1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Компоненты Нг и Я« магнитного поля внутри шара выражаются через j Q ( r , $):354Глава VIПостоянные m и А определяются из условий непрерывности Нт и Н#при г = а.аПри J C a получим т =cthf8^ - (ср. с ответом 281 при ц = 0), А = 0.£При * » a m = -на =а-тприг > а,/о, Л — модифицированные функции Бесселя.347.Проинтегрируем уравнение Максвелла r o t E = — -^г^, в ко-тором Е = Л - ^ , по произвольному замкнутому контуру I, проходящемувнутри сверхпроводника и охватывающему отверстие. Применив теоремуСтокса, получимjГ ГГ1= 0,где 5 — поверхность, опирающаяся на контур I.
Если контур I целиком лежитза пределами слоя толщиной ~ S, прилегающего к поверхности сверхпроводника, то на нем j c = 0, и мы получим348.349Li0$ = ^*ГЛАВА VIIКВАЗИСТАЦИОНАРНОЕЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках350. J(t) =™шНоsinM - ¥>), где tg ip = *£-,- ф),(7га 2 Я 0 ) 2 Д^!Здесь L — индуктивность кольца (см. задачу 272), R — его сопротивление,«^ — амплитуда тока в кольце. Начало отсчета выбрано так, что при t = Оплоскость петли перпендикулярна Но-„,„_ш2с(SHpfRг>2 , (шЬ1352.
Средняя обобщенная сила, стремящаяся увеличить обобщеннуюкоординату qit равнаJlCJ2LL120L12где L и R — индуктивность и сопротивление второго контура, Li2 — коэффициент взаимной индукции контуров.356Глава VII353. F =dqi354.При отсутствии связи между контурами, т. е. при С = О, LO\ И LO2 становятсся равнымии .с, что соответствует независимым колебаниямв каждом из одиночных контуров.При очень сильной связи (С ~> С\,Сч) остается одна частота ш =с1 2=, гдегде V = т 1 2 , СС== С\ + Сч- Это соответствует колебаниямL\+ Liв одиночном контуре, в котором параллельно включены емкости С\,и индуктивности L\, 1,2.355.Ы2ll2=С2 / 1.2 \LCi1LC2.1LiCi.1\,L2C2)L,«22356.
L)? о = С1357. Составляя систему уравнений относительно токов и приравниваянулю определитель системы, получим после некоторых вычислений уравнение четвертого порядка:$+ ^ ) +о,Х=0,(1)где Ш1 = JL-, и2 = -ф=, Ti = Д С Ь т2 = ДС 2 .\JL\O\V-^202Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота ш будеттакже комплексной: LO = LO' + ш".
В нулевом приближении в уравнении (1)можно отбросить члены с т\, т2. Тогда уравнение (1) примет вид| = 0.(2)§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках357Уравнение (2) имеет следующие решения: ш{ ' = wi и 4= ^ . Такимобразом, в этом приближении со" = 0, и не происходит диссипации энергии(так как мы считали, что R бесконечно велико); колебания в каждом контурепроисходят независимо. В следующем приближении ищем ш в виде UJ == о/°) + Да/ + гш", где UJ", Да/ порядка 1/т или выше. В соответствиис этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядков. Подставляя UJв (1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимуючасти, найдемДо/ = 0, "'/ = -;£-, "2 =-;£-•(3)Поправка к UJ' , содержащая R, появится только в следующем приближении.358.^a•?1 max = дH359.
Z =244, где UJI = VLC2. — собственная частота коле-баний в контуре. При R = 0 и UJ = UJ\ Z становится бесконечно большим.Это свойство рассмотренного двухполюсника используется в радиотехнике(запирающие фильтры).360. С = С0,L = L0,R = ^ , где Lo =с2361.Q = I Re(C/^*) = I | ^ | 2 Re(l)= \ • -358Глава VII22J%}£,363О — ^0»•" — —о"'Ш„Со1 — —г" 0>UJQj— —2~ —С- Q = r-n—5^-5-2-Со W ,2.2364.
Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор и батарею, через £\,$2, -Уз- На основе законов Кирхгофа получим уравнениягде g(f) — заряд на обкладке конденсатора, связанный с $2 соотношением $2 = q, aпри t > 0.Из (1) получаем уравнение второго для тока J\. Соответствующее характеристическое уравнение имеет корниВ зависимости от соотношения между R, L, С возможны три случая:метоa) wo > nn/^'y находя решение для $\ методомвариации произвольныхпостоянных Лагранжа (см. [94], § 25), получимв) шо = 2 ^ ; Mt) = | [l - ( l + Щс)е~*™} • в последних двухслучаях переходный процесс является полностью апериодическим, колебаний не возникает.§ 1.
Квазистационарные явления в линейных проводниках365.О при359t < 0,__t_U0RCприО < t < Т,U0(e~RC _ е ~ д с ^366.f О приUo* < О,LприО < t < Т,Rc2{t-T)LL-J при О Т .367. На вход четырехполюсника нужно подать импульс'0приt<-T,hEo(l + ± + 9f)СМ*) =hE0(l-fyпри-T<t<0,при 0<t<T,. О при О Т ,Начало отсчета времени выбрано так, что поле между пластинами конденсатора достигает максимума при t = 0.368. /(*) =*[«- if) - еLcos((/?o —где tgip = ^ф-. Переходный процесс отсутствует, если tg</?o = — Щ-- Этос RuLусловие имеет простой смысл: в момент включения стационарное значениетока должно быть равно нулю.369.
