1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При каком условии8справедливо это предположение? Начальный радиус атома а = 0,5 • 10~ см.792. Релятивистская частица с зарядом е и массой тп движется покруговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н, теряя энергию на излучение. Найти закон изменения энергии и радиуса орбиты современем §(t) и r(t). В начальный момент времени t = 0 энергия частицыравна So (ср. с задачей 791).793. Электрон в бетатроне разгоняется на орбите постоянного радиуса а вихревым электрическим полем. Последнее индуцируется временныммагнитным полем частоты ш. Найти критическое значение энергии электрона §кр, при котором потери на излучение равняются с энергией, приобретаемой электроном за счет работы вихревого электрического поля.794*. Частица с зарядом е и массой тп притягивается к некоторомуцентру квазиупругой силой — тш^т. В некоторый момент времени 1 = 0218Глава XIIв этом гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания.
Учитывая реакцию излучения, но считая ее малой, найти закон затуханияэтих колебаний. Определить форму спектра такого осциллятора и ширинуспектральной линии («естественная ширина»). Как связаны между собойнеопределенность энергии hu> излучаемых фотонов и время жизни осциллятора?795. Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом этогогаза излучает свет с частотой и>о (естественной шириной линии испускания пренебрегаем). Из-за теплового движения атомов и эффекта Допплеранаблюдатель, неподвижный относительно сосуда с газом, зарегистрируетчастоту, отличающуюся от шо- Найти форму -^- спектра излучения газа,нагретого до температуры Т.УКАЗАНИЕ.
Скорости атомов газа распределены по закону МаксвеллаdN _ (т\1- ^где — — доля молекул, скорость v которых заключена в промежуткеdvxdvvdvz,16к = 1,38 • 10~ эрг/град — постоянная Больцмана. Так как выполняется условие t i « c , можно в формуле, выражающей допплеровское изменение частоты (см.задачу 574), отбросить все члены, порядок которых выше ^ .796. Излучающий атом, описываемый моделью гармонического осциллятора, движется в газе; при этом атом испытывает столкновения с другими атомами, скачком меняющие характер его колебаний. Вероятностьтого, что время свободного движения атома имеет продолжительность от тдо т + dr выражается формулой dW(r) = ^е2dr (среднее значениепромежутка времени между столкновениями т = ^ J.
Найти, пренебрегаяестественной шириной линии, форму спектра излучения такого осциллято797*. На трехмерный изотропный осциллятор падает группа волн, характеризуемая спектральным распределением интенсивности Su и полнойооинтенсивностью S = J Su dui ( 5 — количество энергии, протекающее черезо11 см за все время прохождения группы). Ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной спектральной§3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением219линии осциллятора 7- Скорость электрона D « C , Найти энергию, поглощенную осциллятором из световой волны, учитывая торможение излучением.
Как сказывается на результате характер поляризации и направлениераспространения волн, входящих в группу?798. Найти полное количество энергии AW, поглощенной одно мерным осциллятором с собственной частотой и>0 из группы волн со спектральным распределением S^,, в следующих трех случаях: а) линейно поляризованная плоская группа волн, у которой направление колебаний вектора Бсоставляет угол D с осью осциллятора; б) неполяризованная плоская группаволн, распространяющаяся под углом в к оси осциллятора; в) изотропноеполе излучения (на осциллятор с равной вероятностью падают плоскиеволны с любым направлением поляризации и любым направлением распространения).799*.
Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона » « с . Найти дифференциальное ^ги полное <т сечения рассеяния волны с учетом силы лучистоготрения. Рассмотреть, в частности, случаи сильно связанного и слабо связанного электрона.800.
Плоская электромагнитная волна, поляризованная по кругу, рассеивается свободным зарядом. Определить рассеянное поле Н, исследоватьхарактер его поляризации. Найти дифференциальное ^рассеяния.и полное а сечения801. Неполяризованная плоская волна рассеивается свободным зарядом. Найти степень р деполяризации рассеянной волны в зависимости отугла 1? рассеяния.802*.
Линейно поляризованная волна рассеивается свободным зарядом. Заряд движется с релятивистской скоростью v в направлении распространения волны. Найти дифференциальное сеченне рассеяния. Рассмотреть также случай рассеяния неполяризованной волны.УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулой (XII.26) и выразить v через Б, Н.803*. Изотропный гармонический осциллятор с частотой и>о, зарядом е и массой т помещен в слабое однородное постоянное магнитноеполе Н. Определить движение осциллятора. Исследовать характер поляризации излучения осциллятора1.1Такой гармонический осциллятор представляет собой модель атома во внешнем магнитномполе. В задаче, таким образом, предлагается развить классическую теорию эффекта Зеемана.220Глава XII§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоскиеволныЭлектромагнитное поле есть функция независимых переменных г, t.При рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться разложениямиФурье для поля.
