Первый же член представляет собой усредненную интенсивность излучения от отдельных излучателей с учетом разности хода si - s 2 . Перейдяот суммирования к интегрированию, получимyas1{Х У)'W)exp -,-fe** Z=\dx'dy'ffl(x',y')dx'dy's'где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника.490.
a ) B ( D ) = | 7 ( A 0 ) | = cos:491. а) р = aR = ££- = 1,47 х 108 км;6)d=aR=1 , 2 2 ^ = 6,28 х 10 8 км;диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметраСолнца и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не только Земли, нои Марса!492. От первого источника идет плоская волна ui = A\ exp[ikir] == |>li| exp[i(kir + ai)], фаза а\ и амплитуда А\, которой меняются случайным образом, причем А\ = 0, а \А\\2 имеет постоянное ненулевое значение. От второго источника идет волна иг = Л2ехр[гк2г], обладающаяаналогичными свойствами.
Обе эти волны поступают в фотоэлементы Piи Р?. Неусредненный сигнал от фотоэлемента Pi был бы пропорционален\А2\2 + А\А2exp[i(ki— k 2 ) • г] + А\А2ехр[—i(ki— k 2 ) • г].О)434Глава VIIIСигнал (1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуации фаз А\и Лг на частотах, значительно меньших, чем частота волн и\, иг, пришедших от источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируютсяи наблюдается усредненная интенсивность. При включении только одногодетектора усредненная интенсивностьне зависит от ki — кг (фазы А\ и Лг флуктуируют независимо, такчто А\А\ = АХА\ = 0).Пусть теперь сигналы от фотоэлементов Pi и Р 2 поступают сначалав умножитель, в котором интенсивности 7(ri, t) и /(г 2 , t) перед регистрацией перемножаются.
Наблюдаемый на выходе сигнал будет пропорционален12 + Ш2)+ 2|А 1 |2|А 2 | 2 oos[(ki - k 2 ) • ( n - r 2 ) ] .Он зависит от ki — кг и, следовательно, от углового расстояния междуудаленными источниками. Меняя расстояние ri — г 2 между детекторамии наблюдая ослабления и усиления сигнала, можно найти это угловое расстояние.493. А(р = =^-(п — 1)х, где координата х отсчитывается от преломляющего ребра перпендикулярно ему.Если любым способом осуществить на плоскости ху фазовыйсдвиг Aip ос х, то такая плоскость будет поворачивать фронт плоской волныв сторону больших х, т. е. действовать так же, как призма.494. Фазовый сдвиг на расстоянии х от оси линзы в случае собирающей линзы естьгде / — фокусное расстояние, определяемое равенствомВ случае рассеивающей линзы+§ 4.
Когерентность и интерференция435495. Распределение интенсивности света на фотопластинке имеет вид2= h+ 2\/hh cos ktix,где $2 = 'в+'вхгк = 2ж/Х,1\ = |-Ai|2, /2 = |-^2| 2 , координата х отсчитывается вдоль фотопластинки, как показано на рис. 29. Распределение почерненияна проявленной фотопластинке определяется распределением интенсивности 1{х). Пропускание Т(х) пропорционально [/(ж)]" 7 / 2 , где 7 — коэффициент контрастности фотоэмульсии, и является периодической функцией хс периодом \/д. Оно может быть записано в виде Т(х) = а + b cos кдх(а и Ь — постоянные), если оставить только две низшие гармоники. Проявленную фотопластинку можно рассматривать как дифракционную решетку,которая разбивает падающую плоскую волну на плоские пучки, направления 9 распространения которых определяются соотношением ^ sin 9 == пХ, п = 0, ± 1 , ± 2 , . .
. Главными являются центральный пучок нулевогопорядка и два пучка первого порядка в направлениях 9 = ±t9. Заметим,что эти три основных пучка можно получить, умножив падающую волну Ао ехр[г£;г] на пропускание Т(х). При этом получим волновое поле зафотопластинкой видаAoaex.p[ikx] + Ao^exp[ik(z + дх)] + Ao^exp[ik(z - fix)],где первый член описывает неотклоненный центральный пучок, второй —пучок первого порядка, отклоненный на + $ , третий — пучок первого порядка, отклоненный на — •в.496.
