1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Характер поляризации отраженной волны определяется разностью фаз между продольной и поперечной компонентами. Используя результаты двух предыдущих задач, получим12Ф0С"Е\\ 1 =юо,Таким образом, разность фаз 6 = 6± — 6\\ = ^ ; отраженная волнав общем случае окажется эллиптически поляризованной, причем одна изосей эллипса будет лежать в плоскости падения.При |-B||i| = |-E±i| поляризация будет круговой. При E\\Q = 0или Е± о = 0 поляризация останется линейной.415. С помощью формул Френеля находим, _ sin во tg во cos 2р„ _ sin во tg во sin 2p sin 62l + sin 2pcos<J 'l + sin2pcos«J•4Здесь £ — диэлектрическая проницаемость среды, из которой падает свет,е' — вещественная часть диэлектрической проницаемости проводящей среды.§1.
Плоские волны в однородной среде.391417. Сдвиги фаз между Е± ь £0 и Е\\ i, Ео можно определить с помощью формул Френеля:. 5±t gT=л/sin 2 в 0 - п2cos0oht gg'T==v/sin2в0 - п2Поскольку 5± ф <5ц, волна поляризована по эллипсу.Эллиптическая поляризация перейдет в круговую при выполненииусловий:а)«5 = «5ц-«5± = | ;б) £ ц 0Условие б) означает, что падающая волна должна быть поляризована в плоскости, составляющей угол тг/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ливыполняться условие а).Из формул (1) получим:ScosfloVsin2 в0 - п2tg« =т•.ч(2)2sin J воОтсюда следует, что при во = arcsinn и во = тг/2, 5 обращается в нуль,а между этими точками принимает максимальное значение. Обычным способом легко найти, что tg -у* =~п. Чтобы tg 5/2 был равен 1 (5 = ^),должны выполняться неравенства 1 — п2 ^ 2n, n ^ 0,414.418.
Если вектор Бо нормален к плоскости падения, поперечная и продольная составляющие вектора Пойнтинга имеют вид(1)ем Ж[1~'~cos2{k x'~ш1)]-Здесь ось z нормальна к границе сред, ось х представляет собою линиюпересечения плоскости падения и границы раздела,к' = къ sin во,к" = fa у sin2 во - п2,где fa = ^712 — волновой вектор во второй среде, во — угол падения.Из формул (1) видно, что в направлении нормали к границе энергиясовершает колебания с частотой 2и>.
Средний (по времени) поток энергии392Глава VIIIво вторую среду равен нулю. Среднее значение 7ц не равно нулю: имеетсяпоток энергии вдоль границы раздела.Линии вектора Пойнтинга во второй среде определяются уравнением|sinfc'j|(2)где С — постоянная интегрирования.Примерный ход этих линий изображен на рис. 82. В первой сределинии 7 имеют более сложный вид (см. [118]).у//////////////////////////////////////1Рис. 82419.
Из формул Френеля (VIII. 19), (VIII.20) получим, что при 0О —у—у 7г/2 амплитуда прошедшей волны Е\ —> 0, а амплитуда отраженнойволны Ei —у —Ео. Это означает, что плоская монохроматическая волна неможет распространяться вдоль границы раздела диэлектриков.420. Закон преломления принимает в этом случае комплексную форму:sin в0 = к2 sin 0 2 ,= 3Vesin 02 и cos 02 являются комплексными величинами.Положим cos 02 = р е г а , где р и а — вещественные величины, зависящие от 0о и электрических постоянных среды.
Параметры р, а определяются из системы уравнений:/2 _ iu//2\cos2а = 1 -2' sinsin220о,2р sin2а =Волна, прошедшая в проводящую среду 2, описывается функцией§ 1. Плоские волны в однородной среде.393Отделяя вещественную и мнимую части в произведении k2e2 • г. получим&2в2 • г = (к'2 + гк'2'){хътв2 + 2COS02) = »2р(0о) + xki sin0о + -29(^0)1гдер(в0) = p(k'2 sin а + к2cosa)iя(во) = р(к'2 cos а — к'2' sin а ) .Таким образом,Е 2 (г,<) = E 2 e ~ p z e i ( x f c i s i n e ° + Z 9 ~ a " ) .Отсюда видно, что направления распространения и затуханий волныне совпадают — волна неоднородна.
Плоскости постоянной амплитуды z == const параллельны поверхности проводника. Плоскости постоянной фазыопределяются уравнениемxki sin во = zq(0o) = const,из которого следует, что вектор к 2 , указывающий направление распространения волны, составляет с осью z угол ф = arctg1^ ' n ° (рис. 83). ФазоваяЯ\ро)скорость в проводящей среде зависит от угла падения:421. Для определения коэффициента отражения от плоского слоя нужно найти связь между амплитудами отраженной и падающей волн. Эту связьможно определить двумя способами.По первому способу — с помощью граничных условий. Учитывая, чтона границах z = 0 и z = а должны быть непрерывны касательные компоненты векторов Б и Н, и что перед слоем со стороны падающей волныимеются волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем — только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направленииоси z, получим из граничных условий:где Ei — амплитуда отраженной, а Ео — амплитуда падающей волны,1 — П\21 ~ 71231 + Tli21 + П23394Глава VIIIПлоскость vпостоянной "амплитуды*bp Л°Q»!(2)Второй способ решения задачи —рассмотрение многократных отражений волны от границ раздела.