Встречаются разложения следующих типов:1. Р а з л о ж е н и е на м о н о х р о м а т и ч е с к и е в о л н ы :ооf(r,t)=J Ъ(т)е-Ш<1ы,(XII.39)—ооооШ = ± f Пг,г)ешЛ.(ХП.390—оо2. Р а з л о ж е н и е н а п л о с к и еволны:(XII.40)-(XIL40')Здесь / — какая-либо из компонент поля, (dk) = dkxdkydkz.3. Р а з л о ж е н и е на п л о с к и е м о н о х р о м а т и ч е с к и еволны:/(г, *) = У Aa,ei<k'p-rt>(dk)dw,(XII.41)r) dt.Из уравнений Максвелла следует, что частота и> является функциейволнового вектора к. Уравнение, выражающее зависимость из = и>(к), называется дисперсионным уравнением. Вещественность компонент поля /(г, t)приводит к соотношениям:Л , = / - и , /k = /-k.
/kU = /-k,-«(ХП.42)Формулами (XII.40), (XII.41) описывается поле во всем бесконечномпространстве. Соответственно этому, интегралы в этих формулах распространяются на все пространство волновых векторов и на все координатное§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волныпространство. Другая употребительная форма разложения на плоские волны, при которой рассматривается поле в ограниченном объеме V, излагаетсяво многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. 1.При использовании разложений Фурье весьма полезны бывают соотношения (П 1.15) и (П 1.14) из теории 5-функции.
В частности, с помощьюсоотношения (П 1.15) и формул (XII.42) могут быть доказаны формулы:Jоо(XII.43)оо/ 2 (r,i)(dr) = ( 2 7 r ) 3 | | | | / k | 2 ( d k ) .Разложение на плоские монохроматические волны играет большуюроль в квантовой электродинамике. Каждой такой волне в квантовой теории сопоставляются фотоны — частицы, движущиеся со скоростью света с. Энергия § и импульс р фотонов связаны с частотой ш и волновымвектором к соотношениями:в = Пш, p = hk.(XII.44)804. Доказать формулы (XII.43).805. Найти связь между компонентами Фурье полей Б, Н и потенциалов А, <р (рассмотреть все три варианта разложений Фурье).806.
Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурьедля трех вариантов разложения Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с параметрами е{ш), ц{е), вообщеговоря, зависящими от частоты.807. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительнокомпонент Фурье для потенциалов А(г, t) и <p(r, t). Рассмотреть все триварианта разложений Фурье.
Пространство заполнено однородной изотропной средой с параметрами е(ш) и ц{ш).808*. Разложить по плоским волнам потенциал ц> кулонова поля неподвижного точечного заряда.809. Разложить по плоским волнам напряженность электрическогополя Б неподвижного точечного заряда е.810. Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v = const.Разложить поле <р, А, Б, Н заряда на плоские монохроматические волны.221222Глава XII811*. Найти потенциалы ip(r, t), A(r, t) поля равномерно движущегося точечного заряда е (см. ответ к задаче 610), используя разложения этихпотенциалов по плоским волнам, полученные в предыдущей задаче.УКАЗАНИЕ.
ДЛЯ вычисления интеграла по (dk) сделать замену переменхных кх —>— , ку —> fcj,, fc* —> fc* (ось х || v) и воспользоваться раз•^/1 - v2/c2ложением поля неподвижного точечного заряда на плоские волны (см. задачу 808*).812*. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно со скоростью v. Найти электромагнитное поле ip(r, t), A(r, t), воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам, если электрический р и магнитный m дипольные моменты в лабораторной системе отсчета заданы.УКАЗАНИЕ. ПЛОТНОСТИ электрического заряда и тока системы выражаются формулами:j = crot[m<5(r - vt)] + J^[P<5(r - vt)],p = — div[p<5(r — vt)].813. Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя (момент т о в системе покоя диполя).
Скорость диполя v.Ограничиться двумя частными случаями: а) когда mo || v, б) когда т о -L v.Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче 613.814. Получить поле равномерно движущегося электрического диполя(момент ро в системе покоя) с помощью результатов задачи 812* (см. ответк задаче 612).815. Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурьесоленоидального вектора — перпендикулярны к (поперечны).816*. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и соленоидальная части векторов электромагнитного поля Б и Н.Показать, что безвихревая часть электрического поля Ец(г,<) описываетмгновенное (незапаздывающее) кулоново поле, определяемое распределением зарядов в тот же момент времени, для которого определяется Ец.817*. Разложить свободное (р = 0, j = 0) электромагнитное поле А(г, i) в вакууме на плоские волны (в этом случае ip = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
