1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 45
Текст из файла (страница 45)
c=t SШi'„q i =СП +С22 +2C12S n 2 s i 2 + si3au-an185. <Zi = - f < 7 ,ЯЯ'8'92 = - § 9 ,99 22 = =ЯЯ2'99 зз ==ЯЯ4'9 4=s\\ - 813-Я93 = ^ 9 -189. Собственная емкость объединенного проводника:COO = СЦ + С22 +Взаимная емкость объединенного проводника и г-го проводника системы:Coi = Cij + C2i.190. Энергия уменьшается на величину284Глава III191. С точностью до 1/г,F=bC2q2—12г3[С + а6(6-а)-- 1 ]] '192. Шарик и проводник приобретают при соприкосновении одини тот же потенциалVi = qsn +(Q-q)su = qs\2 + (Q - q)s22 = V2,откудаan - aiaS22 - s1 2Q~qlX( l )^i;'где Sik — потенциальные коэффициенты (индексы 1 и 2 относятся соответственно к шарику и к проводнику).Обозначим через од заряд проводника после fc-ro подсоединения.
Изравенства потенциалов проводника и шарика при соприкосновении следует:(Q + 9fc-i - 9fc)si2 = <?fcSi2 + (Q-q+qk-i)s22.Отсюда, используя (1), получим рекуррентное соотношение, связывающее qk-i и qk:qk=q+ ^qk-i-(2)Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшемк пределу к —у оо дает окончательно:§ 3. Специальные методы электростатики193.
Уравнение Лапласа принимает вид:Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничными условиями tp = const при £ = 0 (на поверхности эллипсоида), tp —> 0 при £ —• оо.§ 3. Специальные методы электростатики285Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения постоянной интегрирования тем, что при г = \Jx2 +у2 + z2 —> оо, £ —> г 2 , получим:de1Отсюдаа =—4тг9п47гаЬс\ а 447ГЬ4с4Плотности зарядов на концах полуосей прямо пропорциональны длинамполуосей: cra:CTJ,:<тс = а : Ь : с.194.
При а = Ь> с (сплюснутый эллипсоид):Ч> =В частности, при с = 0 (диск) С = Щ-.При а > b = с (вытянутый эллипсоид):Ч> =Inv2•a2,2- у/а - bС=а + \/а2 — Ь2В частности, при 6 < а (стержень):195. Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: 9 = 0. Есливнешнее однородное поле Бо параллельно оси Ох, то<ро = -Еох =\(Ь 2 -а 2 )(с 2 -а 2 )286Глава IIIЗнак минус соответствует х > О, знак плюс х < 0.
Как функция <ро, таки потенциал ц>' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяютуравнению Лапласа, Подставляя ip' = <foF(£) уравнение Лапласа, получимуравнение для определения неизвестной функции()Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничнымусловиям, имеет видИ0=о =1-ооЕсли эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение, удовлетворяющее условиям <р\£=0 = const и — § -¥- dS = 4щ (S — замкнутая поверх-дпность, содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципусуперпозиции (см.
задачу 193):196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены черезэлементарные функции — это имеет место во всех случаях, когда эллипсоидобладает симметрией вращения. В итоге получим:=-Еох1-е§ 3. Специальные методы электростатикигде а — большая и 6 — малая полуось, е = W l — а^эллипсоида, ось х287~~ эксцентриситетVнаправлена перпендикулярно плоскости,X=-z\(см. задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значенияв вершине эллипсоида:Я™Ео12е3(1-е*)-*д<р1-егде п^1-2е— коэффициенты деполяризации (см. задачу 198). В случае сфе-ры е = 0 и - ^ = 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод):•bo2аЛ"1а»Ео6,поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого громоотвода, чем на других его участках.197. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получаетсякак суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Еоразлагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).На больших расстояниях от эллипсоида:Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида:a(z) _„(У) =„(«) =где е = 4/1 — ^ т — эксцентриситет эллипсоида.Vоabc288Глава IIIВ случае е —> 1 (стержень):n(-)=0,n<»> = nM = iВ случае e C l (форма, близкая к шару):ПШп(г)—" 33"*"ее(г15е'15~П"~ 33 ++ 11 55еarotat>\ "> —ЛВ частном случае диска:n(z> = 1,200.п(х> = п(") = 0.<р = <рх = <ру = <Pz-Внутри эллипсоида:<Рх = fix-Еох=Вне эллипсоида:1-= V?2x = — EQXгде2V?y и <pz определяются аналогичными выражениями, в которых х нужнозаменить соответственно на у и z, а на Ь и с.
