1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Потенциальная функция тока J2 в поле токаU21 =7;— In a + const,2где а — расстояние между токами.Сила, действующая на единицу длины второго тока:,J~du2iда ~с2а 'При параллельных токах (J*\ и J*2 одинакового знака) имеет место притяжение.260. Сила F и вращательный момент N определяются дифференцированием потенциальной функции:„sU (г, а) =т$\$т.а. 4 r 2 + g 2 + 4 a r c o s aъ—1п7Т^—2—'Л•с4г* + а — Aar cos a261.
N = ±£f±264. Lia = 4тг(6 - V62 - а 2 ) ;дЪ-а?'317Постоянное магнитное поле265. В этой задаче удобно использовать формулу (V.23). Вычисляяинтеграл так же, как в задаче 89, получимгде7Г7Г22K"(fc) = f — ^2 2J Vl-A; sin V22E(k)= [ Jl-к sin^.2 _ipdip,4a6При I 3> a, 6 параметр fc мал:поэтому можно использовать приближенные формулы для ЕиКвочник [90], 8.113, 8.114):(см.
спра-Оставляя в выражении для I>i2 только члены, пропорциональные к3, получим в первом неисчезающем приближении L\2 =т-СФ12%'• Последнийрезультат легко получить и из равенства L i 2 = —•£*-, рассматривая кольца1с током как магнитные диполи.4При а и 6 » I, к « 1, X(fc) w In£(fc) w 1,/1 A2L12 = 4тга finV8 a2y^ + (a - 6)2266.
В обозначениях предыдущей задачи318Глава V267. ЬВ = 4тгтг25. Для соленоида большой, но конечной длины h,пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивностьL = Ann2Sh.268. Вычисляем магнитную энергию по формуле2c2 JRЗдесь dS\ и dS2 — элементы поверхности соленоида, R — расстояниемежду ними, через i (ii = гг = г = пУ) обозначена плотность поверхностного тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п — числовитков на единицу длины.Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:уу=7i/tujrc2i j__ A./ dz\ iI jdz2<f>оcosadaогде отброшены все члены порядка ( ^ J и выше.
ОтсюдаЕсли пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится результат предыдущей задачи:2222L = 4тг а п /1 = 4тггг 5/1.269. Для кругового сечения22L = 4ттЛГ (6 - s/tf - a ) .Самоиндукция на единицу длины У! = —г для бесконечного соленоидаполучится, если сделать предельный переход 6 —> оо при заданном числеNвитков на единицу длины п = -^-т:2тго2i ? = 4тг п(ср. с задачей 267).2 2а2= 4тгп 5319Постоянное магнитное полеДля прямоугольного сечения26-а'При 6 » а опять имеем ЬВ = 4тгп 2 5.Если ток течет непосредственнор и с 70по оболочке тора, то самоиндукцияуменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом.
В соответствии с этим будем иметь:для тора круглого сечения иL = 2/i In26 + а26-адля тора прямоугольного сечения.270. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле (V.16). Векторный потенциал прямого провода с током был полученв задаче 242. Для провода 1 (рис.
70) запишем его в видеAlz=Cпри п < а,¥}при+ 2ln^(1)п>Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1)J на — У, а на 6 и г\ на гг.Находим магнитную энергию:W =- ^f(Alz2жсаг J1+ A2z) dS! - - ^ г f(Alz2жсЬ J+ A2z) dS2.(2)2Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765)из справочника [90]. Учитывая затем связь между коэффициентом индуктивности и магнитной энергией системы, получим окончательно:ab320Глава V271. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику,складывается из двух частей:W = Wx + W2,(1)где— энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется пообъему проводника,— энергия, запасенная в остальном пространстве.Предположим, что можно ввести параметр го, имеющий размерностьдлины и удовлетворяющий условиюа < го < R,(2)где а — радиус проводника, R — радиус кривизны осевой линии проводника (который в общем случае меняется от точки к точке).
Тогда на расстояниях, меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полембесконечного прямого провода. В частности, внутри провода:15саг(см. задачу 242). Это позволяет найти «внутреннюю» энергию W\:wl = gДля определения «внешней» энергии W2 построим вспомогательнуюповерхность 5, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника, и введем скалярный потенциал ф. Скалярный потенциал будет испытывать на 5 скачокф+-ф-= %*.(4)Интеграл, через который выражается W2, можно преобразовать следующимобразом:f(B-H)dV = - [BgradrpdV = - f div(^B)dV = -Постоянное магнитное поле321(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div В = 0). В последнеминтеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам вспомогательной поверхности 5 и по поверхности проводника S' (см. рис.
71,на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью). Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствиеконечных размеров проводника с током. Таким образом,(5)Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условия (2) магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем прямолинейного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Дляпреобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4)и условие непрерывности компоненты Вп. ПолучимW2 = £-BndS.(6)На больших расстояниях от провода (г > г о) магнитное поле не зависит отраспределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, чтоток течет по оси. На малых расстояниях (а ^ г < го) это поле совпадает с магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можносчитать, что ток течет по оси. Такимобразом, интеграл в формуле (6) представляет собою поток магнитной индукции, создаваемой током, текущимРис.
