1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 46
Текст из файла (страница 46)
На большихрасстояниях за пластинкой (z > 0) поле принимает вид:pzгде п =где n =О (вблизи заряда)<P29(ср. с задачей 129).Потенциал (р можно представить в виде(-1)"Соответствующая система изображений приведена на рис. 666.211. Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями £ = £i и £ = & соответственно. Для этого нужно провести ось z черезцентры обкладок так, как это показано на рис. 65. Координаты центровобкладок будут при этом равны z\ = a cth £i, 22 = a cth £2 (а — параметр бисферических кооодинат).
Радиусы обкладок связаны с величинами a, £i, £2§ 3. Специальные методы электростатикиуравнениями а = a i s h £ i , а =откуда295, b = z2 — z\ = a(cth^2 — cth£i),a | - a 2 - b2„2 , k2„22a2b(1)Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяетуравнениюд_( .sin r, dr,Vdr,фдг)Цin 2 r, да2S in- к4ЛФ = 0 .(2)Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашемслучае гр не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения этогоуравнения, ограниченные при г\ = 0, тг:где « = 0,1,2,3, .
. .Рис. 65i7?)- КоэффициентыБудем искать гр в виде ряда*=ои В/ определяются из граничных условий VK&2, г)) = 0,l=o296Глава IIIОкончательно получим:^j=oh(i + ±)(ftft).(4)Емкость конденсатора7ГЯ1 _127Г; ; 1 »гиг..dr}daо оЗнак «+» в последней формуле объясняется тем, что вдоль внешней нормали к внутренней обкладке координата £ убывает. Подставляя сюда (4)н нспользуя ортогональность полиномов Лежандра, получим:С = -=- + ai shft У е ~ ^ ' + 1 ) « cth(Z + ^J=0213.сп = ^- + aishft У2е~\+г' 1cth(l + ^)(^ij=oс22 = у + a 2 sh£ 2 ^e ^ 2/2cth^/ + -^j=oГДеПоверхности первого н второго проводников описываются уравнениями £ = —ft н £ = £2 соответственно, причем ai shft =h£§ 3. Специальные методы электростатики297214.32222сц = ai(l + тп + тп + т п ),с 1 2 = — a i n ( l + тп),3тп + т п + т п ),где m = -±, п = -£•.215.
Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен —V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а,центр которой находится в точке касания проводящих сфер (рис. 66а, сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет видплоского конденсатора (рис. 666, сфера инверсии изображена пунктиром)Рис. 66с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сферсоответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсиив конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд QQ = —RVв центре инверсии.
Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210 (е = 1), получено как поле следующей бесконечной системыизображений: точечные заряды (—l)nq'o находятся в точках z'n = 2Rn оси z',проходящей через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам конденсатора. Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный зарядпервоначальной системы:п=1п=1п=1298Глава IIIПри выполнении суммирования мы воспользовались известным разложением в ряд In 2 (см.
справочник [90], 0.232). Отсюда емкостьДля определения потенциала с помощью формул (111.32), (III.33) запишем ги г' в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрииРис. 67системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда zr\ =r i22#2г2, г = r\ + z и для потенциала получимЧлен ^ добавлен для того, чтобы у?(г) обращался в нуль при г - ю о .§ 3.
Специальные методы электростатики299217. Угол /3, под которым пересекаются сферические поверхности(будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами:Г 2ж — |£г — £i |,\ 27г — |^i + &I»если £i и £г одного знака,если £i и £г разных знаков.Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиусинверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двуграннымуглом /3 и ребром (ось z'), перпендикулярным плоскости симметрии (а == 0,7г) рассматриваемого проводника.
На рис. 67 изображен случай £i > О,& < 0. При инверсии в точке О появится заряд д^ = — 2aV. Как легкоможет быть показано, угол 7 = £ ь если отсчитывать 7 от той грани клина,в которую переходит сферическая поверхность £ = £i. При преобразованииинверсии поверхности £ = const переходят в полуплоскости а' = const,причемГ 7 - а'при 0 < а ' < 7Г + 7,\ 7 - а ' + 27Гпри 7Г + 7 < а ' < /3 (если /3 > ж + 7).Расстояния г и г ' могут быть выражены через координаты р, £ точкинаблюдения М (при этом нужно использовать соотношения между декартовыми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотретьподобные треугольники 00'М' и 00'М):rr•y/2(ch/9 — cos£)Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 206, а также формулы (1) и (2), получим после некоторых преобразований следующеевыражение для емкости:с = VЬаооn»" (р—о,€-.о)/s h7Г0v/зтг0_u*C,chC-11у300Глава III218.
&)С = § (sin 0 + 0);интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой ег„.0 =|(5-X).= х.ГЛАВА IVПОСТОЯННЫЙ ТОК220. 4 =221. Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно внешнему сопротивлению R.222.оR = -=г при п = 2,13Л = -=-г при п = 3,Л = 22Гпри п = 4.Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае п = 3 ограничиться всего тремя контурными токами.223. Введем контурные токи, как показано на рис. 12.
