1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В том, чтообщее количество энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицувремени, равно JV\, $Vi, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтингатак же, как выше.2231. R = f •£-, где элемент dl направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности с площадью 5; цифрами 1 и 2 обозначены граничныеповерхности.232.б д4тгх\оЬ)) =х^(1-т04TTXI \ас/lnв) R = r-V- -•2nlx233.a-L(I-i)+47ГХ2 \ОО/1.1.2ТГХ1ОПостоянный ток234.307<?к=*235. С=236. Q =237. Д =238. R = Vl~V2= Ri + R2 - -1-} и fli + Да,где i?i = тг—-—, Лг = тг-^4KXU1(см.
задачу 233).239.сопротивления уединенных заземлителей4KXU2Обозначим через ео = л/1 —а^ эксцентриситет ЭЛЛИПСОИДОВVвращения (Ь/а — отношение меньшей полуоси к большей). Тогда1е0— в случае сплюснутого эллипсоида вращения,дR_ 1(1~е§)%1+ер1п— случае вытянутого эллипсоида вращения.Более выгодной (при фиксированном объеме V) является сильно вытянутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей.240.
Плотность тока в пространстве между электродами3 = Р"(1)не зависит от х (v(x) - скорость частиц в данной точке х). Скорость связанас потенциалом ip(x) формулой-V-^(if = 0 при х = 0).w308Глава WИз (1) и (2) следует, что р = 3*/—хг-гпринимает видтак как уравнение ПуассонаdipИнтегрируя (3)с граничными условиями -fполучим(«закон трех вторых»).(3)^ = -^jJ-^= 0 и 4>\х=а= Vo.ГЛАВА VПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ241.г<а,На =па-gjrпри а < гОпри г > Ь.6,242.
Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты Абудут удовлетворять уравнениям:ААХ= О,ААУ= О,AAz(1)= -^p-jz,Фпричем j z = 0 при г > a, j z = -=-5- при г ^ а.паПоскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, этикомпоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только отрасстояния г до оси z.
Интегрируя уравнение для Аг и используя условиянепрерывности Аг и На на границе г = а и ограниченности Н при г = О,получим:при г < аг,На = ^г;(2)при г > а= -дГ.Константа С — произвольна.(2')310Глава V243. При г <аВ = 0;Аж = Сипри а ^ г ^ bc(b — a )при г > bAz = — — In Y + Сз)-BQ=gj. .Остальные компоненты А и В равны нулю. Две любые константы,входящие в Az, можно выразить через третью, использовав условия непрерывности векторного потенциала на границах.244Я-2 Уfarctcа +2 х2»I a r c t6 c a ~ 2 x"'2»Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.245.
Пластины отталкиваются с силой246. Az = ^- In ^ = —гт _ 9^z _•П х=гт _~Щ- ^ —8У=дАг _дх ~12J (а-хс \ гг22|т\ УКоординаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскостиравны (а, 0) для тока +У и (—а, 0) для тока — У; т\ и г? — расстояния отточек (а, 0) и (—а, 0) до точки наблюдения.247. а) Между плоскостями Н = Щ-i, в остальном пространстве Н = 0;б) между плоскостями Н = 0, в остальном пространстве Н = Щ-i.
В обоихслучаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и параллельнотоконесущим плоскостям.311Постоянное магнитное поле248.Ну = —с(Ь — а ), Нх = Hz = 0; ось у нормальна к плоскости,проведенной через оси цилиндров.249. В цилиндрической системе координат, ось z которой перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр,Az — Ar — 0,где К(к) и Е(к) — полные эллиптические интегралы Лежандра, к2 =_Ааг(a + r)2+z2'Компоненты магнитного поля:ГЯгО (X^ь*у~^~ 'Hz = *fс~Iz.zот^(ьл _i_—Л (К) -\\К(к) + у22оол * _|_ ip& _|_ у&~т~ПII7l/'I^^—£j\K) ,г-т-(a-r)2y/(a + r) + z lНа оси витка (г = 0) эти выражения переходят вЯ г = 0,Hz = -250. В любом сечении такой трубки поток индукции будет один и тотже.
Поэтому уравнение поверхности трубки:N = JBdS= f(r, z) = const,где поверхность интегрирования 5 представляет собою круг радиуса гв плоскости, перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на осисимметрии). Так как Аа не зависит от а, то с помощью теоремы СтоксаполучимBdS=j> А • dl = 2тггАа(г, z) = const.Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями a = const и даютискомые линии магнитной индукции.312Глава V251. Компоненты магнитного поля:г2(-1)"Векторный потенциал выражается через напряженность магнитногополя с помощью теоремы Стокса и соотношения Н = rot A:г= 2 Я ( Г ) ~~- ' Оп=0*•'(cos 6>i+cos в2),252.
