1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поляризация вещества в постоянном поле335Поэтому среднее статистическое значение К2 выражается через среднююкинетическую энергию:Ж* = 2ma3Wk.(4)Но средняя кинетическая энергия Wk может быть найдена по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротаторимеет две степени свободы, Wk = кТ. Подставляя (4) и (2) в (1), находим х = 0- Этот результат находится в соответствии с общей теоремой,согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю. Отличный от нуля магнитный моментполучается только в том случае, когда делается предположение о существовании дискретных электронных орбит в атомах.
Но такое предположениеозначает выход за рамки классической теории1.308. Концентрации, ионов (N) и электронов (п) определяются поформуле Больцмана (VI.6):Zetpе<р~~~~(1),где <р(х, у, z) — электростатический потенциал. Множители перед экспонентами выбраны так, чтобы при Т —> оо, когда взаимодействие частицстановится несущественным, Nunпереходили бы в Щ и щ. На основе (1) плотность заряда запишется в видеZetpeipУ(2)Потенциал <р должен быть определен путем решения уравнения Пуассона:Zetpe<p)(3)Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия по сравнению с тепловой энергией:кТ«1,_ «1.Разлагая экспоненты в ряд с точностью кТдо членов, линейных по <р, и используя условие электронейтральности газа ZNQ = щ, получимг14тг^'Подробнее об этом см., например, [70].fcT336Глава VIЭто позволяет записать уравнение (3) в виде(5)А<р = х*1р.Потенциал tp может зависеть только от расстояния г до рассматриваемогоиона.
Сферически симметричное решение (5) имеет вид<Р =Ir~zrПотенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому Сг = 0. С\ опредделяется из условия, что при г <с 3j потенциал долженпереходить в чистокулоновский потенциал рассматриваемого иона:= "Г = "Г'C l=Ze-Таким образом, ион окружен «облаком» электронов и других ионов,плотность которого убывает по экспоненциальному закону, а средний радиус 1/ х тем меньше, чем ниже температура.Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов.Константа 1/х называется радиусом Дебая-Хюккеля.309. Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулойг>/_\сD ( x ) = E oгде УС = \/chxxЖви^° • При xh > 1 имеем вблизи поверхностей х = ±hD(x) = £ o e - ~ ( / l 4 x | ) ;отсюда следует, что при \х — h\ > ^ , D(x) = 0, т.е.
поле проникаетв проводник на глубину 1/х. В слое такой же толщины концентрируетсязарядр~ 4тг47Г дх47ГПлотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х = hполучима =§ 2. Поляризация вещества в переменном поле337что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника.1Значение к1 в даниом случае получается вдвое большим, чем в предыдущейзадаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.§ 2.
Поляризация вещества в переменном поле311. е = 1 + 4nNa3, ц = 1 - 2nNa3 < 1.Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и ц, не зависятот частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.Для того чтобы искусственный диэлектрик можно было рассматриватькак сплошную среду, должны выполняться условияА » I,А » а,где I — среднее расстояние между сферами.
Пренебрегать отличием действующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды(т. е. при 4nNa3 < 1).312. Уравнение движения электрона запишется в видетт + Tfir = eEoe"*"*.(1)Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеетвидг = —где 7 = шДипольный момент единицы объема получим умножением г на зарядэлектрона е на число частиц в единице объема N, после чего определяютсяполяризуемость среды а(ш) и диэлектрическая проницаемость е(ш):С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельнымсопротивлением р и коэффициентом т/:" ^=(3)338Глава VIЭтот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической проницаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (VIII.8),выраженной через проводимость:(4)^Отделяя в формуле (2) вещественную и мнимую части, находимИз формул (5) следует, что е' и а зависят от частоты.
При ш < 7принимают свои статические значенияj - л. -,ШР- _о н иe2NКак следует из (4), (5), комплексная диэлектрическая проницаемостьпроводящей среды при малых частотах (и> —> 0) обращается в бесконечность. При больших частотах она принимает видТакая зависимость е(и>) при больших частотах справедлива также и длядиэлектриков.Оценим порядок величины 7 = щ для меди (проводимость в статическом случае а = 5 • 10 1 7 сек" 1 ). Из формулы (3) следует:2_ Ne72312N0e dгде iVo и 6 • 10 .моль" — число Авогадро, А и 63,5 г/моль — атомныйвес и d и 8,9 г/см3 — плотность меди. Оценка дает 7 ~ 1 0 + 1 4 сек" 1 ;для сравнения укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты и 10 1 5 сек" 1 .Таким образом, в этом случае можно считать, что проводимость сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот,лежащих в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду,§ 2.
