1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Во втором случае при N ~> 1 |д^| 2> 1, a \q£\ <C 1,поэтомук<<1Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определяютсяиз уравнения (2) задачи 372. Из него следует, чтоЕсли подкоренное выражение отрицательно, то q\ и q2 — два комплексносопряженных корня, по модулю равных единице, т.
е. осуществляется случай а). При положительном подкоренном выражении, q\ и q2 вещественныи различны, т.е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренноевыражение, найдем область значений Z\, Z2 для случая а):§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках365Это соответствует значениям а>2, лежащим между374.
Рассмотрим n-й замкнутый контур искусственной длиннойлинии (рис. 76). Этот контур можно рассматривать как эквивалентнуюсхему для отрезка длиной а линии с распределенными параметрами, причем AL будет индуктивностью, а Д С — емкостью данного отрезка.о 1—/ТПЯПР*~1В случае произвольной зависимости тока в линии от времени уравнение Кирхгофа для этогоконтура примет вид:ТТgn-l,n<?n+l,nРис.76где qn-i,n и qn+i,n — заряды на верхних обкладках левого и правогоконденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями <?„_!,„ = - Л , + Jn-!, <?n,n+i =JnЛ и - ь получим:1Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z — координате точкилинии с распределенными параметрами.
Для этого положим-a,t),Jn(t) = J(z,t),Jn+1(t) =и вычислим разности:Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = ^- и Синдуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнениес2366Глава VIIЭто — уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линиивсегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счетнеидеальной изоляции между проводами.Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается (т.е.
изоляция проводов считается идеальной), приведена на рис. 77.Уравнение длинной линии (телеграфное уравд п ALнение) в этом случае можно получить таким же"""""""способом, как было получено (3):с 2 т2р и с 77(4)dtгде R — активное сопротивление проводов наединицу длины.375. Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдемw = vk,с— скорость распространения волн в длинной линии, к =VLC= у-, г = 1 , 2 , 3 . . .
, L и С — индуктивность и емкость на единицу длины.где v =В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно. Этосвязано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N —конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствиедисперсии.376. Исходим из закона Ома в дифференциальной форме: j = <т(Е ++ Е с т ), где Е с т — напряженность поля сторонних сил. Выразим Е черезпотенциалы:- utисСпСчитая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенствапо контуру, совпадающему с проводником:w-(1)Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою стороннюю э.
д. с. §„, включенную в цепь; интеграл § ^ • d\ = JR определяет§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках367потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл $ Vtp-dl = § dtp == 0. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С учетом запаздыванияa(f _ IПодставляя эти выражения в равенство (1) и отделяя вещественную и мнимую части, получимс2jВыражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивлениецепи. Активное сопротивление равно R + Дг(^). гдеsinВеличина R связана с потерями на нагревание проводника; величина Дг(^) характеризует потери энергии на излучение и называется сопротивлением излучения (см.
следующую задачу)._Реактивное сопротивление равноuoLUo)^—, гдепредставляет собою индуктивность, зависящую от частоты.Рассмотрим случай, когда можно считать £ = ^ - » I, где I — размерконтура. В области интегрирования учлена в разложении косинуса, получим«1 и, с учетом квадратичного368Глава VIIПервый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собойобычную индуктивность1; второй член дает поправку, существенную привысоких частотах.В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интегралот первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения2= --*4 <f> <f>r d\-d\'.377.L(u) = L + *Ц{£ • 4 .Д г И = ^(Щ2)*-Кольцо с токомявляется магнитным диполем.
Энергия, излучаемая в единицу времени, да-2т2ется формулой - • =^-, где m — магнитный дипольныи момент.оСЗначение коэффициента пропорциональности между излученной энерa wгией и J равно.и совпадает с Rr(w).Зс5§ 2. Вихревые токи и скин-эффект378. Н{х) = Но_6При 5 < h, H(x) = Hoe; при 5 > h, H(x) = Ho (ср. с задачей 247).379. Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное магнитное поле Я о однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси.Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством отдельных коаксиальных соленоидов.
