1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Выяснить, как при отражении преобразуются плотность тока j (г, t), электрические р, Q и магнитный m моменты системы, а также электромагнитноеполе Е, Н.751. Доказать, что электромагнитное поле произвольной системы Взарядов вблизи идеально проводящей плоскости может быть получено каксуперпозиция полей системы В и системы В', отраженной в этой плоскости(см. предыдущую задачу). Рассмотреть, в частности, излучение электрического дипольного осциллятора с моментом p(t) = pof{t) (|po| = 1, f{t) —произвольная функция), находящегося на расстоянии b <S А от такой плоскости и образующего с ней угол ipo = const (ограничиться электрическимдипольным приближением).752.Электрический диполь с амплитудой момента ро и частотой и>находится на расстоянии | от идеально проводящей плоскости (а <§С А,вектор ро параллелен плоскости).
Найти электромагнитное поле Е, Н нарасстояниях г > А и угловое распределение излучения ^-.1Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом, чтобы отраженнойволны не возникало.§ 1. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда207753. а) Показать, что если функция u(r, i?, а) удовлетворяет уравнению Гельмголыда Аи + к?и = 0, то потенциал Герца для монохроматического поля электрического типа (Нг = 0) с частотой и> = кс в свободном отисточников поля пространстве может быть представлен в форме: Z = иг +1 г)+ gradx. X = ~^7(ги)'г б) найти выражения составляющих напряженно-к дгста электромагнитного поля Н, Б по осям сферической системы координатчерез u(r, i?, а ) (функция и называется потенциалом Дебая).УКАЗАНИЕ.
Доказывая, что AZ + k2Z = 0, обратить внимание на то, чтосуществует соотношение Дх + к2\ + 2и = 0.754. Показать, что поле точечного электрического дипольного осциллятора с моментом рое~ г ы *, находящегося в точке го(го || ро), может бытьописано потенциалом Дебая (см.
задачу 654) вида и = у- • ^~Б~, где R =уБ= г - г0.УКАЗАНИЕ. Вектор Герца Z = u r + grad x, соответствующий потенциалу и,отличается от выражения -^егкн (см. (XII. 14)), но приводит к тем же выражениям БНиН.755.Точечный электрический дипольный осциллятор с моментом рое~гш* находится на расстоянии 6 от центра идеально проводящего шара радиуса а. Момент направлен вдоль линии, соединяющей дипольс центром шара. Воспользовавшись потенциалом Дебая и (см. задачу 753),найти электромагнитное поле Е, Н. Найти угловое распределение излучеш§ 2. Электромагнитное поле точечного заряда,движущегося произвольным образомТочечный заряд е, движущийся со скоростью \(t') и находящийся в момент времени t' в точке го(£'), возбуждает электромагнитное поле, потенциалы которого в точке г в момент времени t определяются формуламиЛиенара - Вихерта:4>{r,t) =где R = r - r 0 .R - R • v/cevc(R - R • v/c)(XII.23)208Глава XIIРетардированное время f определяется уравнениемс(* — *') = |R.|.(XII.24)Из потенциалов Лиенара-Вихерта можно получить напряженности поля:(1 - /32)(n - v/c)3(1-п-у/с) Дen x [(n - v/c) x v]2с2(1-п-у/с)3ДОСП 2H = n x E || t ,,гдеП =Д '/ 3 =с -Первый член Б и соответствующий ему член Н описывают поле, убывающее с расстоянием по закону - ^ (квазистационарное поле), котороеRдвижется вместе с зарядом, не отрываясь от него.
Второй член в Б и соответствующий ему член в Н описывают поле, убывающее с расстояниемпо закону -у; (поле излучения); поток энергии этого поля не зависит от Д.нЭто означает, что поле излучения отрывается от породившего его заряда. Набольшом расстоянии от заряда (в волновой зоне) квазистационарное полепренебрежимо мало по сравнению с полем излучения. Как видно из (XII.25),условием возникновения поля излучения является наличие ускорения v ф 0.Интенсивность излучения в направлении п = Щ выражается черезнапряженность электрического поля Б в волновой зоне:е2du4кКЦПГ2(П-У)(УУ)4тгс3 U(l - п •У2c(l-n.v/c)(l-t;2/c2)(n-y)2l4c(l-n.v/c) 6 J'(Ь)Если скорость v заряда мала по сравнению со скоростью света, то полеизлучения может быть разложено по мультиполям, и для его вычисленияможно воспользоваться формулами (ХП.17)-(ХП.22).В результате излучения ускоренно движущаяся частица теряет своюэнергию § и импульс р, передавая их электромагнитному полю.
Потерю г-йсоставляющей 4-вектора энергии-импульса частицы pj = ( | г , р ) в единицу§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного зарядасобственного времени г можно выразить через 4-скорость щ и 4-ускорение юi частицы:Потеря энергии частицей в единицу времени в лабораторной системе отсчета —Щ^ (скорость потери энергии) отличается от четвертой составляюdtщей (XII.27) множителем 7 =— , так как dt' = 'ydr. ИнтенсивУ/1 — v2/c2ность излучения, определяемая с помощью (XII.26), не совпадает, в своюочередь, со скоростью потери энергии (см. задачи 762*-768).Поле A(Ro,i) заряда, совершающего периодическое движение по замкнутой орбите г = To(t') с периодом ^L, может быть разложено в рядФурье A(Ro, t) =ооA/e~*"'0".
