1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 60
Текст из файла (страница 60)
87):2x sin a - - ( e + l)nxnzsin 2a\ du.Вектор Бо поляризован нормально к плоскости xz:465. Полную напряженность электрического поля в некоторой точкепространства можно представить в видеЗдесь§ 3. Дифракция423— поле падающей волны, Е'(г, t) — поле рассеянного (вторичного) излучения.В каждой точке внутри тела (которое может быть неоднородным) вектор поляризации Р(г, t) пропорционален Е, а приближенно — So, так какрассеянное поле много меньше падающего (Е' -С 8 о) при (е — 1)/4тг «С I. 1Рассеянное поле Е ' может быть выражено через вектор ГерцаZ(r, t) = f ^^ exp[i(kR - ШГ)\ dV(2)(см. гл.
XII, формула (XII. 13)) формулойЕ' = rot rot Z — 4тгР = —.— rot rot Sn4тт=r/ ехр|г(к — kn) • r'l dV'.J(3)Разность к — kn представляет собою изменение волнового вектора прирассеянии; обозначим ее через q (q = 2A;sin^, в — угол рассеяния). Привычислении интеграла выберем полярную ось вдоль q, тогдаг//м II j i млA smqa-qacosqaexp[r(q • г )]r dr dil = 4тг1. .—.(4)QПри вычислении двойного вихря в (3) оставляем только члены, пропорциональные 1/г:кrotrot^o—^—- = InxСо х п ) ] ^ — - .Окончательно, для рассеянного поля Е ' получимС"(5)«где3(sin q — qa cos qa)м5:'Метод, применяемый при решении этой задачи, аналогичен методу Борна в квантовоймеханике.
Последний широко применяется при решении задач о рассеянии частиц квантовомеханическими системами.424Глава VIIIСравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см.задачу 460). Переходя в (5) к пределу qa -С 1, получимЕ' = ^ ^ [ п х ( «ох п ) ] ^ ,(6)так как <p(qa) и 1 при qa -С 1.С другой стороны, вычисляя Е' по формулегдеP=— статический дипольный момент шара, найдемВ (6') вместо множителя 1/3 стоит 1/(е+2). Однако противоречия между (6)и (6') нет, так как (6) справедливо с точностью до 1/(е — 1).Дифференциальное сечения рассеянияdaa(ea)^'w4o6(e-l)2L,. ..
,,, л.Ч> Чча) (sin 2 a + cos 2 a c o s 2 в)(7)(углы в и а обозначены на рис. 85).Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрическойсферой (см. ответ к задаче 460) заменой в знаменателе (е+2) 2 на 9 и множителем ip (qa), учитывающим интерференцию вторичных волн от различныхэлементов сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного света будеттакой же, как в случае малой диэлектрической сферы:р = cos 2 9.(8)Усреднение по поляризациям дает46daa(9) _ w o ( e - l )du~lie42VРассмотрим еще случай очень большой сферы, т. е. ка ~Э> 1.
Если углытаковы, что и qa » 1, то tp(qa) —» 0, и сечение в этой области угловочень мало. Из явного вида q следует, что qa » 1 эквивалентно условию в » 1/ка; таким образом, если шар велик, то рассеяние происходитвперед в интервал углов в < 1/ка.§ 3. Дифракция425466. При ka ~> 1 функция ip2{qa), входящая в выражение дифференциального сечения (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нулятолько в узком интервале углов в ^ •£-. В этом интервале множитель (1 ++ cos 2 в) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем:Введем новую переменную у = qa = 2kasinO/2.
В предельном случае ka ~> 1, получим окончательно:(Т.=18с2Для малого шара (ka <g: 1), заменяя (см. ответ к задаче 460) е + 2 на 3,имеем:8тги;4а6(£ - I ) 2Как видно из этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты (264и ~ ш ) и от размера шара (~ а и ~ а ).467. Исходим из соотношения2= - ^ R« / ( Е х Н*) • n r dfi,ЕоJ(1)где п = £, аа — сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель. Формула (1)выражает тот факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через поверхность сферы, направленному к центру.Подставляя в (1) выражение для Б из условия задачи иН = Яо{(по х e)eikz + [n x F ( n ) ] ^426Глава VIIIи используя условие поперечное™ п • F(n) = 0, получим:2IFI1IFI2Ц- ^ Re(E х Н*) • п = (по • п) + Ц - ++ 1[(в • F) + ( п 0 • п)(е • F) - (е • п ) ( п 0 • F ) ] ^ ^ ++ ±[(е* • F*) + ( п 0 • п)(е* • F*) - (е* • п ) ( п 0 • F * ) ] ^ ^ .При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе —полное сечение рассеяния <тв.