Hz =где (см. рис. 68):h-zCOS 0\ =COS 02 =253.Решим задачу методомвекторного потенциала. Плотностьповерхностного тока, возникающегопри вращении сферы,—р и с £gосА(полярная ось выбрана вдоль вектора ш). Векторный потенциал во всехточках, не лежащих на поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как следует из симметрии системы, векторный потенциал можновыбрать так, чтобы была отлична от нуля только компонента Аа, котораяне будет зависеть от угла а.
Поэтому уравнение для векторного потенциалазапишется:1 -А = <АА(1)а(см. ответ к задаче 47).313Постоянное магнитное полеПоскольку плотность тока зависит от угла д по закону sin $, естественно искать решение уравнения (1) в видеAa(r,ti)= F(r) sinti.(2)Как будет видно из дальнейшего, F(r) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор решения (2). Отметим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условиюdiv A = О,выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).Определяя F(r) с помощью уравнения (1) и граничных условий, получим Аа и Н = rot A.Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а)Н=^с"'при г > а3r(m • г)и=гmГо>53г2где m = Щг-ш — магнитный момент системы.Зс254.
В точках, где j = 0, можно положить Н = — grad^>. Тогдауравнение rot H = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div H = 0 даетПоследнее уравнение должно быть решено при дополнительном условиигде I — любой контур, охватывающий ток J. Вводим цилиндрическиекоординаты r,a,znищем решение в виде ф = ф(а).Окончательно получим255. а) Чтобы скалярный потенциал V магнитного поля был однозначной функцией, выберем некоторую поверхность 5 (рис.
69), опирающуюся314Глава Vна контур с током, и будем считать,что при переходе через эту поверхность гр терпит разрыв:= ir^(1)Точки 1 и 2 лежат бесконечно близкодруг к другу по разные стороны поверхности, причем направление из 1в 2 составляет с направлением токаправовинтовую систему.Решение уравнения Лапласаможно записать в виде (см. [101]):Рис.
69(2)В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной замкнутой поверхности S', а также по всем замкнутым поверхностям Е;, лежащим на конечном расстоянии от начала координат, внутри/dipкоторых гр или -^- имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл поonбесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля (контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на которых нормальная производная -^- = —Нп имеет разрыв, отсутствуют, так как Нп —onнепрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по однойповерхности Е, окружающей 5.Будем стягивать Е до совпадения с 5.
Вследствие непрерывности величин -, -^- и -£-(-) ня поверхности 5, формула (2) примет видг onon \r /(3)где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности 5.Используя равенство (1), получим(4)315Постоянное магнитное полеИнтеграл /rr^ представляет собою телесный угол П, под которым виденконтур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записатьв видеЗнак п положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки наблюдения в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуресоставляют правовинтовую систему.б) Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по поверхности, опирающейся на контур; используя результат задачи 55, получимгде V M означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М.Вычисляя Н = rot А, находим:( i ) ! | ( £ )(5)(При преобразовании использовано равенство Д ( £ ) = 0 ; предполагается,что точка г = 0 не лежит на поверхности интегрирования.
1 Сравнивая (5)с формулой Н = — grad ф, получаем1\-? fr-dSJo256. F = 0, N = m x H, где m = ^ / n • dD — магнитный моментконтура с током.и =и=mmi2 _ 3 ( m i - r ) ( m 2 -r)гго1СF 2 = - F i = -5 [(mi •r)m2 + (m2-r)ini + (mi •m 2 )r]--j(mrr)(m 2 -r)r,гггде г — радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F 2 —силы, действующие на первый и второй токи;_ 3(m 2 -r)(mi х г) | m 2 x пц5+г3гIN 2 =3(mi • r)(m 2 х г)пц х m 2.5rгз316Глава Vгде N i , N2 — вращательные моменты, приложенные к первому и второмутокам соответственно. Следует отметить, что N i ф —N2, ноN i + N 2 + ( r x F 2 ) = 0.Если магнитные моменты параллельны (mi = m i n , т г = т г п , г = гго,п и го — единичные векторы), то получим2— ro(5cos i? — 1)]где i? — угол между п и го.259.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
