1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так как матрица поворота на нулевой угол (тождественное преобразование) равна 1, то при повороте на малый угол | е ^ | < 1. Для доказательства соотношения ецс = —£k% воспользуемся инвариантностью2 г 2 =Sотносительно вращений. Поскольку х\ = ощ-Хк = i» + £%кХк, тос точностью до малых величин первого порядка имеем г'' 22 = г22Из инвариантности г 2 следует, что SikXiXk = 0 при произвольных хи а этовозможно только при Sik = —Ski- Введем вектор бср с компонентами Sift == keiki£ki- Тогда г' = г + бср х г, откуда видно, что 5<р представляетсобой вектор малого угла поворота, направление которого указывает осьвращения, а величина — угол поворота.244Глава I22.
Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пустьматрица коэффициентов преобразования а, а ее определитель \а\. В силуортогональности матрицы а имеют место п2 равенств ацса1к = 8ц. Замечая,что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равногопроизведению двух определителей \а\, получим | а | - | а | = | 1 | = 1 или | а | 2 == 1. Отсюда следует, что \а\ = ± 1 .Докажем, что при поворотах \а\ = + 1 .
Если поворот производится нанулевой угол (тождественное преобразование), то \а\ = | 1 | = 1; посколькуэлементы матрицы а являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот (например, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и приповороте на конечный угол | а | = 1.При отражениях определитель \а\ имеет вид±10а = 00±1000±1.........Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые соответствуют отраженным осям. Ясно, что \а\ = + 1 при четном числе такихосей и —1 при нечетном их числе.24. Из 27 величин ем отличны от нуля только шесть. Остальные имеют хотя бы два одинаковых индекса и в силу антисимметрии обращаютсяв нуль (еик = —еик = 0). Отличные от нуля компоненты равны= ^231 = —ез21 = —^213 = —ei32 = 1-Составим выражение а.ца2к(*ы^ы- Вспомнив определение детерминанта третьего порядка и используя определение ем, запишем это выражение в виде OLua2k(^zi^iki = |«| = + 1 = е' 1 2 3 .
Переставив теперь слева дваиндекса, например, 1 и 2, получимoi2iOcikOC3ieiki = -ocikOC2iOi3iekii = -е'пз= e2i3 • • •Из этих равенств видно, что е»м преобразуются при поворотах как тензорIII ранга. При отражениях величины ем не меняются, поэтому совокупность их образует аксиальный тензор III ранга. Он обладает любопытнымсвойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы.25. Запишем тензор Л ^ в виде таблицы:/=0-А21VЛА120-Л23-А31\Л23.0 /§ 1. Преобразования векторов и тензоров245Обозначим Лгз = А\, A^i = А2, А12 = A3. Эти три равенства можнозаписать как Л» = \eikiAki, где е ш — совершенно антисимметричный единичный тензор III ранга, введенный в предыдущей задаче.
Но поскольку е шявляется тензором III ранга, а Аы — тензором II ранга, величины Ai (г == 1,2,3) образуют вектор. А» называется вектором, дуальным тензору .26.(А х В)» = eikiAkBi, rot» A = еш^—^- А х В и rot А можноОХкрассматривать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальныеим векторы, компоненты которых не меняют знака при отражениях (псевдовекторы).28. а) а 2 (Ь • с) + (а • Ь)(а • с); б) [(а х Ь) х с] • [(а' х V) х с'].30. (a-a')(b-b / )(c-c / ) + (a-b / )(b-c / )(c-a / ) + (b-a / )(c-b / )(a-c / )- (а • с')(с • а')(Ь • Ь') - (а • Ь')(Ъ . а ' ) ( с • с') - (Ь • с')(с • Ь')(а • а').31.
Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы вовсех системах отсчета, то при любом повороте А\ = aiy т. е.Ах = Ах,Ау = Ay,Az = Az.(1)Повернем систему координат вокруг оси z на угол тг. Из формул преобразования компонент вектора при вращениях А\ = otikAk получим, чтоАх =Ах,Ay =Ay,Az = Az.(2)Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если Ах = Ау = 0.Произведя поворот вокруг оси х на угол тг, точно так же докажем, что Az = 0,т.е. вектор А = 0, если его компоненты не зависят от выбора системыотсчета, что и требовалось доказать.б) Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: Т ^ = Sik + Aik- Антисимметричныйтензор эквивалентен некоторому псевдовектору (см.
задачу 25) и, в силудоказанного выше свойства вектора, его компоненты не зависят от системыотсчета только тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор Sik.Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональныйвид X^Sik. Если А ^ не равны друг другу, то компоненты тензора будутзависеть от выбора осей, т. е. от того, какой цифрой (1,2 или 3) обозначенаданная ось.
Только при А^) = А^2^ = А^3) = А компоненты тензора небудут зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид А5»£, чтои требовалось доказать.246Глава I32. Искомые средние значения равны соответствующим интегралам:._1 Г4тг J,о_ _ _1 Г4тг JОднако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее применить другой метод, основанный на использовании трансформационныхсвойств рассматриваемых величин.