Опорное поле на пластинке имеет видui = Aoexp[-if3x],=2тг(тг - 1 ) аАМы не пишем здесь и далее общего множителя exp[i(fcj£ — wt)]. Поле, дифрагировавшее на отверстии:[2-1Суммарное полеU(x)= Ui+U-2,436Глава VIIIа интенсивность1(х) = \и(х)\2 = А2 + А2{х) + 2А0А(х) cos(/3x + ^ ) .Распределение интенсивности содержит информацию о фазе дифрагировавшей волны только благодаря наличию опорного пучка.497. Пропускание Т(х) проявленной фотоэмульсииТ(х) « [/(х)]-/2 = v { l + ^если использовать условие Ао »переписать в виде2+ 2^cos(/3x + ^Л(х). Последнее соотношение можно2Т(х) ос 2Л - 7 Л (х) - 1A0A(x)exp[i[/3x + ^ ) ] -* + y£)].
(1)Это равенство называется формулой голограммы Габора.При освещении голограммы плоской монохроматической световой волной Ао exp[i(kz—u>t)] за голограммой возникает волновое поле, представляющее собой результат дифракции на голограмме. Это поле можно получить(ср. решение задачи 495) просто путем умножения первичного волновогополя А'о exp[i(kz — uit)] на пропускание Т(х), выражаемое формулой Габора (1).
При этом получится поле видаи ~ {2Al - чА2(х)) exp[i(kz - иЛ)}- чА0А(х) exp[i(kz - иЛ)}- IAQA{X) exp[i(kz - wt)] • exp[-i(/3z + ^)]• (2)Первый член в (2) соответствует неравномерному дифракцион2ному (из-за А {х)) ослаблению падающей волны. Угол дифракции мал, так437§ 4. Когерентность и интерференциякак А(х) — плавно меняющаяся функция по сравнению с участвующимиэкспонентами.
Второй член действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вверх, и рассеивающей линзы с фокусным расстоянием / (см.задачи 493, 494). Третий член действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вниз и собирающей линзы. В итоге при пропускании плоскойНеот клоненный(ослабленный)пучокДействительноеизображениеМнимоеизображениеРис. 88монохроматической волны через голограмму восстанавливаются первоначальные волновые фронты (рис. 88): плоская волна и сферический фронтот отверстия. Последний воссоздается два раза: в виде волны от действительного и от мнимого изображений.498.exp[ik'z]T(x) ос [2Л2, - 2 7 Л 2 ( l + cos jjD*)]exp[ik'z]exp[i(/3x + k'z)\-+ exp[-*Aexp[-i(/?z - k'z)).438Глава VIIIВторой и третий члены, как и в задаче 497, описывают поле, отклоненное вверх и вниз и сфокусированное в две пары точек.
Однако фокусныерасстояния соответствующих рассеивающей и собирающей линз другие,а именно/ ' = —/•X'11НеотклоненныйпучокДействительноеизображениеРис. 89Линейное увеличение выражается формулой2Д2DP +Q.1А/'где11_А/'р — расстояние от источника волн А' до голограммы, a q — расстояниеизображения от голограммы (рис.
89). Чтобы достичь увеличения, надоиспользовать при восстановлении длину волны А' > А, а источник помещатьда конечном расстоянии р от голограммы.§5. Дифракция рентгеновых лучей439499. Распределение интенсивности на голограмме может быть передано без существенных искажений, если пространственный период дифракционной картины больше, чем d,(см. решение задачи 496). Этим условием ограничивается максимальныйразмер голограммы в направлении х 2хтвх и 2Xf/d. Этот размер играетроль диаметра линзы в теории разрешающей способности Рэлея (ср. с задачей 426). Применяя критерий Рэлея для минимального размера s предмета,который может быть разрешен, мы получимЗдесь $ — половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммык изображению.§ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
