1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 40
Текст из файла (страница 40)
12).При больших частотах изменения поля становятся существеннымипроцессы разделения зарядов в плазме и токи смещения. Диэлектрическаяпроницаемость плазмы в пренебрежении потерями электромагнитной энергии имеет виде{и) = 1-и>Ци>2,(XIV. 13)где величина(п — концентрация электронов, е и т — их заряд и масса) называется ленгмюровской частотой, или частотой плазменных колебаний. Она характеризует частоту колебаний электронов относительно ионов.
Такие колебаниявозникают при любом разделении зарядов в плазме (см. задачу 871). Корректное описание плазмы в случае быстропеременных полей производитсяс помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения Болыдмана,рассмотрение которого, однако, выходит за рамки этой книги.860*. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется междудвумя неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси zпод действием постоянного градиента давления -j- = const. Проводимостьжидкости о", коэффициент вязкости г), расстояние между плоскостями 2а.Перпендикулярно плоскостям в направлении оси х приложено постоянноеи однородное внешнее магнитное поле Но. Вычислить зависимость скорости жидкости от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений Но.861. Вязкая несжимаемая жидкость находится между параллельными плоскостями х = ±а.
Плоскость х = — а движется со скоростью — vo,а плоскость х = а — со скоростью vo в направлении оси z. Градиент давления отсутствует, электропроводность жидкости а и коэффициент вязкости г) заданы. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное магнитное поле Но.
Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное полев ней.862. Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус которого а, течет ток $', распределенный по сечению с плотностью j(r). Какзависит от г давление плазмы, если оно уравновешивается магнитным давлением, создаваемым текущим вдоль столба током?Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению состояния идеального газа. Выразить силу тока $ через температуру Т плазмы§ 2. Коллективные движения в плазме239и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу длиныстолба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние плазмы с v = 0.863. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба(см.
условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по сечению?864. Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхностишара радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью 12. Скорость плазмы v постоянна по величине и направленапо радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, котороев системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение Н(а, $, а ) == Но($,а), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можнопренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найтиего зависимость от координат и времени в области г > а в неподвижнойсистеме отсчета1.865. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величинумагнитного поля и угол в между силовой линией и радиальным направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров:радиус Солнца а = 0,7 • 10 6 а= км; среднее магнитное поле на поверхностиСолнца Но « 1 э ; радиус орбиты Земли го « 1,5 • 10s км; угловая скоростьвращения Солнца Q = 2,7 • 10~6рад/сек; скорость солнечного ветра г; == 300 км/сек.866. На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле Н, направленное вдоль оси цилиндра, и радиальное электрическое поле Е.
Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическимполем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическуюпроницаемость е± плазмы, находящейся в магнитном поле.867. Квазинейтральная плазма находится между плоскостями х == ±d. Пусть в некоторый момент времени произошло разделение зарядов,в результате которого все электроны оказались в плоскости х = d, а всеионы — в плоскости х = —d.
Из-за электростатических сил заряды станутсовершать колебания. Пренебрегая столкновениями частиц, найти частоту и>этих колебаний, если средняя концентрация частиц одного знака равна п.1Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром).240Глава XIV868. Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазмупри разных частотах.
Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициентотражения R и поперечное электрическое поле в плазме Е(г, t).Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).869*. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкновительнойплазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле Е = Ео ехр[г(к • г —— u)t)\, вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координати скоростей, считая его максвелловским.
Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п и температура плазмы Т(температура измеряется в энергетических единицах).870. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поляпри учете теплового движения частиц имеет видгде v?i = Т/т, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.871.
В момент t = 0 в плазме нарушилась нейтральность заряда,в результате чего возник объемный заряд с плотностью р(г, 0).а) Вычислить плотность р(г, t) для t > 0, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (XTV.13).б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для ец, приведеннойв условии предыдущей задачи, выбравр(г,0) = рощ; ехр[-(J^J ],где р0 = const, х0 = const.ЛИТЕРАТУРАДжексон Дж. [52], Лонгмайр К.
[74], Франк-Каменецкий Д. А. [109],Нортроп Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Силин В. П., Рухадзе А. А. [91], Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. [2].ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯГЛАВА IВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕИСЧИСЛЕНИЕ§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразованиявекторов и тензоров1. cos 0 = п • n ' = cos I? cos I?' + sin 1? sin i?' cos(a — a ' ) .3.
Так как 6» (г = 1,2,3) — компоненты вектора, то при повороте системы координат Ъ[ = агкЪк- Подставив Ъ'г в равенство а'гЬ'г = inv и сравнивс пкЬк = inv, получим аи = onkd'i, т.е. а* преобразуются при поворотахкак компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаляр) при отражениях неменяет знака, компоненты а» и 6*, либо одновременно должны менять знак(полярные векторы либо не менять его (псевдовекторы).10. ( a x b ) o = i ( a _ i 6 + i - a + i 6 _ i ) ,( а х b ) ± i = ±i(a o 6±i - a ± i 6 0 ) ,11. Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениямЭто — алгебраические уравнения относительно компонент е~^ обратноготензора. Их решения имеют вид1 _ Дыгк - | £ | >е.„Wгде Aki — алгебраическое дополнение элемента е»^ в определителе |е|.
Изформулы (2) следует, что для существования обратного тензора необходимо,чтобы |е| ф 0. Учитывая известное свойство определителя\\242Глава Iубеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с (1), также условиям£7k£kl = &U(3)Если ецс — симметричный тензор, заданный в главных осях: £*& = е^бус(здесь суммировать по г не нужно), то14. Tik образуют тензор II ранга.Рис. 46Рис. 4715.
При преобразовании е» —> е< по формулам е< = а ^ е к , коэффициенты dik = e'i • e/t имеют смысл проекций новых ортов на старые.Выполняя проектирование (рис. 46,47), получим следующие матрицы преобразования:при переходе от декартовых координат к сферическим,/sin I? cos aа = I cos i? cos a\ —sin asin I? sin acos i? sin acos аcosi? \— sin i? I ;0 //sin i? cos a cos i? cos а — sin a\S " 1 = I sin i? sin a cos •в sin a cos а I ;\ cosi?-sini?0 /при переходе от декартовых координат к цилиндрическим,(cos asin а0\— sin а0cos а00);1//cos aа " 1 = I sin аV 0—sin аcos а00\0].1/§ 1.
Преобразования векторов и тензоров24316. Обозначив через <? матрицу, связывающую компоненты векторав системах S' и S (А- = gikAk), имеем:в случае отражения,9- =/-100 -1\000\0 ;-l/в случае поворота,(cos a— sina0sin а 0\cosa 0 I .01/Направление отсчета угла а и направление оси z удовлетворяют правилу правого винта.17. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, получим5 ( a i 0 a 2 ) = 5(0:2)5(0)5(0:1) =/ cosai cosa2—cosflsinai sin02; sinai cosa2+cos0cosai sina2; sin0sina2\= | —cos ai sin 0:2—cos 0 sin ai cos 0:2; —sinai sina2+cos6cosai созаг; sin в cos аг I .\sinaisinfl— sindcosaicosfl /18.V2V2a—iAcos в;/19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