Поляризация вещества в переменном полечто при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинаютсказываться эффекты пространственной неоднородности поля и макроскопическая величина е (диэлектрическая проницаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом см. [34, 66], § 67.)Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частотприменимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионизованному газу(плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь.
Вычисление диэлектрической проницаемости плазмы с учетом движения положительных ионов см. ниже в задаче 321.313. Молекулы диэлектрика не обладают сферической симметрией,поэтому внешнее поле Ео частично ориентирует их, и диэлектрик в целомстановится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу условия 8 <с Ео, можно пренебречь. Поскольку причинойанизотропии является внешнее электрическое поле Ео, одна из главных осейтензора диэлектрической проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Ео.Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях через /3'ik (значения i, к = 1 соответствуют оси, параллельной Ео).
/3'ik выразятся через /?(*) по обычной формуле:/3'ik = ацакт01т = (0-/3')<хцак1 + /3'6ik,где аи — косинусы углов между осями симметрии молекулы и главнымиосями тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение ацак1 = Sik, вытекающее из ортогональности матрицы а»&). Чтобыподсчитать тензор диэлектрической восприимчивости для единицы объемадиэлектрика, нужно найти с помощью формулы Больцмана статистическиесредние величин 0'ik, т.е. усреднить произведение anctkiЕсли обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной системе через $, <р, то величины ац запишутся так:041 = cos ti, c*i2 = sin ti cos (p,c*i3 = sin ti sin (p.Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (как в задаче 302),(получим с точностью до членов, линейных по а = -= 0приi ф к.339340Глава VI(J3o и /?о — статические значения тензора поляризуемости молекулы).
ОтсюдаПренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего, получим главные значения тензора диэлектрической проницаемости:е™ = е ( 3 ) =Этот результат показывает, что в сильном постоянном электрическомполе диэлектрик становится анизотропным по отношению к высокочастотным (например, световым) колебаниям. Возникновение анизотропии поддействием постоянного электрического поля носит название эффекта Керра.
Инерционность этого эффекта очень мала: время установления или исчезновения анизотропии — порядка 10~ 1 0 сек. (Оно определяется временемустановления статистического равновесия в диэлектрике.) Явление Керрашироко используется в технике для быстрой модуляции силы света.314. Считая параметр ^=£ = о малым, получим с точностью до членов порядка а 2 :Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.315. Пусть амплитуда поля S увеличится на dS (dSx,dSy,dSz).этом над молекулой будет совершена работа±±При(1)где pi = PikEk — компонента дипольного момента системы.
Посколькупоглощение энергии отсутствует, эта работа целиком идет на увеличениесредней потенциальной энергии молекулы во внешнем поле:dA = dW.§ 2. Поляризация вещества в переменном поле341Поэтому выражение dA должно быть полным дифференциалом некоторойфункции амплитуды поля — энергии системы. Перепишем dW в видеdW=\Y,{hk$k dS* + рк&i,k(2)dS*k).Видно, что эта величина будет представлять собою полный дифференциалтолько в том случае, если fine = 0ki; тогдаdW= 151Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости для системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.317.
Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядромупругой силой, запишется в видегде wo — частота собственных колебаний. Решая его методом последовательных приближений, получим в линейном по Но приближении:г= —Г^г57 -—•Г(Е„ , „ХНО)-Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного произведения с помощью антисимметричного тензора е^ы (см. задачу 26).Это даст2е2иН01Яее 2сс••ешPile = —}Г"5Z\(>ikг(>kг22()В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этоттензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 316) в данном случае имеет вид„g =2еи2(2)2т,еНгде шь = т^-0 — ларморова частота.2тпс°2еш=(2)Г,L342Глава VI318.eik=\_L{£+_£-}!(£+ + £-)Оо |.Огде_± _ -,ШРРо_ ,(JJ\(JJ ^* £AJJTJ I ^ ~ СипШРСи, ,2 _ 4тгб2ЛГ^~ С0(\Вектор гирации равен по величине9 =^ - е - )и направлен по оси z.Результат предыдущей задачи получается из найденного точиого решения при выполнении условия 2шьш <€.
\ш% — иР\.319. Тензор £{к имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Ноего компоненты е± и е° определяются следующими выражениями:i7 ±• »го/7еЯ 0Из-за наличия «трения» (г) ф 0) в электронном газе происходит диссипацияэнергии, и тензор £гк неэрмитов.320.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