Внутри эллипсоида однородноеполе:Е|еоу у£2|§ 3. Специальные методы электростатики289На больших расстояниях от эллипсоида:рг(р2 = -Ео • г +г3 'аЬсгде рх = /?<«>£„ /?<«> =И Т.Д.201. Воспользовавшись формулой (III. 16), получим:6[е2 + £i + n(e2 -dU=a6c( £ 2 -£6[e2 + £1 + n(£2 - £i)][£2 + (£1 -где i9 — угол между осью симметрии и полем Ео, п — коэффициент деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решениепредыдущей задачи).Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернутьось симметрии вытянутого (п < 1/3) и сплюснутого (п > 1/3) эллипсоидав положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.В случае проводящего эллипсоида, е\ —> оо и~abc(3n-l)£gsin2i?6п(1 - п)•202.Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющейIГГ~форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = «/1 — ^-= и объемом,Vвравным объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вращения, приведенным в ответе к задаче (194).Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферическойкапли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.290Глава IIIРазложим U в ряд с точностью до е 4 :Из последней формулы видно, что если заряд капли q<qKp = Vl6nR3a,то при малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое состояние — капля устойчива.
При q > q^, поскольку возникшая деформация продолжает увеличиваться — капля неустойчива. Процесс кончаетсярасщеплением неустойчивой капли на две или большее количество1 болеемелких устойчивых капель. То, что в конце концов получаются устойчивыекапли, видно из выражения од- С уменьшением размеров капли критическийзаряд qk уменьшается пропорционально корню квадратному из ее обьема,в то время как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально объему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивостиначинают выполняться.Ш.v= -где \/£ нужно брать со знаком плюс при z > 0 и со знаком минус при z < 0.На больших расстояниях за отверстием ( Й Г ! И поле приобретает видip «E0a3z—при z > 0.Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого сов3Еа~0падает с осью z, а момент р = -£—.Отсюда видно, что силовые линии,проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического экрана.204.(У =% (7Г — arcsin Y~ -\47Г \1yViа)2-a /при z = —0,а = —где ri = у/% + а? — расстояние от центра отверстия до точки наблюденияна плоскости.'Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли на2две равные сферические капли энергия уменьшается в 2 3 раза.§3.
Специальные методы электростатики291205. Нужно решить уравнение Aip = —4TrqS(r — го); ^-функция должна быть при этом записана в цилиндрических координатах:Компонента Фурье+ОО/ tp(r,a,z)coskzdktpk(r,a) = -(1)ooпотенциала ip(r, a, z) удовлетворяет уравнениюи граничным условиям (см. рис.
11):/?) = 0,(3)(4)Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения(п = 1,2,3,...), где величина Д„(г) равна с точностью до постоянногомножителя либо 7птг(Ат), либо К г™ (кг). Будем искать решение неодно00родного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений:^2 Anlnn (kr) sin ^ ^n=1при г <а,(5)'оопри г > а.к TT="I0pПри написании (5) мы учли, что потенциал од должен удовлетворять (4)и быть ограниченным при г = 0 (см.
приложение 3).Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых,непрерывностью потенциала при г = го. Это дастВп292Глава IIIВо-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравнению (2). Подставив (5) в (2), помножим обе части получившегося равенствана sin тпа ( т = 1,2,...) и проинтегрируем по а от 0 до /3. Учитываяортогональность функций sin ЩО- в указанном промежутке, получимгдеАт1тж(кг)при г < а,/3ВтКтп (кг) при г>а.РФункция Rm(r) непрерывна при г = го, но ее первая производная по гиспытывает при этом скачок6 = R'm(r0 + 0) - R'm(r0 - 0) ='^ (fcr0) - kAml'^(fcr0).Поэтому вторая производная Rm(r) будет равна Д ^ ( г ) = Ь5(г — го).Подставляя это выраженне в (7) и отбрасывая члены, ограниченныепри г = го, получим второе уравнение для определения Ап, Вп:ЗпК'ш(кго)0- кАп1'ж(кга)0= --^sin(8)При упрощении выражений для Ап и Вп полезно воспользоваться формулойKv{x)I'v{x)-K'v{x)Iv{x)= l.207.ch ^ + cos а —, па —71ch ^ - cos — Y\§ 3.
Специальные методы электростатики293гдеДо = у П) + г 2 + 2 2 - 2гг 0 cos(7 - а) = \/2гг0 • ^/сЬт; - c o s ( 7До = Jrl-a),+ Г 2 + 2 2 - 2гг 0 cos(7 + а) = л/2гг0 • \/ch.T) - c o s ( 7 + а ) .(--i)208. сг = const-r V / 3 у ,где г — расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находящегосяв поле точечного заряда (см. задачу 205),const = — -Отсюда видно, что I T - » 0 при г—> 0 и (3 < п; cr —> оо при г —> 0и /3 > тт.
В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,209. Поместим заряд 9 в начале координат, а ось z направим перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и заднейповерхностей ее примут вид z = а и z = а + с соответственно.
Будем искатьпотенциал в видеfipi = q I Jo(kr\)eоf-Ы I|z|dk+ I A\(k)Jo(kri)eо00dk(—00 < z < a),00kzУ2 = I B1(k)J0(kr1)e~dk+IB2(k)J0(kr1)ekzоdk(a < z < b),(1)о00kzУз = / M{k) J0(kn)e~dk(6 < z < 00, где 6 = a + c).0Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов А\, А2, Bi, В?.294Глава IIIРешая эту систему, получим:=q/3-2кЬ _е-2кае9/3(1 -0)е -*кЬгде 0 =(2)| ^ j , Ь = а + с.Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
