1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Электрическое поле падающей волны касательно к плоскостям дисков. Поэтому при отсутствии внешнего магнитного поля Но поляризуемость диэлектрика будет иметь значение а = Nf3e,А 3где (Зе = тг продольная (относительно плоскости диска) электрическаяполяризуемость диска, N — число дисков в единице объема.Продольная магнитная поляризуемость диска 0т равна нулю (см. задачу 390), поэтому магнитная восприимчивость диэлектрика х Щ"1 рассматриваемом направлении магнитного поля волны обращается в нуль.Наличие внешнего магнитного поля Но приводит к эффекту Холла:электроны проводимости, создающие ток в каждом диске, будут отклоняться под действием поля Но и создавать добавочное электрическое поле Б я ,которое должно уравновесить отклоняющее действие магнитного поля.
Этоприведет к появлению добавочного электрического момента каждого диска, вследствие чего изменяются вектор поляризации среды и электрическаяиндукция. Чтобы вычислить это изменение индукции, удобно рассмотретьарполную плотностьWID поляризационногоmjjuiynjannxjnrujiu токаlumi ^ - в диэлектрике, а не ток в отotдельном диске.§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротротых средах407В первом приближении по Но поле Е я , вызванное эффектом Холла,выразится в видегде R — постоянная Холла, Р = а Е — вектор поляризации в нулевомприближении. За счет поля Е я вектор поляризации получит приращениеблагодаря чему индукция D выразится через Е и производнуюD = Е + 4тг(Р + Д Р ) = еЕ + 4 т г а 2 Д ( н 0 х Ц ) .^ :(2)Здесь е = 1 + 47гЛГ/Зе — диэлектрическая проницаемость при отсутствиивнешнего магнитного поля.При гармонической зависимости Е от времени уравнение (2) даст связьмежду D и Е видаD = еЕ + Г ( Е х g).где g = 4жа2иКНо — вектор гирации (см.
(VIII.25)). Таким образом, средабудет гиротропной. Как следует из результатов задачи 437, в направлениивектора g возможно распространение двух волн, поляризованных по кругув разных направлениях и имеющих разные базовые скорости v± = •£-.Определяя к± обычным способом, получим442. Волна, у которой электрический вектор параллелен проводникам,отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости. Волна,у которой электрический вектор перпендикулярен проводникам, будет распространяться как в свободном пространстве, потому что она не возбудиттоков в решетке.443.
Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн.Амплитуда Е о этих волн удовлетворяет системе уравненийк х Ео = £Н О ,к х Но = -£e(w)Eo.(1)408Глава VIIIВ случае продольного электрического поля к х Ео = 0, поэтому Но = 0,е(из)Е0 = 0.Из последнего равенства следует, что продольное электрическое полеможет существовать, еслие(из) = 0.(2)Частоты продольных колебаний uia определяются этим уравнением и являются, как правило, комплексным, uia = иза — iya. Это означает, что колебания, возникнув, будут затухать.
Если выполняется условие 7а "С £>а, тозатухание за период колебаний мало. Такие колебания будут долгоживущими.В случае плазмы с диэлектрической проницаемостью е(из) = 1 —ш\(см. задачу 312) частота продольных колебаний и>о =- -тт. При 7 —* 0 она совпадает с плазменной частотой:. Ane2NU>0 = LJp = \1—/Q\.(Л)Согласно формуле (3), частота и) не зависит от волнового вектора, поэтому групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Однако этот результат имеет место только в первом приближении и связан с тем,что не учитывается пространственная неоднородность электрического поля. Продольные плазменные волны представляют собою колебания облакаэлектронов относительно облака ионов (последние в рассматриваемом приближении считаются неподвижными).444.
Е(х, z, t) = Ео ехр[—а|х|+i(kz—u;t)}, где частота и) определяетсяиз условия е(ш) = —1: ш = шр/\/2.Постоянная затухания а выражается через волновой вектор к:в случае медленной волны а и к. Волновой вектор к может иметь произвольную величину. Амплитуда Ео имеет компоненты Еоу = 0, EQX == ±ЩЕог и ±iEoz, где знак «+» соответствует х > 0, а знак «—» области х < 0. Таким образом, поляризация близка к круговой, причем вектор Евращается в плоскости xz. Амплитуда магнитного поля Но(0, Щу, 0) малапо сравнению с Ео: Щу = Е^ы/кс >С EQZ, ЧТО характерно для плазменных колебаний.
Рассмотренная волна называется поверхностной плазменной волной.§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах409445. Как следует из задачи 437, вдоль направления постоянного магнитного поля возможно распространение двух волн с правой и левой круговыми поляризациями. Волновые векторы этих волн определяются равенством (см. задачу 321):= е± = 1 При пн < и влияние движения положительных ионов очень мало,их можно рассматривать как неподвижные.
В обратном предельном случае Пд > ы и 7Ш <S ин&н роль положительных ионов становится определяющей:о,4TTNMC2Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью vv, котораясовпадает с их групповой скоростью vg:или...ноЩесли можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом;здесь т = NM — плотность газа (очевидно, массой электронов можнопренебречь). Если бы движение положительных ионов не учитывалось, товместо конечной постоянной скорости (3) при и) —» 0 получилась бы нулевая скорость, и соответствующие волны не могли бы существовать. Такимобразом, механические колебания газа и колебания электромагнитного поляоказываются в этом случае тесно связанными. Волны, распространяющиеся со скоростью (3), называются магнитогидродинамическими.