При гармонической зависимости токов от времени, уравнениеКирхгофа для n-го контура запишется так:= 0.(1)360Глава VIIУравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнениес целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 223)два линейно независимых решения sin xn и cos xn, причем частоты собственных колебаний выражаются через параметр х:о;2 = За;2 sin2 f,и0 = -±=.(2)Используя граничные условия ^о = $м = 0, находимJn = Asmxn,ж=тпг-(3)Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1,2,...).Значение г = 0 соответствует нулевому току в цепи.
Однако вследствиепериодичности sin Щ, входящего в (2), число собственных частот системыбудет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять гв пределах 1 < г < N. При этом х будет меняться в пределах 0 < х < тг,каждому х будет соответствовать одна собственная частота, а всего частотбудет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будутлежать в интервале 0 < и> ^ 2о>оДля интерпретации величины х введем координату уп = an п-й ячейки(а — «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным множителем можно записать в видеJn(t)=Jo sin купе-**-*,(4)£Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущихв противоположных направлениях.
Величина к играет роль «волнового вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислитьпо обычным формуламПоскольку зависимость о; от А; нелинейна, vv и vg отличаются друг отдруга — имеет место дисперсия. Из (2) находим:= —j^- sin -^,vg= woa cos -^.(6)361§ 1.
Квазистационарные явления в линейных проводникахВеличина Щ- имеет смысл «длины волны» колебаний в дискретной цепочке;Кдля длинных волн (А » а) имеем ка <С 1, откуда следует, что фазоваяи групповая скорости vv = vg =И не зависят от к — дисперсия отсутствует. Графики зависимости CJ avприведены на рис. 74.Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны механиче2ц,ч>аским колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служитьодномерной моделью кристалла. Индуктивность L аналогична массе атома,величина 1/С — коэффициенту жесткости1370. Аг=Що-ufl7ГTI371.
Обозначим токи в контурахс самоиндукцией L\ через У, в контурах с самоиндукцией L^ — через У.Уравнения Кирхгофа будут иметь вид:Рис. 74(1)Введя частоты ш\ =получим(2)Решение этой системы будем искать в видеJn =ixn^ == BeBe(3)'Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М. А.Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944 г.; М. Борн и Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогии между электрическими и механическими колебаниямирассматриваются в книге Л.
Бриллюэна и М. Пароди [19], гл. 3 и 4.362Глава VIIгде А, В, я — постоянные. Подставив эти решения в (2), получимА(2и2 + и2) = Buj(l + е~ы),В(2ш1 - и2) = АшЦ! + еы).(4)Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между частотой ш и я:(5)Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять и в пределах от Одо ж. Значения я, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничныхусловий.Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями является то, что каждому значению я теперь соответствуютдве частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветвиОРис. 75колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через и>+ и ш _ , где индексы «+» и «—» соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5).Зависимость частот от я изображена графически на рис.
75. Колебанияс частотой и>- аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньями.В частности, при малых я (длинные волны) имеемШ-т. е. дисперсия отсутствует.=§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводникахвида363Для ветви и>+ при малых УС получим выражение для закона дисперсииш+ = а + ЬУС2.При УС —> 0 фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость обращается в нуль.Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отношение амплитуд токов в соседних контурах для очень длинных х С 1 и самыхкоротких (УС близко к 7г) волн. Из равенств (4) имеем при ж < 1 :для ветви CJ(!).-'•для ветви to+Для ветви и>- колебания токов в соседних контурах происходят с одинаковой амплитудой в одной фазе.
Для ветви и>+ колебания в соседних контурахпротивофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны индукТИВНОСТЯМ. П р и УС = 7ГПереходя в формуле (4) к пределу УС —> 7г, получимТаким образом, в предельном случае УС = ж колебания с частотой ш+ =I О= сх/ у ^ происходят только в контурах с индуктивностями Li, а колебанияс частотой CJ- = с.— в контурах с индуктивностями Ь^.Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами и>- и и>+ являютсяаналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке, состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу,указанную на стр. 359).372.364Глава VIIгде q\,q2— корни уравненияПостоянные А, В определяются из граничных условий £ц = 0; (^о —— Ji)Z2 = U\.
Второе условие означает, что между точками а'Ь' (см.рис. 23) приложено напряжение U\. Используя равенство q\q2 = 1 вытекающее из (2), получим окончательно:Ч2~41U373. Коэффициент передачи К определяется из результатов предыдущей задачи:9 1К=—~9 2В знаменателе этого выражения имеются множители q^как q\ • qi = 1, то возможны два случая:a) |9i| = |ft| = l;и q% • Такб) | а | > 1 , | 9 i | < 1 .В первом случае q^ и q£ будут по модулю равны единице, К тоже будетпорядка единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