Очевидно, что величины щ, гЦЩ и т. д.являются тензорами соответственно I, II, III, IV рангов. С другой стороны,из их определения (1) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через такиетензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы отсчета.Рассмотрим с этой точки зрения щ.
Поскольку нет вектора, кроменулевого, компоненты которого не зависели бы от системы отсчета (см.задачу 31), то щ = 0.Тензор щпк должен выражаться через симметричный тензор II ранга,компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензоромявляется только Sik. Поэтому можно написатьгЦпк~ = AJjfc.(2)Для определения Л свернем 1 тензор по двум значкам:2щщ = п= 1 = ЗА,А = ^.оРассуждая аналогичным образом, найдем= 0,=6ц6ктп + 8im6kl)-(3)33.
l a ' , i a - b , la, §a», fa-b;i [ ( a • b)(c • d) + (a • c)(b • d) + (a • d)(b • c)].34. n n ' ,35. П • 1,(nxn')l.n' • 1,111 • (П2 X Пз).1Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тензора по двум одинаковым значкам.§ 2. Векторный анализ247§2. Векторный анализ3*.V. -»^-*4&.37. divr = 3, rotr = 0, grad(l • г) = 1, (1 • V)r = 1.38. rot(u> x г) = 2ш.41. gradyj(r) = jjy/;1divy?(r)r = Зуз + гу/; rotyj(r)r = 0;42.
р( г ) = £°Ш*.г343. div(r • a)b = а • b, rot(r • a)b = a x b, div(a • r)r = 4(a • r),rot(a • r)r = a x r, div(a x r) = 0, rot(a x r) = 2a, div f(r)(a x r) = 0,rotip(r)(a x r) = (2<p + r<p')arot г x (a x г) = 3(r x a).Ц:—-ц>', div г х (а х г) = —2(a • r),44. gradA(r)r = A+£(r-A'),div<p(r)A(r) = -^-(r-A) + ^(r-A'),45. — grad ( ^ - 3 - J = rot (3gradA(r)-B(r) = ^(A'-B + A-B'),rot<p(r)A(r) = y ( r x A ) + ^ ( r x A ' ) ,J; проекции этого вектора на базис-ные орты е г , е#, е а равны соответственноЗр cos i9г3p sin i?, 0.Векторные линии образуются пересечением двух семейств поверхностей: а = С\, г = С2 sin 2 д, а также особое решение •& = 0, ж.'Здесь и далее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по г.248Глава I47.(AA)r = AAr - \A\A2 rrr2r- ^ЫША^)-^—Л-Ыr 2 sint?cwr 2 sint?cwA*.
2 dAr2cost?22r siirt?r1 ovr2r 2 sint?2Л=АА°<*|2Д Л • 2cost?|+i 22 ?2r sin t?r sint? da2248.(ДЛ), = AAZ.49. /(grad y? • rot A)dV = f(Axgrad <p)dS = f<p rot A dS.50. Здесь, как и в раде других случаев, удобно рассмотреть скалярноепроизведение интеграла на произвольный постоянный вектор с:с • / г(а • n) dS = 1{с • т)ап dS = f div[(c • г)а] dV == (а-с) I dV = (a-c)V.Поскольку с — произвольный вектор, то отсюда следует, что, / ( а • п)г dS == aV. Таким же способом получим /(а • r)ndS = aV.51. <fnipdS = fgraAipdV,/ ( n x a)dS = JiotadV,${n • b)adS = /(V • b)adV = / ( b • V)ad^ + /a(div b) dV.55. Используя метод задачи 50, получим / ц> d\ = / ( n x grad ф) dS,n — орт нормали к поверхности.56.
/(gradи х grad/) • ndS.61. a ) A + f ;6)A + B l n t g | ; в)А + Ва.62. a)A + Blnr; б)А + Ва; B)A + BZ.249§ 2. Векторный анализ64.х =±( 6у=±2>" 2=222(с -6 )(а -6 )J '2_с2)(62_с2)j .j(а"1 =2_а2)(с2_а2)V(v-0(v-02Rr,(1)2Д Сд=где Д„ = х / (Из формул (1) видно, что каждой тройке значений £, г), £, соответствуютвосемь троек х, у, z.Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координатможно, найдя grad£, grad 77, grad С и составив скалярные произведения grad£-grad?7 и т.д., которые оказываются равными нулю. grad£, grad 77,grad £ можно найти непосредственно из уравнений, определяющих £, г), £,беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1).;.
, - ± [ <65с2-о2250Глава I2где Д« = /(2 iЖ)2\ (С)(2)i a.ii67.tit4 = п„ = ——£'aj,chf-cos77asinr;, па = —г—;ch^-cosr;(ch^-cosn)3rg /!fl\a2La^ Vch£- cosna^/+i a /sin" a \ +sinn an V ch^ - cosn an/68. Поверхности p = const — тороиды:(\/x2 + y2 -acthp)2 + z2 = (-^—) ;\sap/поверхности £ = const — сферические сегменты:ip = tit = —rт,ch /э — cos £Л а = —гiт.cap — cos £2ГЛАВА IIПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕПОЛЕ В ВАКУУМЕ69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
