1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Наименьший корень /Зц ~и 1,8; ему соответствуют граничная частота шо « 1,8^ и граничная длинаволны Ао = ^ р » 3,5а.Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волнэлектрического типа. Если частота волны лежит в пределах о;оэя > и> >Т0 эта в о л н а>н,может быть только типа Я ц .449Электромагнитные колебания в ограниченных телах515. Для .Е-волны:для Я-волна типа ( т , п):,т2о;2где С ' = Re С516. Волновой вектор к и частота w волн в волноводе связаны соотношениемгде и — постоянная, зависящая от типа волны и размеров поперечногосечения волновода.
По обычным формулам имеем^ = f = "V l - ( A°/ A o )2>где Ао — граничная длина волны.Из полученных формул видно, что всегда vv > с, vg < с, при2чем у<р • vg = с . Этот результат справедлив для волновода, внутри котороговакуум (диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой областиявлений практически не отличаются от свойств вакуума).Если волновод заполнен диэлектриком, причем дисперсией е и ц можнопренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми приг„г1замене с на v = —*=.
Поэтому в таком волноводе vv =может стать меньше с, волна «замедляется» (см. задачу 522).517. Hz = ±Ж0 [e*(*i*+*«0 + e *(-*ix+fcz)] e -i«t направления распространения двух плоских волн, на которые разлагается волна Ню, составляют с осью волновода угол в (рис. 91), который определяется условием450Глава IXфазовая плоскость / перемещаетсясо скоростью с в направлении, составляющем угол в с осью z; однакоскорость ее перемещения вдоль осиволновода будет больше:v =- (А/Ао)2Это и есть фазовая скорость волныв волноводе.Групповая скорость совпадает со скоростью движения энергии. Нов плоской волне в вакууме энергия движется со скоростью с в направлении распространения волны.
Каждая плоская волна, входящая в составрассматриваемой волны Ню, будет испытывать многократные отраженияот стенок волновода, и ее «путь» будет зигзагообразным. Результирующаяскорость вдоль оси волновода будетРис. 91V = С COS в=что совпадает с групповой скоростью vg.518.v сa = -Ь г = — е' ,(1)где А — постоянная, а остальные компоненты полей равны нулю.Поток энергии1(2)5-В случае одиночного идеально проводящего провода поля во всем пространстве вне провода описываются формулами (1); полный поток энергиичерез плоскость z = const бесконечно велик: 7 —у °о при 6 —> оо.
Поэтому такая волна не может поддерживаться источником конечной мощности,и, следовательно, рассматриваемый случай не имеет физического смысла.519. Волны электрического типа:£* = [AmnJm(xmnr)где хтп+ BmnNm(xmnr))sin(ma + Vm),— тг-й корень уравненияJm(xa)Nm(xb)- Jm(xb)Nm(xa)= 0.m = 0,1,2, .
. . ,451Электромагнитные колебания в ограниченных телахЗдесь JVm, J m — цилиндрические функции (см. приложение 3),и Втп — постоянные, связанные условиемAmnJm(xmna)Атп= 0.+ BmnNm(xmna)Волны магнитного типа:Жг = [CmnJm(xmnr)где хтп+ DmnNm(xmnr)]т = 0,1,2,...,— тг-й корень уравненияJ'm{xa)N'm{xb)а Стпsin(ma + фт),и Dmn- N'm{xa)J'm{xb)= 0,+ DmnN'm(xmnd)= 0.связаны условием:CmnJ'm{xmnd)Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаютсячерез §z и Жг с помощью уравнений Максвелла.5 2 0 #а=2аЫп(Ь/аУгде С ' = Re С521. Если поле симметрично относительно оси провода, продольнаякомпонента §z удовлетворяет уравнению2drr dr= 0.(1)Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью, параметры к к х будут комплексными.
Определим знак х так, чтобы 1 т ж == х" > 0.Общее решение уравнения (1) запишем в виде8 (г) = А'Н^ (хг) + В'Н^(хг)где HQ , HQ — функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этихфункций (см. приложение 3) и условия I m x > 0 следует, что должнобыть В' = 0, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности. Остальные компоненты £ и Ж выразим через §z с помощьюуравнений Максвелла:452Глава IXПри достаточно больших значениях хг функции щ ' и щ 'пропорциональны — = е ~ * ' г и, следовательно, электромагнитное поле затухает\ficrэкспоненциально на больших расстояниях от провода.
Максимальная концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностныйхарактер.Граничное условие Леонтовича на поверхности проводаприводит к характеристическому уравнению для определения х:Здесь С — поверхностный импеданс металла.
Для хорошего проводника |С| <§С 1, поэтому последнее равенство может выполняться только прималых на. Пользуясь приближенными формулами для Щ1' и щ1' (приложение 3), получим=г<£а,In 7 = 0,5772.(3)Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом,так как входящие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал для решения этого уравнения метод итераций, основанный на том,= и, -^—С,а = v. Тогда уравнение (3) запишется в видеulnu = v.Если найдено приближенное значение ип (п-е приближение), то более точное значение u n + i ((n + 1)-е приближение) можно получить по формулеu n + i l n u n = v.В нулевом приближении можно положить щ = v, тогда«1 = -г—,1™«2 = — - г — 7 >( - )из =In^т./и т.
