1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Такая же сила будет действовать на любую область диэлектрика, охватывающую полость с заключеннымв ней зарядом. Часть этой силыпри(2е + 1)о2ложена к точечному заряду q, другая часть F' =(2е - 1)<72= х—-(2e + l)o 2 e — к связанным зарядам, наведенным на поверхности полости.Рис. 58153.
Выберем полюс сферической системы координат в центре шара (рис. 58), полярную ось проведем через точечный заряд. Будем искатьпотенциал в форме(1)где п — расстояние от q\ до точки наблюдения. Ряд, входящий в (1), очевидно, описывает поле зарядов, индуцированных на шаре. Это поле должно274Глава IIIисчезать на бесконечности, поэтому a j m = 0. Вследствие симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены c m / 0 также отсутствуют.Оставшиеся константы 6/ = 6/о определим из граничных условий.В случае а) потенциал шара <р(Д, $) = V = const. Воспользуемсяразложением для ^- из задачи 96:Отсюда 6/ = —при I ф 0, 6о = VR — j£,так что потенциал внешараТеперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:г=оВ случае б) потенциал У неизвестен и должен быть выражен череззаряд Q шара.
Очевидно,Q = 2тг (a(R,d)R2smddd= eVR-^ ,откуда V = - ^ + J j . Используя задачу 96, можно записать (2) в виде:где9' = q§,22r 2 = v/r + o ' - 2 o V c o s i 9 ,о' = ^ .Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г > а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат и трехего изображений — зарядов Q nqr = q^ в начале координат и заряда —q' вгармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а' = ^ - .§ 1. Основные понятия и методы электростатики275Заряд —q' описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к qстороне поверхности шара.
Знак этих зарядов, очевидно, противоположензнаку q. Заряд +q' описывает действие зарядов одного с q знака, индуцированных на удаленной от q части шара.Рис. 59Рис. 60Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен (V == 0), то потенциал принимает видV=154.
<р(М) = A--±-155. (р{М) = £ - ^+ V (рис. 59), где+ ^-%Vj _ЯаЗаряд на выступе равен156.(р = (pi = g |(5)1гТ~ 1ъ-(рис. 60), где«_2аЬ2-а29вне шара, <р = <рз =~Вп о л о с т и))г д е— в проводнике,276Глава III157.-Pj(cos??)itoпри г ^ Л;где г\ — расстояние от q до точки наблюдения. Здесь потенциал не моАРис. 61жет быть представлен простой системой изображений, в отличие от случаяпроводящего шара. При е\ —* оо получим результат задачи 153.158.•*•где ri — расстояние от точки наблюдения до заряда q.При a = О,е2\ q)§ 1.
Основные понятия и методы электростатики277159. Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер соответственно через Si и $2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю.Удобно решать задачу в сферической системе координат с полярной осью,направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом координат в центре внутренней сферы(рис. 62).
В этих координатах уравнениеповерхности Si запишется в виде г = а. Чтобы получить уравнение поверхности S2, заметим, что из треугольника 00'А следует:*(1)Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнениеповерхности S2:6 + cPi(costf),(2)гдеPi (cos i9) = cos i9.Член cPi (cos •&) = с cos i? в (2) описывает отклонение от сферическойсимметрии, которое обращается в нуль при с —* 0. Естественно искатьпотенциал в виде разложения по сферическим гармоникам (см.
приложение 2), ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член,учитывающий отклонение от сферической симметрии, должен быть пропорционален с.Итак, положим(3)где Ai и Bi определяются из граничных условий:51'•1Д2/д<рд<рд - dSi = -Airq.SiОкончательно:Отсюда плотность заряда на внутренней сфере:Я3<?с278Глава IIIсила, действующая на внутреннюю сферу:F=-160. АС =qcЬ3-а3'a2b2c2(Ь-а)2(Ь3-а3)161. При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействияс шаром возрастет на dU = tp'dq, где tp' — потенциал индуцированных нашаре зарядов.
Но этот потенциал сам пропорционален q: (/ = const • q.ПоэтомуяU = IdU = COnst „21(1)Если бы величина </ не зависела от q (потенциал внешнего поля), то энергия взаимодействия была бы вдвое больше (U == f'q). Используя (1) и результаты задачи 153, получимU = откудаF = -Рис. 632е(а2-В?Уq2aRe(a?-R2)2'2322Qqq R (2a -R )2222""2a e(a -R )'ea'ea3(a2-R2)2'В случае одноименных зарядов Qq > 0, и сила взаимодействия можетобратиться в нуль, а при достаточно больших q или малых расстояниях а —даже стать отрицательной (притяжение).162.
С / = Й -23qR163. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с зарядами,расположенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к границам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов, наводимых пробным телом, было мало. Например, при измерении электрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила электрического§ 1. Основные понятия и методы электростатики279изображения была мала по сравнению с измеряемой силой Щ- (Q — зарядашара, а — расстояние от пробного заряда до центра шара). Это приводитк условию (см. ответ предыдущей задачи)Q _Яо(2а/Д-1)2\a/R){a/R-irкоторое выполняется только при не слишком малых a/R и не слишкомбольших q/Q.164.