Интегралы от остальных слагаемых могутбыть преобразованы с помощью интегрирования по частям:£ /"(no-n)2ir• n)(e •n)(eПоследний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены,пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нуж2гкгно отбросить член с осциллирующим множителем е , так как он даетнулевой вклад в полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, чтопредставление о строго монохроматической волне является идеализацией.В действительности, всякая реальная «монохроматическая» волна являетсясуперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узкомгкгинтервале Аи. При усреднении множителя 2по любому такому интервалу получим нуль, так как г очень велико. Поэтомуп)(е • F ) eifc2^ > r du = ^ [ е • F ( n 0 ) ] .Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых.
Члены, содержащие множители (е • п) и (е* • п), при интегрировании не дадут вклада,вследствие того, что (е • по) = 0. Подставляя вычисленные интегралы в (1),получим окончательно^(3)(2)§ 3. Дифракция427Оптическая теорема (3) допускает простую физическую интерпретацию: полное сечение дает меру ослабления первичной волны. Это ослабление является результатом интерференции падающей волны с той частьюрассеянной волны, которая имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и падающая волна. Поэтому полное сечение оказываетсясвязанным с амплитудой рассеяния «вперед».468. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным дипольными моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеяния F(n) (см.
предыдущую задачу) определяется по формулам (XII. 17) и (XII.20).Окончательный результат:469. (та-470. Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волныи имеет величинугде 7о — средняя плотность потока энергии в падающей волне и интегрирование производится по всему телесному углу.471.
Для идеально проводящего шара:-я43а 6 о) 4 F 2для диэлектрического шара:Т=Зс 4472. Применяем дифракционную формулу (VIII.25). В качестве поверхности интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран.Тогда на поверхности интегрирования„ifcHiи = А—=—,Hi2irdSn = Зтгг dr cos( R\, z) = 2n-=— dr,Hi428Глава VIIIгде А = const. После подстановки этих выражений в (VIII.25) переходимк новой переменной интегрирования р = R + R\:/агРогдеИнтегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда повозрастающим отрицательным степеням кр; условие А <С а позволяет отбросить все члены ряда, кроме первого. Это даетuP(z) = и0PO»*V° +ziгде uo = Л e— — амплитуда падающей волны на границе экрана.у/а2 + z2Переходя к интенсивности / ~ | и р | 2 , имеем(2)В точке, симметричной относительно экрана (z\ = z):22Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкойк нему, будет светлое пятно.Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.), который выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции Френеля и волновой теории света в целом.
Однако эксперименты, выполненныеАраго и Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии экрана. Волны, огибающие его края, приходят в среднююточку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким свойством обладают всеточки, лежащие на средней линии: в этих точках интенсивность света будетзначительно больше, чем в соседних, не лежащих на оси z.§ 3. Дифракция429473. Используя принцип Бабине (см. (VIII.31)), получим при z =x » a:где /о — интенсивность первичной волны на краю отверстия.474.
При z » а, / = 4/ 0 sin 2^-.Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы осциллирует бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при z —> оо. Убываниеинтенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становитсяиз-за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через отверстие с увеличением z распределяется на все большую площадь.475. Пользуясь формулой (VIII.30) для дифракции Фраунгофера, находимal = 1т0[аМака)ЬЫЬка)}\„га2аи,где а — угол дифракции, IQ — интенсивность падающего света.В случае круглого отверстияal =7ГСГ2•,21.,где IQ ~ 7ra|tto||22 — полная интенсивность падающего на отверстие света.476. Дифрагированная волна будет описываться функциейгде к' — к = q, qy и qj. — составляющие q в плоскости экрана и в перпендикулярном направлении.При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся полярными коордииатами с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль qy.Это даетu0eikR°kcos6где через в обозначен угол падения.430Глава VIIIС помощью формул (П 3.11) и (П 3.9) получимгде /о ~ |ио| 2 тга 2 cos0 — полная интенсивность падающего на отверстиесвета.Считая угол дифракции а (угол между к и к') малым, выразим дцчерез а, угол падения в и азимутальный угол а' между q и плоскостьюпадения:22«II = ka V 1 — sin в cos а',JrтJftfcaoVlsin^cos^)a/ = IQФормуластановится-z7гаг(1 — sin в cos 2 a')несправедливой_ail.при скользящемпаде-()477.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