Компонента Фурье А/, поля на большихYl/=-оорасстояниях от орбиты выражается формулой:А, _рбikRoCHQI1titi[lu>ot — k-ro(t )]v(f'\fif'^YTT 7R\Jгде2тгi^oИнтеграл распространен по всей траектории заряда.Заряженные частицы при столкновении движутся с ускорениеми, вследствие этого, излучают электромагнитную энергию. Закон движения сталкивающихся частиц и, следовательно, излучаемая ими при столкновении энергия определяется видом взаимодействия и прицельным расстоянием s (если потенциальная энергия взаимодействия сталкивающихсячастиц зависит только от расстояния между ними).
Энергию, излучаемуюво всех направлениях при рассеянии потока частиц, удобно характеризоватьполным эффективным излучениемоох = 2тг I AW(s)s ds,(XII.29)огде AW(s) — энергия, излучаемая при одиночном столкновении двух частиц, s — прицельное расстояние.209210Глава XIIРаспределение излучения по направлениям характеризуется дифференциальным эффективным излучением dxn, которое определяется выражением:г d[AW (s)}ndfi-" /dfi(XII.30)sds._d[bWn(s)]Здесь ——— энергия, излучаемая в направлении п в единицу телесного угла при одиночном столкновении с прицельным расстоянием s, усредненная по азимуту в плоскости, перпендикулярной потоку частиц.
Аналогичной формулой определяется дифференциальное эффективное излучениеdx,на единичный интервал частот -у^. Если главную роль при столкновенииujujиграет дипольное излучение, то (XII.30) принимает вид:( X I L 3 1 )*щгде Pfaosfi)= | cos 2 д — ^ — полином Лежандра (см. приложение 2), д —полярный угол между направлением п излучения и направлением z потокападающих частиц,+ООА = - I 2жз dsI p 2 dt,}ООВ = | J2nsdsО(XII.32)+ООI (p 2 - Зр2) dt.—ооСпектральное разложение излучения при столкновении, продолжительность которого г, в области малых частот шт <g.l может быть найдено поформуле<тзз)где сумма берется по всем сталкивающимся частицам, vi, V2 — скоростичастиц до и после столкновения («i, иг <• с).756*.
Получить потенциалы Лиенара - Вихерта (см. (XII.23)) из общихформул для запаздывающих потенциалов.§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда211УКАЗАНИЕ. Распределение заряда в точечной частице характеризуется объемной плотностью р(г', t) = е6[т' — го(£)], где го(4) — радиус-вектор частицы в моментвремени t, e — ее заряд. При вычислении объемного интеграла по dV' = dx'dy'dz'нужно перейти к новой переменной R i = г' — го.757*. Произведя разложение по степеням R/c в общих формулах запаздывающих потенциалов ((XII. 1), (XII.2)), найти разложение потенциаловЛиенара-Вихерта по степеням 1/с.758. Получить потенциалы поля равномерно движущегося точечногозаряда из потенциалов Лиенара-Вихерта, выразив в последних ретардированное время f через время t наблюдения поля (ср. с задачами 610 и 811*).759. Найти напряженности поля равномерно движущегося точечногозаряда, воспользовавшись для этого общими формулами (ХП.25).
Выразитьполе через время t его наблюдения, исключив ретардированное время t' (ср.с задачей 610).760. Заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v ограниченной области. Найти приближенные выражения электромагнитного поля Б, Н частицы в точках, расстояние г до которых частицы велико посравнению с размерами области движения заряда. Определить положениеграницы квазистационарной и волновой зон.761.Определить угловое распределение ^ - излучения заряда, расал1смотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение /.762*.
Частица теряет в единицу времени за счет излучения в неко— 2 © _ \ ( С К О р О С Т Ь потерь энергии на едиdt uO/ницу телесного угла в данном направлении). Выразить эту величину черезинтенсивность излучения 4kBданном направлении определяемую век-тором Пойнтинга. Решить задачу двумя способами: а) аналитическим —рассмотреть связь ретардированного времени t' с временем наблюдения t;б) геометрическим — рассмотреть форму области пространства, в которойлокализована электромагнитная энергия, излученная частицей за время dt'.763. Доказать, что если частица совершает периодическое движение,то средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью излучения.764. Доказать формулу (XII.26).212Глава XII765. Найти суммарную по всем направлениям скорость потерь энер— *Щ) излучающей заряженной частицей, выразив ее а) через скоси /рость v(i') и ускорение v(i')> б) через скорость v(i') и напряженности Е, Нвнешнего электромагнитного поля, вызывающего ускоренное движение частицы.
Масса частицы тп, заряд е.766. Выразить скорость потери импульса ( — Ц ) излучающей заря\ at )женной частицей через суммарную по всем направлениям скорость потериэнергии.767. Излучающую частицу наблюдают из двух систем отсчета, движущихся равномерно друг относительно друга. Сравнить суммарные по всемнаправлениям скорости потери энергии частицей в этих системах отсчета.768. Скорость v релятивистской частицы в некоторый момент ретардированного времени t' параллельна ее ускорению v.
Найти мгновенноеугловое распределение интенсивности излучения ^=-, полную мгновеннуюинтенсивность излучения /, а также суммарную по всем направлениям ско— ^ 7 ). Какой характер имеет угловое распределениеdt )интенсивности излучения в ультрарелятивистском случае?769. Скорость частицы убывает от VQ ДО 0 в течение промежуткавремени т. Найти угловое распределение тормозного излучения, испущенного за все время движения частицы, считая ускорение постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
