1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Д., Лифшиц Е. М. [64, 65], Фок В. А. [107], Френкель Я. И. [111], Гуревич Л. Э. [49], Бергман П. Г. [13], Паули В. [87],Беккер Р. [12], Спитцер Л. [98], Джексон Дж. [52], Челлен Г. [114],Окунь Л. Б. [83], Балдин А. М., Голъданский В. И., Розенталь И. Л. [8],Зоммерфельд А. [56], Ливингстон М. С. [73], Гринберг А. П. [45], Кельман В. М., Явор С. Я. [58], Моррисон Ф.
[80], Скачков С. В. и др. [92],Тамм И. Е. [102], Франк И. М. [108], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Компанеец А. С. [60], Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. [6], Голдстейн Г. [41].ГЛАВА XIIИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХВОЛН§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполямЗадача нахождения переменного электромагнитного поля в вакууме позаданному распределению зарядов р(т', t) и токов j(г', t) может быть решенапутем вычисления запаздывающих потенциалов:<p(r,t)=JR(XII.
1)(XII.2)где R = | г — г' |, г — радиус-вектор точки наблюдения поля, г' — радиус-вектор источника поля, dV — элемент объема источника поля. Эти потенциалыудовлетворяют уравнениям Даламбера:at2и связаны между собой условием Лоренца:Количество неизвестных функций может быть уменьшено, если вместопотенциалов А(г, t) и <p(r, t), связанных между собой уравнением (XII.5),200Глава XIIввести одну векторную функцию Z(r, t) (вектор Герца, и поляризационныйпотенциал), через которую А и ip выражаются формулами:А=(XIL7)с'WРаспределение зарядов и токов при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции Р(г', t), связанной с р и j соотношениями:/9=-divP,(XII.8)j =(XIL9)0ГТакое определение величины Р обеспечивает выполнение уравнения непрерывности div j + -£ = 0.
Величина Р называется поляризацией (не следуетсмешивать эту величину с поляризацией диэлектрика).Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению Даламбера:AZ - -\ • ^-f = -4тгР.сdtВекторы Е и Н выражаются через Z формулами:(XII.10)(XII. 11)Чтобы найти электромагнитное поле по заданным р и j , используя вектор Герца, нужно сначала определить с помощью формул (XII.8)и (XII.9) вектор поляризации Р . Вследствие аналогии между уравнениями (ХП.З)-(Х11.4) и (XII. 10) вектор Герца выражается затем через Р так же,как запаздывающие потенциалы ip и А через р и j :Z(r, t)=I ^ — ^'- dV.(XII.12)Если система зарядов и токов заключена в ограниченной области, размеры которой имеют порядок а, а порядок величины длин волн, существенных в спектральных разложениях потенциалов, составляет Л, то при^ < 1и£ < 1(XII.13)§ 1.
Вектор Герца и разложение по мультиполям201можно произвести разложение подынтегральных функций по степеням уи -.гЕсли ограничиться первым членом такого разложения, тоZ(r,f) = ^ r A(XII. 14)где t' = t — £ — ретардированное время центра системы.Величинапредставляет собой электрический дипольный момент распределения зарядов (ср.
с задачами 741,742). Соответствующие выражения для А и у? будуттогда следовать из (XII.6) и (XII.7).Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких большихрасстояниях г от системы зарядов, что наряду с (XII. 13) выполняется неравенствог'<А<г(XII. 16)(волновая зона). В этом случае для нахождения поля можно воспользоватьсяАложеразложениемвекторного потенциала по степеням ^> которое с точностьюАдо ( Y ) имеет вид:Здесь п = £ — орт в направлении распространения электромагнитных волн,tn= ^fr'xj(r',t')dV(XII.18)— магнитный дипольный момент,— составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается дифференцирование по t'.202Глава XIIХарактерна зависимость векторного потенциала в волновой зоне отрасстояния г до системы. Она обеспечивает (см.