УравнениеКирхгофа для ячейки Bk~AkAk+\Bk+\ имеет вид?fc.(1)Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейнонезависимых решения: ека и е~ка, где1При выводе этого и нижеследующих выражении полезно помнить, что формулы гиперболической тригонометрии получаются из формул обычной тригонометрии заменамиcos а —> ch а,sin а —> t sh а.302Глава IVОбщее решение (1) имеет вид Jk = А'ека + В'е~ка.удобно, перегруппировав члены, записать (1) в формеВ данном случае(3)Jk = АсЦ/3 - к)а,где Аи /3 — произвольные постоянные. Определим их из граничных условий на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофадля этой ячейки принимает вид^ „ ( Д + Да + Г ) - ^ П _ ! Г = О.(4)Подставив в (4) выражения токов $п и $п-\ из (3) и используя (2), получимпосле сокращения на А уравнение для определения (3:Ra ch тга + У/Ш sh ( п + ^ ) а——)) ЦЦ-.Ra sh па + VRrchln +ija(5)Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа дляначальной ячейки линии:g.(6)Из (6) после некоторых преобразований находим, чтоёА =Ri ch /За + л/Ш sh (/3 + \ ) аОкончательно получаем для тока на отрезке AkAk+i линии следующеевыражение:gch(/3fc)aRi ch /3a + у/Ш sh 10 + i J a*Входящие в (7) постоянные аи /3 определяются уравнениями (2), (5).При сухой изоляции г —> оо, a —> 0 и (7), как и следует ожидать,принимает вид:Jk=R + R + in + W(8)303Постоянный токИз (7) и (8) находим для отношения э.
д. с. <§Ь и §, обеспечивающиходин и тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение:(9)ё°[Ri + Rv + in^^Если сопротивление нагрузки Д а = 0, то уравнение (5) упрощаетсяи из него в этом случае следует, что(10)Р = п + \.224. Если ^(х), tp(x) — ток и потенциал жилы (относительно земли)в сечении с координатой х, то/ \idJadV225.*/_ч_$chs(x-x0)Richsxo + y/pf/shsxo'где s = А—.. Постоянная XQ определяется из уравненияVРг?VPP7'(2)При Ri = Ra = 0^"'""""Л(3)Если нет утечки, то р' —* сю, XQ —* a, s —* 0 и вдоль кабеля ток принимаетпостоянное значение:_JueПри использовании формулы (7) из решения задачи 223 нужно положитьс.Р1,хаК = pax,г = —,K=-J~Iя = -j-.dxdxdx304Глава IVТогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что а = sdx. Величина /3 в этом решении связана с хо соотношением /3 = -^-, так что /За = xos.Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) решения задачи 223приводит к приведенным выше формулам (1) и (2).226.Х2Л1'Х1Л2 + Х2Л1'П31На границе раздела между пластинками:- 1) ~ xi (е2 =<т =24тг4ХAz-.Pi4тгВеличина V больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительнозаряженной обкладке.У границы обкладки и первой пластинки:£>i* = 4 РСТсв=ffi-.Pi4тг •У границы обкладки и второй пластинки:G=D21—14тг"ев=E2 - D2"л•4тггде (Ji, /32 — углы, образованные линией тока с нормалью к поверхностираздела в первой и второй среде.305Постоянный ток228.•ка'хоU,г>6.Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве междупроводниками не направлено по оси z.
Наличие отличной от нуля радиальной составляющей электрического поля Ег говорит о том, что на цилиндрических поверхностях проводников имеются поверхностные зарядыс плотностями(Ti=eJzeJz4тг4тгr=bПри z = 0 плотности (Ti и (Т2 обращаются в нуль. Положение сечения,на котором (Ti = (Т2 = 0, не является определенным. Это сечение можетбыть смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд.Заряды qi = 2жаа\ и q2 = 2жЬа2 = —q\, приходящиеся на единицу длиныпровода и оболочки (при одном и том же z), связаны с разностью потенциалов между нимиьV =соотношениемSiV= const.Отношение q\/V совпадает в данном случае с емкостью на единицу длиныцилиндрического конденсатора в электростатической задаче.Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечнодлинного прямого провода с током У.
Это объясняется тем, что плотностьтока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратныйток не создает магнитного поля.229. Ео =гдек=^-k(x2hо306Глава IVSo = Е„1о — э. д. с. источника. Внутри него электрическое поле направлено противоположно току (.Ео < 0).Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границахраздела проводников с разными проводимостями и могут быть определеныс помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен2901 = -£-(Ei - Ео).230.
Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-гопроводника, в котором действует э. д. с. Магнитное поле вблизи поверхноста совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Н = =^-.Вектор Пойнтинга 7 = т~(Еох Н ) (Ео — напряженность электрическогополя в 0-м проводнике, направленная противоположно току, см., задачу 229),как легко убедиться, направлен из проводника по нормали к его поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого проводника, следовательно, равна 2тгг£о7 = <?V> г Д е V = ^о'о — разность потенциаловна концах проводника. Величина JV представляет собой разность междуработой э. д.
с. 8$ {8 = Е„1о) и джоулевыми потерями в единицу временив самом источнике.Энергия JV вытекает ежесекундно через наружную поверхность источника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном внепроводников) и втекает внутрь 1-го и 2-го проводников через их поверхности, превращаясь внутри этих проводников в джоулево тепло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
