1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вместо условия tp\s = const наповерхности S цилиндра удобнее использовать вытекающее из него усло= 0. В результате дифференвиедацирования получим2R +x\ -2RxicosaR2 +x?,-2Rx2Cosa'Рис. 52Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos aи без него. В результате получим, что при х\ = х<ь эквипотенциальнойповерхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус2удовлетворяет условию R = х\х^.
При х\ = 0 существует решение Х2 = 0.Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити.263Постоянное электрическое поле в вакууме118. Воспользуемся рис. 53 Радиус R искомой сферы и положение ее центра определяютсяуравнениямиZl=292Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.119.А<р =-р-е~аг - 1=qA±+qA-= -4»,J(r) + 2 2 ^ .Таким образом, имеется точечный заряд qв начале координат и сферически симметрично распределенный объемный заряд с плотностью р = 120.н47[т, JpdVРис. 53= -q.Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным_2гзарядом с плотностью р(г) = — ^ е° .
Такой вид имеет распределение7Г£Гзаряда в атоме водорода (ср. с задачей 83)^J^J^121. U = J^-p122. U =123. U =124.Я=125U =^^-.49192F =9i 92El££„ „ 2тг2тг9192 г гГ124тг2о6 Й огде интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dli и сМг,a i и а2 — углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по dot2264Глава IIи делая замену ах = ж — 2а, получимпу/аЬгдеTL2jfc =2 ^ =2 + (л/2VcС + (aа ++ Ь)2b) 2daшУJ4/l-Jfc2sin 2 a— полный эллиптический интеграл первого рода.При вычислении силы F = — ^- = —^Щ-тг нужно воспользоватьсяасдк асформулойE(k)2(см.
справочник [90], 8.112), где i?(fc) = / y/l — k2siaadaоэллиптический интеграл второго рода.Окончательно,— полныйЕ(к)1-ifc2'126. *-55 + + j-j,,,__Sin 1?i Sin 1?2 COS W — 2COS1?1COS1?2T r127. U = piP2IN -3r3.3где •di = Z ( r , p i ) , $2 = ^(Г)Р2). V — угол между плоскостями ( r , p i )и(г,р2),sin ??i sin ??2 cos (p — 2 cos ??i cos $24Сила максимальна при i?i = i?2 = V = 0, т.
е. при параллельных диполях.128. tf21 = Jp(r')MT')dV= ЕГЛАВА IIIЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВИ ДИЭЛЕКТРИКОВ§ 1. Основные понятия и методы электростатики129.130.ipx=ip2=2Ятл. _£!+£2Г-" 'ipi = ф2 = <РЗ =дг2EIr 3-£ i + £ 22тг_._ _- '2Е2gr£ i + £ 29+ £2O2 + £зазГ'qrг3131.Граничным условиям (<^ = const на поверхности проводникаи у? = 0 при г —> сю) можно удовлетворить потенциалом вида у> = Ц-; постоянная С определяется из условия § Dn dS = Anq, С = — ^ — . Отсюданаходим распределение поверхностных зарядов:qei°"i = т.—т,—:—Г'27ra 2 (ei+e 2 )'a2 =°"2=ae->2na?(e1 + е 2 ) 'д(е2•ег)1 jZ.о ^L-.47Г-1)27га^(е1+е 2 )г 1 т•Jо— о£2266Глава IIIСвязанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т. е. насферах радиусов а, Ь, с:'Е\„-q"Ьсв ———Т Тоо"Ьсв4ЯЧГ4Г2„1£21"сев"сев— ——114£2£l/547ГСгде q — заряд внутренней обкладки конденсатора.Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.135.
Емкость конденсатораe0SС = 4тга1п2'Поверхностная плотность связанных зарядов<Гсв = - ( Т { 1 --^JПрН X = О,x = a-Объемная плотность£ 0 (х + а) 2(о = eV/(Ana In 2) — заряд обкладки прн х = 0).136.а) /о = § = "°rj2б)в)1/о = g ^ = g/o(жидкий диэлектрик),/ = -г— = /о(твердый диэлектрик);/ = ^ — = £/о(жидкий диэлектрик),f = — 5 — = £ /оО7Г(твердый диэлектрик).267§ 1. Основные понятия и методы электростатики2137. a) F =б) F = -(е - 1)6/12 V2nq2h1h2[h1e-b[sahi - (е -~ 1)l)h2x]2. Общие знаки минусговорят о втягивании диэлектрика в конденсатор (координата х стремитсяуменьшиться).138. Сравним давление в точках А и В жидкости (рис. 54).
В точке Вдавление равно атмосферному рвщ. Давление в точке А можно найти двумя способами. С одной стороны, по формуле (111.25), рл = Рвт + Щ- ^ ^О7ГОТ(здесь pa™ = ро, Е = ^ J. С другой стороны, РА отличается от давленияу поверхности жидкости в конденсаторе, определяемого формулой (111.23),Л.БвРис. 54Рис. 55на величину гидростатического давления£-18тгrgh,= rgh + т^-^-—+ Ра™- Сравнивая, получимh="139. Тензор максвеллова натяжения Т'п направлен так, что электрическое поле Е делит пополам угол между п и Тп (рис. 55). \Т'п\ = ш =r n^-при любой ориентации площадки. Стрикционное натяженне Т ^ =^имеет всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдольнормали п к площадке.268Глава III140.
а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 56а.На плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е =——. Для вычисления силы F, действующей на один из заряс ь 2 + о 2 /4) 3 / 2дов, например, на левый, нужно просуммировать напряжения, приложенныек элементам dS этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:=TzdS = -£-E2dS = --±-г2•dS,если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюдаr22wrdrea2"Именно такое значение обычно принимается для силы, действующей междузарядами в однородном диэлектрике.