Изображением электрического диполя p = p ( e x s i n a + e z c o s a )в заземленном шаре является система, состоящая из точечного заряда q == 1-т- cos а и диполя р ' = р ( ^ ) (—ех sin a + ez cos a ) , находящихся в точке А' (рис. 63) на расстоянии г' = ^ - от центра шара.p2R(r2 cos 2 a + R2)2e(r 2 - Д 2 ) 3='p Дг sin 2a_2е(г2-Д2)3'В предельном случае г - » й получим, полагая г = R + z, R —> оо,z = const, результаты задачи 148 (диполь у проводящей плоскости).165.<7 =^rCOSI?,4тгЯ3где 1? — угол между р и направлением из центра в точку наблюдения.Индуцированные заряды создают в полости однородное поле Е = - ^ .R166.
Силы, действующие на неоднородность, могут быть полученыдифференцированием величиныпри постоянных Qim.280Глава IIIВеличина U' отличается от истинной энергии взаимодействия области неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которуюнадо совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле ц> (ср.с (III. 16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Qim зависят от внешнего поля.
В частности, если область неоднородности представляет собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется формулой| m Q ? m -(2)Коэффициент ^ можно получить так же, как это сделано в решении задачи 161, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны а/ т . Принахождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференцирования по обобщенным координатам как Q/ m , так и а/ т следует считатьпеременными величинами.167.
С/о = q<p0 - р Е 0 ,при этомЩ =<А)-г-Ео,<р2 = JL + Е_£егЛегF = qEo + (р• V)E 0 ,N = р х Ео(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия U = — ^ р • Е — минимальна. Удобно направить координатные оси вдоль главных осей тензора /%&, тогда U = —^(0+ 0№Щ + Piz)E2z). Отсюда видно, что если /?<х) > /?<»> > /?W > 0, томинимум U имеет место, когда Е || х; если же /?(х) ^ /?М ^ /?(*) < 0, томинимум получается при Е || z.170.Ось стержня и плоскость диска стремятся установитьсяпри £i > £2 параллельно направлению поля, а при е\ < £г — перпендикулярно.ходит притяжение, при £2 > £i — отталкивание. В случае проводящегошара £i —* оо. Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию§ 1.
Основные понятия и методы электростатикивзаимодействия и =281^^-> откуда2е 2 (Я 2 - о 2 )2е 2 (а 2 -R2)2(ср. с задачей 161).Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы (III. 16). Рассмотрим величину U' = ^ - / (е 2 - £i)E • Ei dV.
Объем Vограничен сферой 5, бесконечно близкой к поверхности диэлектрическогошара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий в выражение U', лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальнойэнергии U взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного заряда E i в однородномдиэлектрике е 2 соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (е 2 — £i) за знак интеграла. Тогда U' = в2 ~ £ l / Vy • Vyi dV.Применив формулу Грина / Vy • Vyi dV = § -^- dS + J (fA(fi dV, и восs c'nпользовавшись тем, что внутри шара Д<^1 = 0, найдем для U следующеевыражение:П = £2-£i2£2R2l+1' а21+3'v^Iff0 lei+ (1 +1)е2Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2) задачи 166.
Отсюда для F получим приведенное выше значение.172 Г-172~ W=W ~ 2 Г'Сю*-173. а = ± - г - = ±-г—=2R,R25—,м\. . , , , , где 6 =Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и выбранного за ось х.-1282Глава III175. Если оси х, у, z параллельны главным осям тензора е^, тоПри произвольной ориентации координатной системы формула (1) запишется в видегде \еце\ — определитель тензора £**.п.177.
C =где z — координата, нормальная к пластинам конденсатора.178. Если выбрать оси х, z в плоскости Бо, n, z \\ п, тогде tg??o = тг^- При этом силовая линия в диэлектрике остается в плоскоста Ео, п.§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты180. Обозначим через q\ заряд первого проводника и через q' заряд навнешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности второго проводника равен — qi, как это следует из электростатическойтеоремы Гаусса). Система (III.28) принимает вид:, "1= C12V1 + C22V2.
JСложив эта уравнения, получимq' = (си + cia)Vi + (с12 + c 2 2 )V 2 .(2)§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты283Заданием q' определяется поле во всем внешнем пространстве, в частности, потенциал V2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким об1разом, иметь место при любых значениях V\ и фиксированных q , V2, чтоможет быть, только еслиСП + С12 = 0.(3)При этом первое из уравнений (1) принимает вид:qi=cn(Vi-V2).(4)Из (2), (3) и (4) следует, чтоС = СЦ = —С12 = —С21,С" = С12 + С22.181. в 1 1 =32-5-,2-5-, ss22=22 =- C122li—3-,2li—3-,«i«i22 ==ss21l ^^l ^ - г .21 == ^С П С22 - C12СПС22 - C12182. 5 ц = ^ - , 1S22 = -Q-, S12 = 521 = -gf-183.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