ниже) существование неисчезающего на бесконечности потока энергии в направлении от системы. Этозначит, что таким векторным потенциалом описывается излучение электромагнитной энергии.Второй (электрический квадрупольный) и третий (магнитный дипольный) члены в этом выражении меньше в j раз1 первого (электрическогодипольного) по порядку величины и могут быть отброшены, если тольконет каких-либо особых причин, сильно уменьшающих первый член.В волновой зоне поле в достаточно малых областях пространства имеетхарактер бегущей от источника плоской волны. Напряженности этого полямогут быть вычислены по формулам:Н = Цхп,Е = Н х п.(XII.20)Угловое распределение излучения характеризуется количеством энергии, протекающей в единицу времени через единицу телесного угла:du47ГПолная интенсивность / излучения получаетсяем (XII.21) по всем направлениям.При использовании разложения (XII.
17), получаем1= з?№) +во?5£интегрировани-з?(л)2'(XIL22)В случае периодического движения зарядов обычно представляютосновной интерес средние по времени за период величины I и 4кail726. Непосредственной подстановкой убедиться в том, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют уравнению Даламбера и условию Лоренца.727. Используя результаты задачи 32*, получить формулу (XII.22).728. Записать уравнения, которым удовлетворяют электромагнитныепотенциалы ip и А, если вместо условия Лоренца (XII.S) наложить на нихусловие div A = 0 (так называемая кулонова калибровка).'Если излучающей системой является частица, движущаяся в ограниченной области соскоростью v, то — « —.Ас§ 1.
Вектор Герца и разложение по мультиполям203729. Показать, что в волновой зоне при выполнении условия Лоренца скалярный потенциал ограниченной излучающей системы может бытьвыражен через векторный потенциал формулой <р = п • А.730. Используя результаты задачи 620* (формулы (2) и (3)), найти выdK системой,ражение для потери момента импульса в единицу времени —!=^излучающей как электрический диполь.731. Найти уравнения силовых линий электрического и магнитногополей точечного электрического дипольного осциллятора с моментом р == ро cos tot.
Проследить за качественным изменением картины поля в зоне,прилегающей к осциллятору, и в волновой зоне.УКАЗАНИЕ. ЕСЛИ полярная ось направлена вдоль ро, то электромагнитное полеосциллятора имеет вид:2pocostf rcos(kr-ui)-.л+ ksmikr — ut)\,JЕг = ——^r2LEQ =( — — k2 ) cos(fcr — ut) -\— sin(fcr — <rEa ^ Hr ^ Нф ^ 0;Pok2„Ha=r. Г,,.рок . ..лSill COS(fcr — Cjt) H— Sin(fcr — Cjt) .Iri732. Найти электромагнитное поле Н, Б заряда е, движущегося равномерно по окружности радиуса а. Движение нерелятивистское, угловаяскорость и). Расстояние до точки наблюдения г > о. Найти средние повремени угловое распределение 4кas 2иполную интенсивность / излучения,а также исследовать его поляризацию.733. Исследовать влияние интерференции на излучение электромагнитных волн системой зарядов в следующем примере: два одинаковыхэлектрических заряда е движутся равномерно с нерелятивистской скоростью и с частотой и) по круговой орбите радиуса а, оставаясь при этом напротивоположных концах диаметра.
Найти поляризацию, угловое распределение ^jr и интенсивность / излучения. Как изменится интенсивностьизлучения, если убрать один из зарядов (ср. с результатом задачи 732).204Глава XII734. Насколько расположение зарядов в предыдущей задаче должноотличаться от диаметрального, чтобы интенсивности электрического дипольного и квадрупольного излучений были равны?735. Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеютодинаковую частоту и>, но сдвинуты по фазе на ^ . Амплитуды дипольныхмоментов равны по величине ро и направлены под углом /р друг к другу.