Однако, если провести то же самоевычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна Fz + AFZ,E,6)Рис. 56где AFZ = q2e~2a~2r^-получается за счет стрикционного члена. Но в те-ории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учиты-§ 1. Основные понятия и методы электростатики269вать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышениегидростатического давления в жидкости на величину Ар = 4 ^ ^ , согласие отно (111.25). Результирующая гидростатическая сила AFzr= —4~~2~|| =s а от2= —AFZ. Полная сила взаимодействия зарядов Fz + AFZ + AFzr =saсовпадает с той силой, которая получается без учета стрикционных сили представляет собой, таким образом, результирующую электрических и механических сил.б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке, гденаходится заряд q, испытывающий действие силы (рис.
566). Введем сферические координаты и рассмотрим максвелловы натяжения Т'п = j — 7iE2er),где Е = E i + E2, E i = — - e r — поле заряда, испытывающего1tsRдействие силы, Ег = -^ (е^ sin д—er cos $) — поле второго заряда, котороегаможно рассматривать как однородное, так как расстояние между зарядами а ^> Л. Просуммировав натяжения, приложенные к поверхности сферы,получимРассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего нового из-за гидростатической компенсации.141.^0= ^где g — ускорение силы тяжести.142.
ПриПриZ< 0:т<fi = <£"2 =£l+£21м143.<7св ^• "Г-r1 Г/i\^V2/i\^Vlll"J— (£2 — ^-/~о— — \ ^ 1 — ^-/~о——Яагде222г = у/х + у + а = r i | 2 = 0 = г 2 | 2 = 0 .При £г —> оо получаем случай точечного заряда q, находящегося в диэлектрике £i, у границы с плоским проводником. При этом стсв —> — -270Глава IIIЭта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного заряда наповерхности проводника.144.F=-44а?При е\ >£г заряд отталкивается от границы диэлектриков, при е\ <е% —притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийсясначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется набесконечность.
(Сказанное будет справедливо только в том случае, еслипренебречь силой чтения, действующей на заряд со стороны среды.)Приведенное значение силы F можно получить разными способами:а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов q' и q"; б) вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны вязанных зарядов,находящихся на границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения,приложенные либо к плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхностималой сферы, окружающей заряд.145.F1=2(ei+e 2 )o :2 '4o 2£2 — £i£2(£i + £2)92Q1Q2.• 4a? +2(£i + £ 2 )o 2 'Неравенство сил, действующих на заряды q\ и 92 объясняется тем, чтоэти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему;имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков.
Векторнаясумма сил, приложенных к этой границе и к зарядам q\ и 92, равна нулю,как и должно быть.146. Если положить в металле <р = 0, то в диэлектрике <р = q/er\ —2— q/er (см. рис. 10: заряд q в точке А, заряд — q в точке В; е\ = е,ег = оо). Член —q/er-i, обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы онописывал поле точечного заряда —q/e, находящегося в точке с координатой z = —а. Заряд —q/e называется изображением заряда q/e относительноплоскости z = 0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика)."~2тГГ3'' "где г — радиус-вектор в плоскости z = 0.§ 1. Основные понятия и методы электростатики271147. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов,изображенными на рис. 57.+9+2у/////////////,148. Пусть диполь находится в точке (0,0, z). Если проекции дипольного момента р на оси х, у, z равны p s i n a , 0, pcosa, то проекции егоизображения р ' на те же оси будут —р sin a, 0, р cos a.U =(р.р')г 2 -3(р-р)(р'т)F =-Р22£Г5416z £+ cos2a),'• 2(l + cos 2 a),sin aПри любой ориентации р диполь притягивается к плоскости.
Вращательный момент N стремится установить диполь вдоль положительногоили отрицательного направления оси z (a = 0, тг). Момент N = 0 такжеи при a = тт. но это положение равновесия неустойчиво.149. Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферыи ось z || Е о . Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра'Множитель — в выражении U возникает благодаря тому, что поле Б ' дипольного момента р ' пропорционально р . При увеличении р на d p (и неизменной ориентации) энергияр1взаимодействия возрастает на dU = — Е ' dp, откуда U = f dU = —1^ ( Е ' • р ) (ср. с решениемозадачи 166).272Глава III(ср. с решением задачи 153). Окончательный результат:<pi =—s—Eorcosd£l + 462<р2 = -Eorcosd+£l~£2приг < а,Е0а3^-приг > а.Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность которого_Е1Зе 2 Е (>Ео£ i + 2 e 2 ° \ <Е0припри£2>£ь£2<£i-Вне шара на внешнее однородное поле EQ накладывается поле электрического диполя, момент которогоЭто вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности диэлектрического шара:Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себекаждый малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарногодиполя.150.Для диэлектрика с неизменной поляризацией Е = Щ£- (см.задачу 104).Для обычного диэлектрика151.
tp = -Ео • г + 5-Е (г ^ R),ггде р = Д 3 Ео, Д 3 — поляризуемость шара;4тг§ 1. Основные понятия и методы электростатики273152. Силу F, приложенную к заряду q, можно найти, помножив q\ нанапряженность поля, созданную вторым зарядом 92 в полости, где находится ft. Так как полость мала, поле в ней будет однородным с напряженностью, равнойZeE0 _Zqгде= -=-? — однородное поле в окрестности полости.гаОтсюда3<7 2F =r.2'(2eEQЭта сила отличается от той, которая действовала бы между такимиже зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см.задачу 140). Если бы мы аналогично задаче 140 попробовали найти силу,приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете только максвелловых натя2жений значение силы F\ = -=-т, отличающеесягакак от силы F, приложенной к самому заряду,так и от полной электрической силы натяжений(не учтен стрикционный член, имеющий сложный вид в случае твердого тела).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
