1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 55
Текст из файла (страница 55)
78397. Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 78. Прислабом скин-эффекте касательная к стенкетрубы компонента магнитного поля на поверхности S этой стенки должна удовлетворять условиюН2т - Н1т = ^i,(1)где г = crhE = £Е — поверхностный ток,£ — поверхностная проводимость.Электрическое поле, которое будетиметь, очевидно, только ^-компоненту,должно быть непрерывно на той же поверхН0СТИ"Е1=Е2=Е.(2)Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо неконцентрических сферах).
С точностью до членов (l/а) уравнениеграницы запишется в видег = a + lcosa.(3)Векторный потенциал, направление которого совпадает с направлением тока, ищем в видеAl = -Щ- In £ + Circosa + С,(4)§2. Вихревые токи и скин-эффект381где С\ и В\ — функции времени, имеющие первый порядок малости относительно (1/а), У — имеет нулевой порядок относительно (1/а).При слабом скин-эффекте (Л -С 6) векторный потенциал удовлетворяетусловию:Al = Ач.
при г = a + l cos a.(5)Отсюда, отбрасывая члены порядка (1/а)2, находим,C = 0.(6)В граничном условии (1) можно заменить НТ на На. Как легко проверить,это приведет к ошибке порядка (1/а)2. Посколькуг,дАС дА,. тримеем на 5:дА!дгили, с точностью до (1/а),дА2дг4ттС ЗАс dt=+ 2Ci cosa = — 51 1 \\——-г-**+ а—г±± cos a.с Lea atat JcaОтсюда сразу следует J = J'; этот результат связан с тем, что скин-эффект считается слабым. Для С\ получается дифференциальное уравнение2p CПараметр р =сп2naQd(Jl)=( ? )совпадает со значением сопротивления единицыдлины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.Решение уравнения (7) легко получить методом вариации произвольных постоянных.
Оно имеет видtС1 =Лf e^-^£[J(r)l(r)]drcaz Jат—oo(считаем, что при t —» —оо ток отсутствовал).382Глава VIIСила /, приложенная к единице длины тока J, может быть вычисленапо формулеf Jx —! ФН'СVгде Щ — магнитное поле на прямой, вдоль которой течет ток J, создаваемое током, текущим в оболочке. Этому полю соответствует векторныйпотенциалА' = С\т cos a = С\у,откудадАЯv' = СдуьОкончательно/- =Рассмотрим некоторые частные случаи. Если ток постоянный (J == const), тоt/хУе"=г(Прн отклонении тока от осн цилиндра (/ > 0) возникнет сила, препятствующая этому отклонению. Прн медленном движении (I <C pi), интегрируяпо частям, найдемВ частности, при равномерном перемещении I = vt тормозящая сила/х398-Л=^ л ? -=ГЛАВА VIIIРАСПРОСТРАНЕНИЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН§ 1. Плоские волны в однородной среде.
Отражениеи преломление волн. Волновые пакеты399. Амплитуда первой волны E i = aex, амплитуда второй волны Ег = Ьегхеу, а и Ь — вещественны; результирующая амплитудаЕ о = Ei + Е 2 = аех + beixey.Для выяснения характера поляризации удобно так сдвинуть началоотсчета фазы, чтобы в двух взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, отличающиеся по фазе на тг/2.
Введем новую амплитуду Eg = E o e ~ t a = &' + iS" и потребуем, чтобы векторы &' и 8" быливещественными, причем 8' • 8" = 0 (рис. 79):8' = a cos а • е х + b cos(a — х) • е у ,8= — a s i n a e x — osin(a — )Определим сдвиг фазы а из условия 8' • 8" = 0:a 2 cos a sin a + b2 sin(a — х) cos(a — х) = 0,откудаОпределив из уравнения (2) угол а, подставим его значение в (1) и найдем 8', 8". Введя в плоскости ху новые оси х' || 8' и у1 || 8", получим384Глава VIIIв этих осях:Exi = 8' cos(u>t — к • г — а ) ,Еу> = 8" sin(ujt - к • г - а ) .Е\, ^ Е\,Очевидно, что — ^ Н—f^ = 1, т.