д.Электромагнитные колебания в ограниченных телах453Для дециметровых радиоволн (А = Щр- = 30 см), распространяющихся вдоль медного провода радиусом \мм (проводимость меди а == 5,2 • 10 1 7 сек" 1 ), расчет указанным методом с использованием формул (VIII.9HVIII.11) даети«(4,2+4,5г)-1(Г8,откудаФазовая скорость волныволна несколько замедлилась.Этот результат можно понять из следующих соображений. В случаеидеальной проводимости провода поперечная электромагнитная волна имеет фазовую скорость с, поле внутри провода равно нулю.
При конечнойпроводимости часть энергии будет распространяться внутри провода; таккак скорость распространения в металле значительно меньше с, то «в среднем» электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание.Исследуем характер поля в предельном случае £ —> 0 (идеальная проводимость). При этом, как следует из (3), УС —• 0, к —> ^ . Используя выражение функций Щ1' и щ1'при малых аргументах, получим из формул (2)= hm — — lnl -jrj- J,x-,0"\ 2.1 )gr=hm 2кА'1x->0Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений,нужно предположить, что величина А' пропорциональна х 2 .
Положим А' == А^-,тогда6 Г = Jta= —,&z = U.Это — чисто поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся соскоростью с.454Глава IX522. Составляющие электромагнитного поля в волноводе определяются следующими выражениями:при г ^ опри о ^ г ^ 6+BN0(*2r),Здесь xi = 4 /^y - A;2, x 2 = л / ^ — A;2; <?o. А, В — постоянные.Граничные условия запишутся в видеПри этом граничное условие для §а будет выполняться автоматически.Исключая постоянные А, В, §о, получим трансцендентное уравнение,связывающее к и и>:o(xia)Мя2а)Щ(я2Ь)Щ(я2а)Мя2Ь)[>При о < i это уравнение существенно упрощается.
Рассмотрим волну,которая будет иметь наибольшее к. Если бы волновод был заполнен диэлектриком целиком (о = 0), то соответствующее значение УС2 было быравно хО2 = ^ , где aoi = 2,4, Jo(aoi) = 0 (см. задачу 514).Будем искать решение, мало отличающееся от KQ2 :где Д а имеет порядок не ниже а/Ь. Считая а<ит <^ 1, используем приближенные формулы для Jo. No, Ji, N\ из приложения 3. Это дает вместо (1)уравнениеe[{x2a)2N0{x2b)+ || InЭлектромагнитные колебания в ограниченных телахПоложим в немТогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получимФазовая скорость волныеш2V с2(aoi+2aoiAa)Ь2Вводя обозначение UJQ = aoi f ~ 2,4^ (минимальная частота для волновода,ооне содержащего диэлектрика) и подставляя табличные значенияи Ji(aoi).
получимЕсли волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), тоГраничная частота частично заполненного волноводалежит между граничными частотами незаполненного и целиком заполненного волновода:^ р < Wrp < W0.V£Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотахU)/е-Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный диэлектриком, является замедляющей системой: фазовая скорость электромагнитных волн в нем может быть меньше с. Важной особенностью медленных455456Глава IXволн является то, что они могут эффективно взаимодействовать с пучками заряженных частиц. Взаимодействие волн с пучком частиц может бытьиспользовано как для генерации и усиления электромагнитных колебанийсверхвысокой частоты (клистрон, лампа с бегущей волной, магнетрон), таки для ускорения частиц (линейный ускоритель).523. Граничные условия на анизотропно проводящей плоскости имеют видЕ\х — Е^х = 0, Hix = Щх,E\z = E<izИндексом 1 обозначена область у > 0, индексом 2 — область у < 0.
Первыедва равенства являются следствием идеальной проводимости полосок, последние два выражают отсутствие тока в направлении, перпендикулярномполоскам. Кроме того, Еу = Ez = 0 при х = ±а и все составляющие полядолжны быть ограничены при у —• ±оо.Решая уравнения Максвелла с указанными граничными условиями,найдемglx = 0,0v=Slz = 1В^К-Be~ cos ax,cos ах,KQK1хгде fco =-iBy-e-0vsmax,«о=В — постоянная.( 2 т + 1)тг,= ат =т = 0,1,2,...,Постоянная распространения к выражается через и> по формуле(*-.)(.-*)к —кт—ат—457Электромагнитные колебания в ограниченных телахДля заданного т волна может распространяться, если ее частота и> заключена в пределахi—2при этом к меняется от 0 до оо.Если е = 1 (диэлектрик отсутствует), то система превращается в резонатор: в ней возможны колебания при дискретных частотах и>т = сат.При е > 1 рассмотренное устройство является замедляющей системой.Групповая и фазовая скорости волн в ней меньше скорости света с.524.
Волны электрического типа в рассматриваемом случае существовать не могут. Волны магнитного типа:I 1/РПЧ1/Тк*-Q1T1 V T 1Jifx = -£jjj(ksmxx — x-^-cosxxj,где ж - -^-, л - «/ — j —Граничная частота щ'§z = §osmxx,I— I , n - l , 2 , d , . . . ,J= ^ц.Как следует из формул для Жг и Жх, конфигурация магнитного полядля волны данного типа зависит от знака к, т. е. от направления распространения волны, и от знака ца, т.е. от направления постоянного магнитногополя. Этот эффект связан с гиротропией среды, заполняющей волновод.525.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
