1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Фоком (см. В. А. Ф о к, Таблицы функции Эйри,1946 г.).§ 1. Плоские волны в однородной среде.424.ifc399x* ( x , O ) = A(x,O)e ° ,гдеx2Afc2А(х, 0) = аоу/тгАке4.Амплитуда волнового пакета А(х, 0) имеет форму кривой Гаусса. Онастановится исчезающе малой, если \хАк\ » 1. Отсюда следует, что ширинапакета в обычном пространстве связана с его «шириной» в пространстве ксоотношением Ах • Ак и 1.
Это соотношение имеет универсальный характер и справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любойдругой природы. Оно играет особую роль для волн вероятности в квантовой механике, приводя к соотношению неопределенностей для координатыи импульса микрочастицы.425. Ф(0, t) = A(0, t)e~iuot,гдеА(0, t) = аоу/тгАие426. Axmin =.4;At • Аи и 1., где 9 — половина угла конуса раствора лучей,2п sin опроведенных из объектива микроскопа к рассматриваемому объекту.427. Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Ах, связанную с поперечным разбросом волновых векторов к± соотношением Ах • к± > 1. С другой стороны, очевидно, ^ и -£-.
Из этих двухсоотношений находим неточность в определении положения объекта:428. Волновой пакет описывается функциейФ(р,0 = 4пао>Н^VРгде J 3 (х) = у ^х\8 1вая скорость v s = ^(7Кд" - cosxj — функция Бесселя, р = |г — vgt \. Группо— вектор с компонентами ^-,ОКх^-,^-.АмплитудаС/Ку C/Kzволнового пакета теперь заметно отлична от нуля только в пространственной (сферически симметричной) области pq ^ 1.
Пакет ограничен по всемтрем измерениям.400Глава VIIIКак видно из выражения для Ф(г, t), форма пакета со временем неменяется. Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строгосправедлив для электромагнитных волн только в вакууме. При учете следующих членов разложения ш по к имеет место изменение («расплывание»)формы пакета.
Пакет движется как целое с групповой скоростью \ д .429. Представив зависимость ш(к) в виде2ш = шо + vg(k - ко) + Р(к - ко) ,получимI"Z-(x-vgt)2— Ti—. .п \ +i(kox—uot)Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и t проще исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивностьволны):a(x-vgt)2\A(x,t)\2 = ,™1,„е~2(а2+<ЗН2)-Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х прификсированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина / растет со временем:_1а высота убывает за счет множителя ( а 2 + (32t2) 2 .Волновой пакет расплывается.
Расплывание происходит симметричным образом (в сторону t = +00 и в сторону —оо) и, разумеется, не связанос поглощением энергии, так как к вещественно. Отсутствие диссипацииООвидно и из того, что интеграл f \A(x,t)\2dx.= «/^a 2 , не зависит отвремени, т. е. «полная интенсивность» сохраняется. Причиной расплыванияявляется неодинаковость скоростей распространения (фазовых) v^, = ^ отдельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсииотношение — зависит от к.к§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротротых средах401430. При и < LJQгде eo = e(0).При w >В последнем случае vv • vg и с 2 . Вблизи резонансной частоты (и> и ш о )понятие групповой скорости теряет смысл.431. Как следует из результатов, полученных в задачах 428,429, функция, описывающая волновой пакет, имеет видЗдесь амплитуда Eo(x,t) меняется значительно медленнее, чемег^(периоды изменения этих функций относятся как Ак/к0).
Пренебрегая изменением Ео по сравнению с expi(kox — u>ot), имеем из уравнения МаксвеллаH(x,t) = ^E(x,t)= yJf-EoixПлотность потока энергии, усредненная по периоду 2^/UJQ изменениявысокочастотной составляющей, равна7(х,«) = ^ | R e ( E х Н * ) | =^^E0(x,t)E^(x,t).Из соотношения 7 = "ш находим скорость переноса энергии:§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах(ем — ej.)sin0cos0432. cosa = \ "'e.tgi? = |402Глава VIII433. Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенство касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и обеих преломленных волн.
Для обыкновенной волны это дает,«о sin во = fci sin в2,sin во.= y/e±(i.sin "оНаправление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадаетс направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол в'2с нормалью к границе.В случае необыкновенной волны имеемfco sin в0 = к2 sin в2 = к 0 sin в2 /=———у e x sin Щ + £ц cos-2 Щ(см. (VIII.23)).
Отсюда находим\\(е\\ - e ± ) s i n 2 0 oУгол •в" между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи, определяетсяусловиемУгол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу падения: в\ = во.434.
Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляетс нормалью к поверхности угол в'2:sin #2 =Волновой вектор кг необыкновенной волны лежит в плоскости паденияи составляет с нормалью угол в2:sin в2 =(ex — ец) sin в0 cos 2 a§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротротых средах403Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения.Луч расположен в одной плоскости с кг и оптической осью и составляетс последней угол #, причем (рис. 70):+ £±(£± — £ц) sin 2 во cos 2 aе || sin во cos а435. Подставляя в уравнения Максвелла (VIII.1)-(VIII.4) выраженияполей Е и Н в виде плоских волн, получим уравнение, определяющееРис.
84амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространятьсяв данной среде:ок х (к х Н о ) = - ^ Д Н 0 .с(1)Введем угол в между волновым вектором к и осью z и запишем (1)в проекциях на оси координат.Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное уравнение относительно к. Его решение дает:1.2 _1,2 —КM2с 2sin 2 61+(fi±/fi\\-l)sm2e+l, (2)404Глава VIIIгде/ifВ каждом направлении могут распространяться две волны с разнымифазовыми скоростями v\ 2 = -^-, зависящими от угла в. Направлений, для«1,2которых эти фазовые скорости становились бы одинаковыми, не существует,так как радикал в (2) не принимает нулевых значений ни при каких в.Если в формуле (2) положить ца = 0, то она будет определять фазовые скорости волн, которые могут распространяться в негиротропном, ноанизотропном магнитном кристалле:Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость v\ =не зависящую от направления распространения.
Скорость второй волны(необыкновенной) зависит от угла между осью симметрии кристалла и направлением распространения. При распространении волны вдоль оси симметрии (в = 0) обе скорости совпадают, две волны вырождаются в одну.436. В любом направлении могут распространяться две волны с фазовыми скоростями г)1,2 = т ~ ; Ki,2 определяется формулой (2) предыдущей«1,2задачи, в которой нужно заменить магнитные величины соответствующимиэлектрическими.437. Плоская волна, распространяющаяся вдоль постоянного магнитного поля, распадается на две волны с правой и левой круговыми полярисзациями и разными фазовыми скоростями v± =.у/е{ц±±ца)При распространении перпендикулярно постоянному магнитному полю одна из волн (со скоростью v = с ) будет чисто поперечной (Е _1_ к,Н _1_ к).
Она аналогична волнам, распространяющимся в изотропной средесо скалярными параметрамие,ц = ц\\.Во второй волне (со скоростью v ==С4 /—ъ~^—5~ ) вектор Е будет направлен вдоль постоянного магнитногополя, а вектор Н будет иметь составляющую в направлении распространения. Таким образом, волна с произвольной поляризацией расщепится надве линейно поляризованные волны.§ 2.
Плоские волны в анизотропных и гиротропных средахВсе результаты, полученные в этой задаче, сохраняют силу и для случая, когда е является эрмитовым тензором, а /х — скаляром. Нужно толькозаменить магнитные величины соответствующими электрическими и наоборот.438. Как было найдено в предыдущей задаче, в направлении магнитного поля могут распространяться с разными фазовыми скоростями двеволны, поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Поэтому волна, поляризация которой, отлична от круговой, расщепится надве волны, поляризованные по кругу. Так как фазовые скорости этих двухволн различны, сдвиг фаз между ними будет меняться от точки к точке,вследствие чего поляризация суммарной волны будет различной в разныхточках.Проведя вычисления, получим, что поляризация результирующей волны остается линейной, но плоскость поляризации повернется на угол х == k{k+ — k-)z (эффект Фарадея).
Величины к+ и к- представляют собойволновые векторы двух волн с круговыми поляризациями и могут бытьнайдены из результатов задач 437 и 318. В случае слабого магнитного поляполучимX = VHz,где коэффициент пропорциональности V носит название постоянной Верде.Если атомы вещества рассматриваются как гармонические осцилляторы,постоянная V примет вид:V=ш22тге3ЛГПТП2С{и2—где п = у/е — показатель преломления в отсутствие магнитного поля.439. Из соображений симметрии следует, что волновые векторы отраженной и прошедшей волн перпендикулярны к границе раздела.
Обе этиволны будут поляризованы по кругу в том же направлении, что и падающаяволна. Амплитуда отраженной волны Hi = ^-=—"*"/е+ /Ю ± Ц" Но, где Но — ам-плитуда падающей волны, е — диэлектрическая проницаемость, ц±, ца —компоненты тензора магнитной проницаемости феррита (см. задачу 435).Амплитуда прошедшей волны2И•П2 =—рv£,./е + /Ц ± Цтт-ПО-Знаки «+» и «—» соответствуют волнам с правой и левой круговой поляризациями.405406Глава VIII440. Волновые векторы отраженной и прошедших волн перпендикулярны к границе раздела.
Отраженная волна поляризована эллиптически,полуоси эллипсаН[ = Щ(у/ё + у/Ц + Ца)(у/ё + у/Ц - Ца) '(у/ё + у/Ц + Ца){у/ё + у/Ц~ Ца) 'Направление Н[ совпадает с направлением поляризации вектора Н в падающей волне. Прошедшая волна расщепляется на две волны с амплитудами,tinНру/ё—„Щу/ёtiполяризованные по кругу в противоположных направлениях. Скорости ихраспространения различны (см. ответ к задаче 437).441. Если длина волны много больше радиуса дисков и расстояниймежду соседними дисками, то искусственный диэлектрик можно рассматривать как сплошную среду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
