1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Дифракция рентгеновых лучей500. Прежде всего необходимо, чтобы выполнялось неравенство и> 3>» ш ет . Однако этого недостаточно. Рассмотрим сначала случай, когда длина I когерентности велика по сравнению с размерами L тела. Тогда придостаточно малых углах рассеяния •& < X/L произведение qL <c 1, экспоненты в формулах (VIII.43) или (VIII.45) для сечений близки к единице fnexp[iq • г] dV = NZ. Если длина волны А ^ L, то это выполняетсяпри любых углах.
При этом мы получим, например, из (VIII.43)da = r%N2Z2 sin 2 в dfi.(1)Эта формула соответствует когерентному томсоновскому рассеянию навсех NZ зарядах тела. Если же, например, длина когерентности меньшемежатомного расстояния, но больше размера атома, то при д < Х/1 когерентно сложатся только вклады от Z электронов атома, и в формуле (1)вместо N2Z2 нужно будет написать NZ2.
При больших значениях угловвеличина сечения будет резко убывать из-за быстро осциллирующего множителя exp[iq • г] под интегралом.440Глава VIII501. Концентрацию электронов в газе можно представить в виде суммы членов, относящихся к отдельным атомам, п(г) = ^Z n a ( r — R a ) , r a e R aа=1характеризует мгновенное расположение о-го атома. Тогда| / п(г) exp[iq • г] dV= |^exp[iq • R o ] / п„(г') exp[iq • r']dV'= |Fo(q)|2|^exp[iq-Ro] ,(1)где г' = г — R o , а ^ а ( ч ) — атомный формфактор (VIII.47). Усреднениев (1) должно быть выполнено по всем положениям Ra- Так как атомыв газе расположены хаотически, то | £) exp(iq • R o ) | = N.
В итоге, дляaнеполяризованного излученияda = \тЦ\ + cos2ti)\Fa(q)\2Ndu.(2)Вычисление формфактора при заданной в задаче плотности па(г) выполняется элементарно и даетОкончательно:Из экспериментально найденного сечения (2) можно получить модуль формфактора. Для нахождения распределения электронов надо, вообще говоря,знать еще фазу формфактора.502.
da = NrСечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомахструктурным множителем 2 ( 1 4ложения атомов в молекуле.^— ], зависящим от взаимного распо-§5. Дифракция рентгеновых лучей441503./(1—ооСущественна сравнительная величина \/q и 6. При q ~> 1/Ь исчезает быстро осциллирующий член с sin q(Ro + x). Тепловое движение уничтожаетструктурный эффект при таких передачах. При ^ < 1/6 структурный мно, sin qRo ч т 0 и вжитель имеет тот же вид n1 Н^—>случае неподвижных ядер.qHo505.
Направим оси х, у, z вдоль ребер L\, L2, L3 монокристалла.1п(г) exp[iq • г] dV = Fa(q) ^Afi\\ ()( Л_exp[iq • R] =R•. / N21/ N3\ (exp[iqyan2] J f ^\exp[iqzan3] J =' 4i2=0' ^n 3 =0'exp[ig g aiVi] 1 - exp[iqyaN2} 1 - exp[ig z aJV 3 ]1 — ехр[гд х а]1 — ехр[г9 у о]1 — ехр[гд г а]где iV"i = Li/a, ЛГ2 = L2/a, N3 = Lz/a — числа элементарных ячеек вдольребер L\, I-2, L3; очевидно, N = N1N2N3.
Используя (VIII.45), получимda. (i)Положения главных максимумов определяются условием обращения знаменателей в нуль, откуда следует, что qx = 2тгтх/а, qy = 2тгту/а, qz == 2irmz/a, где тх, ту, mz — целые числа. Последние равенства представляют собой уравнение Лауэ, записанное в проекциях, поскольку компоненты g выражаются формулами: g = (тх/а, ту/а, mz/a). В максимумахсечениеda = f (I + cos 2 ^)|F a (2 7 rg)| 2 ( L l L a 2 6 L 3 )dfi.Оно пропорционально квадрату объема кристалла. Результаты задач 505-509справедливы, только если монокристалл целиком расположен внутри объема когерентности (см.