Используя формулы Френеля для нормальногопадения, найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от границы z = 0, запишется в виде////////////////////№/////////////////.Амплитудавнутрь слоя:Рис. 83волны,прошедшейгде012 =Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область z < 0 после однократногоотражения от границы z = а:S\ = /3 2 ia 2 3 /3 1 2 Soe- 2 i f e 2 a .Амплитуда волны, вернувшейся в область z < 0 после s-кратного отражения от границы z = а:Полная амплитуда Е\ волны, отраженной от плоского слоя, равна суммевсех 8а:а=0= a12E0 + &а=1С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии, получим снова соотношение (1).\Е I2Коэффициент отражения определяется как R =. Находя мини-|£|мум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина слоя удовлетворяет условиюa = an = n-l,где А 2 — длина волны внутри слоя.n= 1,2,3,...,(2)§ 1.
Плоские волны в однородной среде.395Рассмотрим наименьшую толщину слоя а = -1, соответствующуюминимуму R. Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения:£2 =У/£1£З-422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в виде (см. (VIII. 12)):d?E,w2(Ae\FnМы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z является ограниченным и при z —» ±оо удовлетворяет некоторым условиям,вытекающим из физического смысла задачи. При z —» — оо решение должнопредставлять суперпозицию двух волн, падающей и отраженной, т. е.Е(г) -» Aeikoz+ Be~ikoZ,(2)где k0 = %.При z —у оо должна оставаться только прошедшая волна:Е(г) - » C e i k z ,(3)где А;о = %\/i£Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной —е а == £.
Новая переменная меняется в пределах —оо ^ £ ^ 0 при изменении zот —оо до +оо. С помощью подстановки Е(£) = £~гка1р(£), получим дляновой неизвестной функции VKO уравнение= 0,22(4)где х 2 = ^ - Д е . Это уравнение называется гипергеометрическим.<гКак следует из условия (3), функция VKO должна стремиться к постоянному пределу при £ —» 0. Решением уравнения (4), ведущим себя указанным образом, является гипергеометрическая функция (см. справочник [90],7.200, 7.251):396Глава VIIIПоэтому решение уравнения (4) запишем в видеф = CF\-i(k+ ko)a,-i(k-ako)a,l-2ika,—e\.(5)Чтобы найти вид функции ф при £ —> — оо, воспользуемся асимптотическим представлением гипергеометрической функции, которое легко получить из [90] (формула 7.232, 2):Г(/3)Г( 7 -а)'Г(а)Г(7-,-О~0.(6)С помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выполнено.Коэффициент отраженияR=Г(21к0а)Г[1 - i(k + ko)a\T[-i(k + fco)a]r(-2ifc 0 a)r[l - i(k - ko)a]F[-i(k - ko)a](7)Для упрощения полученного выражения используем формулыr(2ifc0a)r(-2ik0a)T(2ik0a)T*(2ik0a)= 1 иГ(г)Г(1 - z) =v'v'-^sinОкончательно получимR =sh 2 7га(к — ко)2sh жа{к + ко)(8)При малых а (ка -с 1) R переходит в известное выражение, справедливоепри скачкообразном изменении е:R =(к + к0)2'С ростом a R монотонно убывает.
При больших ка убывание происходитпо экспоненциальному закону:Л = е"fca> 1.§ 1. Плоские волны в однородной среде.397423. При нормальном падении волны на неоднородный слой, электрическое поле зависит только от z и удовлетворяет уравнению4e(^z)Edz2= 0.(1),2Обозначим^ ~ — = z\, тогда е = 1 — •§-. Введением переменной £ =Аке No3= (-Щ— ) (^i — z) уравнение (1) приводится к виду1\с z\><РЕо?"-0.(2)Решение уравнения (2) проще всего получить с помощью преобразованияФурье. Разложим Е(1-) в интеграл Фурье:оооо= Г E(u)e*"du,E(u) = ±-Подставляя разложение Е(£) в (2), получаем относительно амплитуды Е(и)дифференциальное уравнение первого порядка:uuВ результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второгопорядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легкоинтегрируется, его решениеЕ(и) = А'е~~.Переходя к Е(£), имеем= А' je-^-^du.'Таким же уравнением в квантовой механике описывается движение частицы в однородномсиловом поле.398Представляя еГлава VIII^3' в виде суммы синуса и косинуса, и замечая, чтов силу нечетности подынтегральной функции интеграл от sin ( ^ — £и }равен нулю, получим:ооE($) = -±Jcos(f-$u)du.(4)оФункцияназывается функцией Эйри1 (она может быть выражена через функции Бесселя с индексом \).
Таким образом, окончательноОКонстанта А должна определяться из условия на границе слоя.Исследуем поведение Е(£) при больших |£|. Пользуясь асимптотическими формулами для Ф(£) (см. [11]), получаем при больших положительных значениях £:Здесь поле имеет осциллирующий характер.При больших по абсолютной величине отрицательных значениях £:Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, что отрицательным £ соответствуют отрицательные значения диэлектрической постоянной е. Но при е < 0 волновой вектор к = ^ у/е становится чисто мнимым, что и ведет к затуханию. Однако затухание в данном случае связаноне с переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическаяпроницаемость вещественна — потери отсутствуют), а с отражением волныот слоя с отрицательным е.1Эта функция подробно исследована В. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