Но поле соленоида во внешнемпространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси.Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет с полем Яо,а внутри цилиндра определяется первым уравнением (VII. 12), которое ввиду осевой симметрии примет видеРН , 1 dH'Практически для вычисления самоиндукции нужно использовать формулу (V.18), так как1111/интегралггеграл $f $f — ^- — расходится.расходито Эта расходимость вызвана тем, что проводник считаетсябесконечно тонким (линейным).§ 2. Вихревые токи и скин-эффект369гдеi±i= Hx(r),На=Нг= О,и граничным условием Н(а) = Но.Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее этому граничномуусловию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка:ТТиM k r )Вне цилиндра имеемН = Щпри а ^ г ^ б ,Н =0при г > Ь.Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются поформуле (VII.
11):Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравнением Максвелла для rot Б, которое запишем в интегральной форме:\dl = — I Bn dS.Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа,из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системыследует, что вне цилиндра поле Б также будет иметь лишь составляющую Еа, зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура I окружность, то контурный интеграл дает 2пгЕа. При вычислении интеграла поплощади используем формулу (П3.12).
Окончательно получим:При отсутствии цилиндра, т. е. если а = 0, поле будет равноНЕа = \Щг (г < 6), Еа = ^-(г>Ь).370Глава VIIТаким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра, равно нулю при г > а, хотя добавочное электрическое поле отлично отнуля.
Это связано с тем, что точное уравнение r o t H = -^M-, справедливоеС С/Свне проводника, заменяется приближенным уравнением rot H = 0 (в квазистационарном приближении током смещения пренебрегаем). При точномрешении задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будетотлично от нуля (см. задачу 452, в которой рассматривается дифракцияплоской волны на проводящем цилиндре).380. При малых частотах (\ка\ <£.
1 или S » а)3._~.CHQгследовательно, плотность тока линейно зависит от г и пропорциональначастоте.При больших частотах (\ка\ ^> 1 или S <с; а) нужно использовать асимптотическую формулу для функции Бесселя, с помощью которой получимПри а — г » 5 плотность тока становится исчезающе малой.
Таким образом, при больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонкомповерхностном слое.1Я1381.a)]пЦ--_- j , fc2 -iПри \ка\ <£. 1 (малые частоты):«При \ка\ » 1| (большие частоты):2Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна и> , а при больших — у/Ш.§ 2. Вихревые токи и скин-эффект382.371/3 =При \ка\ » 1 (большие частоты):с а/3" =следовательно, при больших частотах /3" —* 0, т.е.
потери уменьшаются,ввиду вытеснения поля из проводника.При \ка\ -С 1 (малые частоты):Оal _fiО7Г аГО12с4ОЛU)all _Пп(ТО)8с 2''Таким образом, при и> —» 0 /3 —> 0; это связано с тем, что ц = 1, т. е.статическая магнитная поляризуемость равна нулю.383. Магнитный момент, создаваемый вихревыми токами, вследствиесимметрии системы будет направлен вдоль внешнего магнитного поля. Поэтому во внешней области полное магнитное поле П2 можно записать в виде4r(m • г)2 т , ххтН2(Г) =— + Н0.(1)Здесь т — неизвестный магнитный момент единицы длины цилиндра, совпадающий по направлению с Но; г — радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.
Полю Нг соответствует векторный потенци2 ( т х г).чал Аг = ——^—- + (Но х г), который в проекциях запишется так:A2z= A2={^+ Hor) sin a,A2r = A2a=0(2)(угол а отсчитывается от направления Но).Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет толькопродольную (относительно оси цилиндра) составляющую, пропорциональную sin a.
Условиям непрерывности составляющих поля на границе можноудовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней областив аналогичном виде:Alz= A1=F(r) sin a,Alr= Ala= 0.(3)Электрическое поле Е выражается в общем случае через оба потенциала: АИ if.372Глава VIIНаложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условиес eftТогда, поскольку divA = 0, что следует из формул (2) и (3), будемиметь -%- = —илр = 0, так что Е = — -*тгг = —А.
Поэтому А будет удоotс atсвлетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (см. (VII. 12).Решением этого уравнения, ограниченным при г = 0, является функцияБесселя:F(r) = Ch (kr),Ai = Ch (kr) sin a.(4)Постоянные С и m в (4) и (2) определяются из условия равенства внутреннего (Hi) и внешнего (Нг) полей на границе цилиндра: Hi = Нгпри г = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