Расстояние между осцилляторами мало по сравнению с длиной волны.Найти поле Н в волновой зоне, угловое распределение Щг и полную интенсивность / излучения.736. Исследовать состояние поляризации поля излучения системы осцилляторов, рассмотренных в предыдущей задаче, используя методику, изложенную в решении задачи 399.737*. Найти среднюю по времени плотность 7 потока энергии набольших расстояниях от заряда, рассмотренного в задаче 732, учитываячлены порядка -=^. Найти вращательный момент N, приложенный к полностью поглощающему сферическому экрану большого радиуса, около центракоторого движется этот заряд.738. Равномерно намагниченный шар радиуса а с намагниченностью М вращается с постоянной частотой и> вокруг оси, проходящей черезцентр шара и составляющей угол tp с направлением М.
Найти электромагнитное поле Е, Н и исследовать характер поляризации. Определить угловоераспределение ^и полную интенсивность / излучения.739. Равномерно заряженная по объему капля пульсирует с неизменной плотностью. Поверхность капли при этом описывается уравнением= До[1 + аР2 (cos tf) cosujt],где о < 1. Заряд капли q. Найти угловое распределение ^и полнуюинтенсивность / излучения.740. Электрический заряд q распределен сферически симметричнымобразом в ограниченной области и совершает радиальные пульсации. Найтиэлектромагнитное поле Б, Н вне распределения зарядов.§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям205741.
Найти выражения электрических дипольного Z p и квадрупольного Z Q , а также магнитного дипольного Z m членов разложения вектораГерца, справедливые при произвольной зависимости токов и зарядов отвремени, на расстояниях г > а, А > а (выполнение условия г > А необязательно).742. Найти в векторной форме выражения для напряженностей электромагнитных полей электрического р и магнитного m дипольных осцилляторов на расстояниях от них, больших по сравнению с их размерами.УКАЗАНИЕ. При дифференцировании по г учитывать, что моменты р и mдолжны быть взяты в ретардированный момент t' = t — £ и, следовательно, зависятот г.743.
Найти угловое распределение ^j? и полную интенсивность / излучения от открытого резонатора, рассмотренного: а) в задаче 532; б) в задаче 533.УКАЗАНИЕ. ЭТИ резонаторы можно рассматривать как совокупность электрического и магнитного диполей, колеблющихся с резонансной частотой и>о.744. Моменты двух одинаковых электрических диполей направленыпо одной прямой и осциллируют в противофазе с частотой и> (амплитуда ро).Расстояние между центрами а, А > а.
Найти электромагнитное поле на__ „л7расстояниях г > а. Найти угловое распределение излучения - ^ и егоаМполную интенсивность /.745*. В линейной антенне длиной I возбуждена стоячая волна тока Jс амплитудой Jo, частотой и> и узлами на концах антенны. Число полуволн тока, укладывающихся на длине антенны, равно т. Найти угловоераспределение излучения ^ - .746. Найти полное излучение / и сопротивление излучения R = -==^антенны, рассмотренной в предыдущей задаче.УКАЗАНИЕ. Результат выражается через интегральный косинусCi(x) = C + lnx +Гcos1^~ dt,bгде С = 0,577 — постоянная Эйлера (см. справочник [90], 8.230).206Глава XII747.
В линейной антенне длиной I распространяется бегущая волна1t( kutтока J = Joe - ^~ K где к = ^ , £ — координата точки на антенне. Найтиугловое распределение - ^ и полную интенсивность / излучения.748*. В круглой проволочной петле радиуса а возбуждена стоячаяволна тока вида J = Jo sinna'e"*"*. Найти электромагнитное поле Н, Ев волновой зоне.749*. Центры двух электрических дипольных осцилляторов с частотой UJ и одинаковой амплитудой ро || х находятся на оси z, на равныхрасстояниях от начала координат и на расстоянии а = j друг от друга.Колебания в осцилляторах сдвинуты по фазе на ^ . Найти угловое распределение излучения^г.750. Отражение системы В зарядов р(т, t) и токов j(r, t) в плоскости z = 0 состоит в том, что а) каждая точка г = (х, у, z) переходитв положениег' = (х, у, — z); б) плотность заряда меняет знак: р(г, t) == — р'(г', t), где р' — плотность заряда в отраженной системе В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
