1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Но если направления Мо и Но различны, то на сферубудет действовать момент сил. Его можно рассчитать с помощью тензора натяжений магнитного поля. Момент сил, действующих на постоянныймагнит, определяется формулойNi=ф£ eikiXkTimeikiXkTlmdSdS,m,(2)где Tim — тензор натяжений (V.26), еш — единичный антисимметричныйтензор, интегрирование ведется по внешней поверхности магнита.
Подставляя (V.26) в (2) и переходя к векторным обозначениям, получимN = -L j ( г х Н 2 )(Н 2 • dS) - ^ j Щ(т х dS).(3)Так как начало отсчета выбрано в центре шара, то г и dS имеют одинаковые направления, и второй интеграл в (3) обратится в нуль. Для вычисления первого интеграла положим dS = n dS = па2 dil, г = an и подставим Н 2 из (1).
Это дастN = ±/ [ a 3 ( n х Н о ) + m х п] ( Н о • п + \та. • n ) dU.(4)328Глава VПереходя снова к проекциям, получим2—^eikim,kmanina.(5)С помощью соотношения ПкПт = ^5fcm (см. задачу 32) найдем, что два изочетырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а остальныедадутN = m х Но(6)или окончательно, если выразить m через постоянную намагниченность,^(7)Как видно из этой формулы, индуцированная часть магнитного момента (а 3 Н о ) не дает вклада в результирующий момент сил.F-3М - 1m 2(1+cos2g)лг_М-1m2sinflcosflрасстояние от магнита до плоскости, в — угол между m и нормалью к плоскости. При ц з> 1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) получим такойже результат, как в случае электрического диполя, находящегося вблизиметаллической плоскости (см.
задачу 148).295. Искомые величины можно получить путем замены в ответе к задаче 201 электрических величин на соответствующие магнитные. В частности, при произвольном выборе координатных осей внутреннее поле H iв эллипсоиде запишется в видегде М — вектор намагниченности, Nki — коэффициенты размагничивания(компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные значения этого тензора обозначены в задаче 197 через п^ и называются тамкоэффициентами деполяризации.296.
Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остаетсясправедливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еще односоотношение, связывающее М и H i :Н1к329Постоянное магнитное полеИз этих двух формул получаемгдеЬкт = Skm - Nkm "Отсюдагде 6 j ^ — компоненты обратного тензора. Они могут быть определеныс помощью формул, полученных в задаче 11.Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида. Если тензор цгк имеет в этих осях диагональныйвид:ц{х)ООО /*<»> ООО(то тензор bik будет диагональным, поэтому и обратный тензор б ^ 1 такжебудет диагональным:(//^-l)]" 1ООО1[l+N^in^-l)]'ОООГЛАВА VIЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕСВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА§ 1.
Поляризация вещества в постоянном поле297. /3= Jog.Если заряд электрона распределен равномерно внутри сферы с радиусом ао то /? = aj).1299. Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей тензора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие осимогут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости толькодва будут различны: /З^, /З^ = /3^3\ Для их определения нужно отдельнорассмотреть следующие случаи:а) Внешнее поле направлено по оси молекулы.
Очевидно, что индуцированный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдольвнешнего поля. Обозначив эти моменты соответственно через р ' и р " , получим для их определения два уравненияр ' = /?'(Е + Е'),р " = /?"(Е + Е"),(1)где Е — внешнее поле, Е' и Е " — дополнительные поля, вызываемыев центре каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е ' и Е "можно выразить через дипольные моменты соответствующих атомов, воспользовавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполемс моментом р и учитывая, что все векторы направлены вдоль оси молекулы.1Модель, рассмотренная в этой задаче, очень груба и позволяет получить лишь порядковуюоценку. Точный квантовомеханический расчет дает для водорода /3 = ~aj).331§ 1.
Поляризация вещества в постоянном полеОпределяя затем р' и р" из системы (1), с помощью формулы р = р' +р" =^найдемI0'2{a3 + 2/3')a3(a3 + 2(3")2{a3 + 2/3")a3 {a3+ 20')i0'б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путемполучаем0(2)=0(3) =_а3-(3'0'При 0' = 0" выражения 0^33а (а -0")и 0^J3, а -(3"^7 + 3 30"а (а 0')упрощаются:Средняя поляризуемость\20'0'301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значениятензора поляризуемости диэлектрика (ср. (VIA')):б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопическихобъемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю 8:332Глава VIС другой стороны, имеем, очевидно:Pi = Pik&k = Ъгде усреднение производится по макроскопическому малому объему.
Изсравнения двух последних формул следует, чтоТаким образом,Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный суммеглавных значений /3^ + /3^ + /3^ (см. задачу 9). ПоэтомуКоэффициент поляризации диэлектрика а связан с /3 обычной формулой (VL4').302. Если ось молекулы ориентирована под углом в к направлениювнешнего поля Бо, то энергия молекулы запишется в видеW = - | р • Е о = - | ( / 3 i cos 2 в + /32 sin 2 0)ElЧисло частиц в единице объема, оси которых направлены под углом в относительно Бо, дается формулой Больцмана (VI.6).
В условии нормировки (VI.7) величина N должна иметь смысл числа частиц в единице объема.Вектор поляризации определяется формулой Р = Np, где р — усредненныйпо распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы. Поскольку в отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметьнаправление внешнего поля.В соответствии с этим вычисляем величину р по формулеЕо ] ехр ( - ^ Р ) (Л cos2 в + fa sin2 в) sin в <Юр = 4F fpn dN = —N J IIгде через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы, параллельная полю.
По условию задачи поле — слабое, поэтому достаточно§ 1. Поляризация вещества в постоянном полеучитывать только члены, линейные по а = - —333° -С 1. Использовав£Ki±далее формулы Р = Np = aEo, получим окончательноКак видно из этой формулы, зависимость между Р и EQ получается нелинейной, и а не является коэффициентом пропорциональности,не зависящим от Ео. Оценим величину поправочного члена при обычных температурах (Т = 300 К).
Считая /?i — /?2 порядка 10см 3 , по6лучими 10 . Таким образом, этот член мал, если Ео -С Ю 3 в/см.Pi — Р2Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:(см. задачу 301).305. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией диэлектрика, запишется в виде(1)где R — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциалобъемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид(2)S,где р' — плотность объемных зарядов, а' — плотность поверхностных зарядов, т' — мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим, 1d2Qik_,_1 dQin,1Л„Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемнымзарядам р' внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному электрическому слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку334Глава VIплотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации формулами р' = — divP', а' = Р^, то из (3) следует,что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольноиполяризации1 dQikр , _Pи двойному слою с мощностью т'к.Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.П306.
е = ±4где х = &nN(J. Поляризуемость 0 для полярных веществ в слабых поляхдается формулойи~ ЪкТгде р — дипольный момент молекулы, к — постоянная Больцмана, Т —температура.При i < l , когда отличие действующего на молекулу поля от среднегополя становится очень малым,307. Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитнойи диамагнитной восприимчивостей (см.
[101]):*ЗкТбшс2Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора m может бытьвычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеемгде К — момент количества движения частицы. В случае ротатора К связанс кинетической энергией формулой22та§ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