е ко-нец вектора Б описывает эллипс.В общем случае 8', 8" ф 0. Колебания по оси х' опережают колебания по оси у' на тг/2. Если ориентацияРис. 79осей х', у' такая же как х, у, т. е. х', у',z образуют правую систему координат (этот случай изображен на рис. 79),то для наблюдателя, к которому движется волна (движение вдоль оси z),вектор Б будет вращаться против часовой стрелки. Такая поляризация называется эллиптической с левым направлением вращения. Если оси х', у',z образуют левую систему, то направление вращения Б будет противоположным, по часовой стрелке, и волна будет называться эллиптическиполяризованной с правым направлением вращения.При 8' = 8" поляризация круговая, при 8' = 0 или 8" = 0 поляризация линейная.Рис.
80400. При х = 0 поляризация линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла между осями х, у. При х = тг поляризациятоже линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла§ 1. Плоские волны в однородной среде.385между осями (х, —у). При х = —\ поляризация круговая правая (рис.
80а).При х = ту поляризация круговая левая (рис. 806). В остальных случаях поляризация эллиптическая, причем при —тг < х < 0 она правая (cos ^ > 0,sin тг > 0 и ориентация осей как на рис. 80а), а при 0 < х < я — левая(рис. 806).401. При а = Ь поляризация линейная. При а> Ь поляризация эллиптическая левая. При а < Ь — эллиптическая правая. Круговая поляризацияполучается только при 6 = 0 (левая) или о = 0 (правая).402.
Р = д /1 — 4 — — — - , где |/»/ь| — определитель тензора /*&. Стеуу[Sp(A)]пень поляризации Р = 1 при | / ^ | = 0.404. Введем прямоугольные оси х' \\ any'ная амплитуда поля будет иметь вид\\ 6. В этих осях комплекс-Е о = аех> ±ibey>.где знак «+» отвечает левой эллиптической поляризации, а знак «—» —правой. Интенсивность / = о 2 + б 2 .
Фаза выбрана равной нулю для х'-компоненты поля. Выражая теперь орты ех>, еу>, через е х , еу, получим длякомпонент Iik'.22222222In = a cos д + b sin 19,In = о sin д + b cos 19,I12 = (b2 - a2) sin i9 cos i9Верхний знак отвечает левой эллиптической поляризации, нижний — правой. При 6 = 0 поляризация линейна и тензор Iik имеет вид2_ т ( cos 19^sintfcostfтi k =sin i9 cos i9\sin 2 tf ) 'При a = b = -\/I/2 поляризация круговая итI i k =1I (2 \ ± iТАI ) '386Глава VIII405. Амплитуда суммарной волныЕ = E i + Е 2 = Е(е™ + e ( 2 V a ) ,где а — сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, | Е | 2 = /.
Компоненты тензора поляризации по определению (см. (VIII. 14)) равныПри усреднении по времени получим е±га = 0, поэтому тензор поляризациибудет иметь вид, _ , / l + c o s 2 i 9 sini9cosi9\Отсюда, используя результат задачи 402, получимР=| cosi9|.Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор Iik- Приравнивая нулю определитель системы уравнений (VIII. 16), получим, что Д == l + | c o s i 9 | , / 2 = 1 - | cos tf|.
Отсюда опять Р= (h-h)/(h+h)= |cos?9|.Базисные векторы ei = (cos ^ , sin ^ ) и е 2 = (— sin ^ , cos ^ ) . Они вещественны в рассматриваемом случае.Результирующая волна состоит из неполяризованной части с интенсивностью 7(1 — | cos i91) и линейно поляризованной вдоль направления ei == (cos ^ , sin ^ ) части с интенсивностью /| cosi9|:cos2^. 2sinfcosfsin ^ cos ^2„2„2sin fРезультирующая волна полностью поляризована (но не монохроматична)при д = 0. При д = 7г/2 — полная деполяризация.406. Тензор поляризации(ось xi совпадает с направлением поляризации первой волны).§ 1.