§ 4).442Глава VIII506.d<7=|(l+cos2tf)|Fa(q)|2x. q aNisin ч x„sin2sin-X <4sinirsinVsinsin-+ 4 sin 2 '.qa.(qxxsin l^sin ^где ЛГ! = Li/o, N3 = L3/0. Положения главных максимумов выражаютсяусловием Лауэ: q = 27rg, где g = (mx/a,my/a,mz/a).В максимумахсечениеУгол i?o связан с q = 2пд соотношением (VIII.44).507. При к > 1/о дифракционная картина сосредоточена в областималых углов, поскольку, согласно (VIII.44) и уравнению Лауэ, Ы = 2пд ~~ 1/о И1?~ 1/ак «С 1; при этом q •€.
к.Введем обозначение: х = q — 2vrg. В области дифракционного пятнавблизи данного главного максимума величина х <с 2пд <С А:. Возведемравенствок = ко + 2тг5 + я2в квадрат и заметим, что А; = к$, а2g-ko = -7rg .(1)При этом получится (ко + 2vrg) • х + м? = 0, откуда видно, что при х < доказывается я ± ко + 2vrg, т. е. добавка я перпендикулярна волновому вектору, отвечающему рассеянию в направлении главного максимума. Запишемравенство (ko + 27rg)-x = 0 в в и д е х г и -2тт[(дх/ко)хх + (ду/ко)ху}, откуда вщщо, что \xz\ <c \хх\, \ху\. Благодаря этому в выражении (1) задачи 505отношениеsinsin§5. Дифракция рентгеновых лучей443является значительно более пологой функцией от xz, чем первые два отношения, и может быть заменено значением N% в максимуме (xz = 0).Сечение принимает вид (i? <tC 1)da = 4r 0 2 |F o (27rg)| 2 iV3 2 —^^ - du,откуда видно, что угловая ширина главного максимума по порядку величины составляет 1/kaNi и l/kafy в направлениях х и у соответственно.Записав элемент телесного угла в виде dQ, = dxx dxy/k2 и интегрируяпо хх и ху в бесконечных пределах, получимСечение по-разному зависит от продольных и поперечных размеров.
Приприблизительном равенстве их полное сечение пропорционально V4!3 (V —объем тела), а угловая ширина пропорциональна (V 4 / 3 /V 2 )V 2 = 1/У1/3.508.da =гдеxxkgX + Xykgy + xzkgz= 0,509. da = 8тгг2(1 + cos 2 i9)|F o (27rg)|kg = ko + 2?rg.ГЛАВА IXЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯВ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ510. В случае Е-волн:Sz = SQ sin н\х sin Н2У,гдех1 = -дГ,иг=—,тг ь тг 2 = 1,2, . . .
,начало координат — в углу прямоугольного сечения, размеры которого поосям х и у равны соответственно а и 6.В случае Я-волн:с теми же щ, х?, однако одно из чисел п\, п? может теперь принимать значение 0. Из приведенных формул следует, что в поперечных направленияхполе имеет характер стоячих волн. Зависимость постоянной распространения к от oj имеет вид:Поперечные компоненты полей выражаются через Sz, Жг с помощью уравнений Максвелла.511.
Для Е-волн:гдеЭлектромагнитные колебания в ограниченных телах445Для волн типа Нп0:а =CWckabyДля волн типа Я П 1 „ 2 ( п ь пг Ф 0):а =wkabОбозначения те же, что и в предыдущей задаче.20100я- я- Зя- 2я- 5я- Зя- 7ir 4ir 9ir 5ir 1Ы 6ir I3ir1111112Рис. 90=512. Волны электрического типа.а) Четные решения [Sx{x) = Sx{—x), Жу{х) = Жу{—х), Sz(x) =-cEz(-x)}:при х > аscпри—a^x^ai z = В sin хх,при х < — a§хЖу =^(1)446Глава IXгде А = eBaa sin ха; остальные компоненты 8 и Ж равны нулю. Параметры х и s определяются из системы уравнений(ха)2 + (за)* = <^(ец-1);(2)за = jxatgxa.(3)Эту систему легко решить графически.