Они играютбольшую роль в астрофизических и других процессах.446. Линеаризованное уравнение, связывающее амплитуды высокочастотных составляющих намагниченности ( т 0 ) и магнитного поля (ho),вытекает из (VI. 15) и (VI. 16):2х h 0 ) - 7 ( m 0 х Н о ) + 7<7& (М0 х т 0 ) .(1)Здесь Мо — намагниченность насыщения, совпадающая по направлениюс магнитным полем Н о . Выбрав ось z = хз вдоль Но, определим с помо-410Глава VIIIщью (1) компоненты тензора Hik'Mil = М22 = 1 += -М21 = -г-;—TjT1j,Мзз = 1,1(ш0 + ак ) - игде#4Ма =Остальные компоненты Цгк равны нулю.Как видно из (2), магнитная проницаемость зависит теперь не только отчастоты, но и от волнового вектора.
Это связано с тем, что намагниченностьв каждой точке зависит от значения магнитного поля не только в этой, нои в соседних точках (член g V 2 M в выражении для Нэфф). Эффект зависимости электрической или магнитной проницаемостей от волнового вектораназывается пространственной дисперсией. Зависимость ц от к играет существенную роль только в случае сильно неоднородных полей (малые длиныволн).447. Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнениядвижения вектора намагниченности (VI. 15), имеющее вид плоских монохроматических волн:Е = Еое^1-"*),Н = Ho+hoe**"- 1 1 *),М = М о + т о е * 0 " - 1 1 * * .
(1)Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений:с(к х h 0 ) = - w e E 0 ,с(к х Е о ) = w(h 0 + 47rm 0 ),гито = - 7 ( М 0 х h0) - 7 ( т 0хк • ( h 0 + 47гт 0 ) = 0,(2)**о) + 1Чк2{М0 х т 0 ) .(3)Исключая Ео и ho из (2), (3) и вводя обозначенияш0 = 7Я0,2wi = 7<?fc M0,им = 47Г7М0,получимгхт0 =х2"25[д 2 (е г х т 0 ) + ^ 2 ( п - т о ) ( е г х п)] + (1 -u)(ezx т 0 ) , (4)где п = ^ , е г — единичный вектор в направлении Но (Мо параллелен Но).§2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах411Выберем ось х в плоскости ( n , e z ) и обозначим угол между е г и пчерез в. Из (4) следует система линейных уравнений относительно компонент т о :m+ - Г — 7 2 j 0 y = О,V2z -f2/vУсловие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное уравнение222 2Это уравнение — третьей степени относительно и> (и> = П х , £1 независит от и>), поэтому в рассматриваемой среде могут распространятьсяволны трех разных типов, различающиеся законами дисперсии.
Два из этихзаконов дисперсии были исследованы в задаче 435 (где мы полагали и>\ = 0).Им соответствуют обычные электромагнитные волны, распространяющиеся в гиротропной среде. Для исследования третьего типа волн используем2условие -^-^ «С 1 (при этом х2 «С £ 2 ). Пренебрегая в знаменателях в уравс кнении (4) х2 по сравнению с £ 2 , получим третий закон дисперсии:ш2 = (шо + и>1)(шо + и>1+шм sin2 в)(6)2(здесь ш\ = qjk Mo зависит от абсолютной величины волнового вектора).Из условия и> е «С с2к2, считая wo, ил и и>м сравнимыми по величине,находим, что закон дисперсии (6) справедлив только при выполнении условия £ 2 » 1.Найдем относительную величину Ео и ho для волн с законом дисперсии (6).
Используя уравнения Максвелла (2) и условие -^-^ «С 1, получимс к|х m);ho и 4тгп(п • т ) .СКТаким образом, Ео <С ho. Рассматриваемые волны представляют собой чисто магнитные колебания вектора намагниченности, при которыхэлектрического поля не возникает. Они называются спиновыми волнамии определяют многие магнитные, тепловые и электрические свойства ферромагнетиков.412Глава VIII448.
Направим ось у в глубь металла нормально к поверхности,ось z — вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс С, независит от угла падения волны, рассмотрим случай нормального падения.Решая уравнения Максвелла и пользуясь определением поверхностного импеданса, получимCxx = (l-i)\h£z,С« = ( 1 - 0,Cxz = Czx = 0,гдеа =(71Зависимость C,zz от частоты носит резонансный характер (см. задачу 331, в которой вычисляются компоненты fiik). Компонента Схх не обладает резонансными свойствами, так как /хц = 1.449.= /Xj. ±Ца, O^ = &1 ±&2,E±i и /i±i — циклические компоненты Е и h (h±i = =F-^=(§ 3. Рассеяние электромагнитных волн намакроскопических телах.
Дифракция450. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью z вдоль осицилиндра и отсчитывать угол а от направления волнового вектора к падающей волны. Из соображений симметрии следует, что векторы поля независят от z и имеют только компоненты Ez, Hr и На. Опуская в дальta;tнейшем везде временной множитель e~ , воспользуемся для определенияотличных от нуля компонент поля волновым уравнением (VIII.6) для Еи уравнением Максвелла (VIII.
1). Первое из них позволяет определить Ez,а второе — выразить Нг и На через Ez.1 OEZikr da 'ikдг'(1)Вторичное поле Е' = Е — Ео, вызванное наличием цилиндра, удовлетворяет уравнению(2)§3. Дифракция413Если положить Е' = Я(г)Ф(а) и разделить переменные в уравнении (2), тополучимX( ^ )0(3)'(4)2Через т обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения (2)запишется в виде суммы по всем допустимым значениям т:(5)Чтобы записать решение уравнения Бесселя (3) сразу в удобной длянас форме, обратимся к граничному условию г —» оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