Плоские волны в однородной среде.387Степень поляризацииР ='h+hРезультирующая волна состоит из неполяризованной волны с интенсивностью (1\ + /г)(1 — Р) и линейно поляризованной волны. Направлениелинейной поляризации составляет угол•в = arctgс направлением поляризации первой волны.Рис. 81407. р = - — | ; при ^ = 0 волна не поляризована, при £ = 1 — полностью поляризована. Поэтому величина £ называется степенью поляризации.Положим & = £77» > гДе т)\ + rfo + 773 = 1.
ТогдаПервый член в этом выражении соответствует полностью неполяризованному состоянию, а второй — полностью поляризованному. В случае а) щ = 1,m = m = 0.Сравниваяг" _ тс А0\388Глава VIIIс выражением Iik = 1щп%, видим, что в данном случае щ = 1, пг = 0, т.
е.тензор 1"к описывает волну, линейно поляризованную в направлении оси х(волна распространяется в направлении z).Аналогичным образом легко убедиться, что в случае б) 771 = 1, 772 == туз = 0 и волна линейно поляризована в направлении, составляющем 45°с осью х, а в случае в) 772 = 1, щ = щ = 0 и волна поляризована по кругу.408. Так как вектор Б поляризован линейно, амплитуду Е о можно выбрать вещественной. Из уравнения divE = 0 имеем к' • Ео = 0,к " • Ео = 0, т.е. Ео перпендикулярна к плоскости ( к ' , к " ) . Из уравнения r o t E = —-^£fL следуетс at^ J P 1 = к' х Ео,^-Ж2= к" х Ео,т. е.
JJ?i и Л?2 перпендикулярны Ео, Ж\ _L k', Ж 2 -L к".Конец вектора Н описывает эллипс в плоскости (к', к") (рис. 81).409. Обе волны будут поляризованы эллиптически. Одна из главныхосей эллипса поляризации лежит в плоскости падения, другая к ней перпендикулярна. Полуоси имеют следующую величину.В отраженной волне:„tg(i90 - д2)"=sin(i92 - do)Ftg(* + * )E ± =°'M*F+ *)В преломленной волне:p _2 cos вр sin в2Fp_ 2 cos flp sin 62где во — угол падения, #2 — угол преломления, Ео — абсолютная величинаамплитуды падающей волны.При во = ? — #2 (угол Брюстера) отраженная волна поляризованалинейно.410. Неполяризованный (естественный) свет можно рассматривать какнекогерентную суперпозицию двух «дополнительным образом» поляризованных волн с одинаковой интенсивностью. Воспользуемся этим и представим падающий пучок в виде суперпозиции двух некогерентных компонент,одна из которых Е\\ поляризована в плоскости падения, а другая Е± —в перпендикулярной плоскости.
Интенсивности этих волн одинаковы:h=I±=I.§ 1. Плоские волны в однородной среде.389После отражения обе компоненты по-прежнему будут некогерентными.С помощью формул Френеля найдем(1) _Sin 2 (flo-fl 2 )/, ,COS2(fl0 + fl2) ||2COS (0 O -e x и ell — единичные векторы, указывающие направления поляризациипоперечной и продольной компонент; эти векторы лежат в плоскости, перпендикулярной направлению отраженного света. Степень деполяризациипадающего света равна 1; при отражении свет поляризуется.Аналогичный расчет дает для преломленного света:/__ \2\ £ l — £2 I.4 £ i So411.
R = —,—, p\ = 0 , P2 =7. где £i и £2 - диэлек2(£l+£2) первого и второго(£i+£2)трические проницаемостидиэлектрика.412.•S± 2 = 2C COS 0O-S± О,Щ\ 2 =Формулы для iJy i и Sy 2 применимы только в том случае, если уголскольжения ipo = ^ — во ~> \С\При ifo <C 1 справедливы формулыОтносительная величина |С| и </?о при этом произвольна.390Глава VIII413. R± = 1 — 4C'cos0o- При всех углах падения R± близок к 1,достигая минимума при во = 0 (нормальное падение);при„2Л/?Из условия -д—- = 0 находим угол у>о> при котором Лц минимален:Угол Фо является аналогом угла Брюстера, так как значение Дцпри <ро = Фо минимально (при падении волны на границу диэлектрикапод углом Брюстера коэффициент Лц также минимален и равен нулю).414.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