71по оси проводника, через поверхность,которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции (V.22), получимW2 = — I / .(7)С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулудля коэффициента самоиндукции:(8)322Глава V272. Используя результат предыдущей задачи, получимL' = 47r/ib(lnf - 2 ) ,где цо — магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник.Полная самоиндукцияили, если /хо = А1 = 1,q + Va2 +1 2I21 А. Используя результат задачи 273, получим273.222= 8\l- 2\Ja + 1 + 2\/2а=275. L = 2цоЬ + 8fib InLV2-2 .a(l +276. Используя прн интегрировании по углам в формуле (V.13) соотение тЩк = h$ik (см. задачу 32), получим:Ов случае равномерного объемного распределения заряда,в случае равномерного распределения заряда по поверхности,теа2=ШПостоянное магнитное поле323Если применить эти формулы к шару, радиус которого равен классическому радиусу электрона (2,8 • 10~ 1 3 см), а магнитный момент равенизвестному из опыта магнитному моменту электрона (0,9 • 10~ 2 0 эрг/гс),то окажется, что линейная скорость v = аш и 10 1 3 см/сек на экваторетакого «электрона» превышает скорость света в вакууме.
Это показываетнепригодность классических представлений для описания спина электрона.Подробнее об этом см. [111,6].278. Вторичное поле Н ' удовлетворяет уравнению r o t H ' = 0, т.е.является потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н ' == — gradr/', получим для него уравнение, совпадающее с уравнением электростатики в неоднородной среде:div(^gradV') = -4тгр т ,где величинаиграет роль плотности магнитных зарядов.На границе раздела двух сред должны выполняться условия для касательных компонент поля:77'77'Н1Т=Н2Тид™^илиЭ^2~fr=-frи для нормальных компонент поля:илиЗдесь величинаиграет роль плотности поверхностного заряда.
Заметим, что это выражениедля ат может быть получено и из формулы для объемной плотности ртпутем предельного перехода:<гт = limл—»0pmh.Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной h. Тогда grad ц будетнаправлен по нормали к слою и будет равен, откуда324Глава V279 Hl ='H^f^ °'H2 =H^f^ °'где Но — поле, создаваемое контуром с током в вакууме, H i , H2 — поляв средах с проницаемостями ц\, Ц2280. Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме двумя прямолинейными токамиток $\ течет по тому же проводу, что и начальный ток $\ ток ^ течетвдоль провода, который является зеркальным изображением первого провода относительно плоскости раздела сред.Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в вакууме током J\ =*J, текущим по тому же проводу, что и начальныйтокJ.281.
Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однороднымуравнениям rot Н = 0, div В = 0, поэтому можно ввести скалярный потенциал ф (Н = — grad^), который будет удовлетворять уравнению Лапласа.В результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики. Решение имеет вид (см. задачу 149):внутри шараH l=^ 2Ho;вне шараНг = Но + НдИП,где НдИП — поле, создаваемое магнитным диполем с моментомПоскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна:а(н2) °"ПЛОТНОСТЬ эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:JMOI = CTOtM = 0.325Постоянное магнитное полеПлотность поверхностного тока можно определить по формулекоторая получается из (V.3) путем предельного перехода (ср. с выводомграничного условия для Н г из уравнения Максвелла). Подставляя М 2 = Ои M i = М, найдем:4тг(/х + 2)Я 0 sin i?e a .Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, еслизаставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равномерно по поверхности (см.
задачу 253).282. Если направить оси координат вдоль главных осей тензорамагнитной проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут рав, где Но — внешнее поле. Вне шараныН2 = Но + НдИП,где НдИП — поле магнитного диполя с моментом т , причемА*тк= —77Т1 з иZaH0k-Момент сил, действующих на шар:N = m х Но.-ft)'i 2283. Н =1-284. Н =1-2Но./Mi_+M2\ _ /oV\M1-M2/V6/При /xi » Ц2 поле в полости сильно ослабляется — происходит магнитная экранировка."ft)""ft)"Но.При /xi » /Х2 поле сильно ослабляется ( Я «; Щ).326Глава V285. Магнитное полеH = rotA,где=г HAz =;при г < a,BorsmaОсь z направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равнынулю.288.
/ =М 9'/=с 2 Ь(Ь 2 -а 2 )(м+1)"с2(а2-Ь2')(м+1)-290. H i=J-где Но — поле, которое создается тем же током в вакууме.291. Во внешней области индукция В и магнитное поле Н связаныобычным соотношением Вг = М2Н2. Внутри шара, согласно (V.27), Bi == /iiHi +4тгМо, где Мо — постоянная намагниченность. Вводя скалярныйпотенциал, как в задаче 281, получимгде4тгМо3_ 4тга Мо„ _/л1~~Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полеммагнитного диполя с моментом т .292. Поле внутри цилиндра:H =4тгМ0Постоянное магнитное поле327Поле вне цилиндра:Н2 =2г(ш • г)mгг 442г'г '2где Мо — постоянная намагниченность, m =47Г0 Мо293. Поле внутри шара:„3ц4тгМ0Поле вне шара:Н 2 = Но +Зг(шт)-gm^з,(1)где111=4тга 3 М 0М- 1r~s—З/j + 2то результирующая сила, действующаяТак как внешнее поле однородно,на шар, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