Возможные значения х и з соответствуют точкам пересечения кривых (3) с окружностью радиуса г == ^у/ец — 1 (рис. 90). При заданных и>, а, е, ц, имеется конечное числоточек пересечения, т. е. конечное число типов волн, у которых распределение поля описывается формулами (1).
В частности, при г < ж существуетлишь одна волна типа ЕооРассмотрим зависимость постоянной распространения(4)от частоты и> при заданных параметрах диэлектрического слоя для данноготипа волны. Из рис. 90 видно, что при частотах, близких к граничной частоте, при которой появляется данный тип волны, s близко к нулю, а А; —к из 1с. Волна при этих частотах имеет такую же постоянную распространения, как и в вакууме, и поле проникает на большие расстояния от границыслоя. С ростом и> параметр s возрастает, а х остается ограниченным. Приэтом к стремится к ^^/ёц,, т.е. к тому значению, которое соответствуетволне, распространяющейся в неограниченной диэлектрической среде с параметрами г, /х.
При достаточно больших и> и, следовательно, больших s,поле сосредоточено почти целиком внутри диэлектрического слоя.б) Нечетные решения [gx(x)= -§х{-х),Жу{х)== *ж(-х)]:при х > аgz=Ae~ax,8x = ^Ae-ax,-Жу{-х),§г{х)Жу = %Ае~ах;(5)при —а ^ х ^ аSz = В cos хх,8Х = -Щвsin xx,ЖУ = -Щ§Впри х < —аsc=sin xx;447Электромагнитные колебания в ограниченных телахгде А = Besa cos ха; остальные компоненты S и Ж равны нулю.
Параметры sax определяются из системы уравнений:(ха)2 + (sa)2 = ^ ( е ц- 1),sa = -\xactgxa.(6)Постоянная распространения к связана с х и s соотношениями (4).Из графического анализа легко получить, что при г < ^ нечетныеэлектрические волны не могут существовать. Остальные закономерностикачественно те же, что и для четных волн.Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.513. Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками(постоянная распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.),что и в предыдущей задаче.514.
Волны электрического типа.Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной компоненты электрического поля:Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных. Частные решения имеют видSz(r, a) = Jm(*r)sin(ma + фт),(2)где Jm — функция Бесселя, ф — произвольная постоянная. Чтобы поле возвращалось к исходному значению при изменении а на 2тг, нужно считать тцелым числом ( т = 0,1,2,...).Поперечные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через Sz с помощью уравнений Максвелла:грт),cos(ma + Vmхг) cos(ma448Глава IXВозможные значения параметра х определяются из граничных условий настенке волновода:gr\= 0 , Sa\=0.7\г=а'"1г=оЭто дает хтпа = атп, где атп — n-й корень функции Бесселя: Jm(amn)== 0,п=1,2,...Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумяиндексами т, п; при т = 0 поле обладает симметрией вращения относительно оси z.
Фазы грт в случае идеального волновода определяются условиями возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависятот дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения,продольные царапины и т. д.).Распространение волны вдоль волновода возможно, если к=tl^—x2будет вещественной величиной. Поэтому волна типа т, п будет распространяться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству"а2 'Наименьшая частота возможна для волны типа (0,1):оСоответствующая длина волныа^' а'Ао = Ш „ 2,6а— порядка радиуса волновода.Волны магнитного типа:№z = Jm(xr)sin(ma+ ipm)(m = 0,1,2,...).Значения постоянной распространения к определяются из равенствагде /Зтп — n-й корень уравнения J'm{fimn) — 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
