1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (VIII. 1),(VIII.2), причем В = Н, D = Е. Умножим первое из них скалярно на Н^,а второе — на Е„ и проинтегрируем по объему резонатора:j-t f H-HvdV = -с f Н„j-t [-E--El/dV = c [E(1)Считая собственные функции Е^, Н^ ортонормированными в соответствиис условием (IX.3), вычислим интегралы в правых частях равенств (1):(2)Собственные функции Е^, Н^ удовлетворяют уравнениям:= 1к„И„,rot rot Е„ = ^ Е „ ,rotH^ifc^E^.l/rot rot Н„ = fc^H J(3)где k^(fci, k2,kz) — соответствующие собственные числа (они вычислялисьв задачах 529, 531).
С помощью (3) можно преобразовать интегралы, стоящие в правых частях равенств (1),div[E х rot Е„] = rot E,, • rot E - Е • rot rot E,, = ik^Hv • rot E - к^Е,, • Е,поэтому[llv-TofEdV = -ikv JE^-EdV + т|- /div[E x= -kKikvqv + | н ^ [ п х Е ] dS,(4)где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатораи п — орт нормали, направленный в глубь проводника. Но поле на стенкерезонатора удовлетворяет условию (VIII.
10), которое можно записать в видеСН Т = п х Е.(5)Собственная функция Н^ резонатора с идеальной проводимостью имеет на стенке только касательную составляющую, поэтому при подстановке (5) в интеграл (4) можно заменить Н т на Н .
В итоге, собирая формулы (1)-(5), получим уравнениер„ - iuvqv = -^ini/-HdS.(6)465Электромагнитные колебания в ограниченных телахВторое уравнение выводится аналогичным путем:qv - iu)vpv = 0.(7)Исследуем влияние конечной проводимости стенок на и-н тип колебаний идеального резонатора. Возмущенное поле Н при £ —• 0 должнопереходить в невозмущенное поле, т. е. в суммеН =уpv>Hvдолжен оставаться один член с v1 = v.
Следовательно, амплитуды pv< с i/ == v пропорциональны ( и их подстановка в (6) дает члены порядка £ 2и выше. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на риНи и получимуравнение видаpv - iuvqv = -pvSb-j> Hi dS.(8)Если исключить одну из переменных (ри) с помощью (8), то для другойполучится уравнение^JHldS) qv = 0.(9)Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает гармонический осциллятор, на который действует «сила трения» — (-J- § HldS\qv,где С,' — действительная часть поверхностногоимпеданса.Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку До;^ — i^vк собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханиюсобственных колебаний с декрементом(10)и к сдвигу собственных частот на величинуdS,(11)так что измененная собственная частота и>„ =и„ + Аи„.Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания даетсяформулой (IX.4).466Глава IX_ _ _.л(jJvCLI ТТЛGUJis538.
Qv = —х-? = \*>л-*5-^. Система потеряет резонансные свойства4а,у 2спри достаточно высоких частотах, когда расстояние между соседними собственными частотами станет сравнимым с шириной резонансной кривой,определяемой декрементом затухания 71/ = Wv/2QV. При высоких частотах, как следует из результатов задачи 530, расстояние между соседнимисобственными частотами:AwAN ~азJi-Приравнивая эту величину декременту 7, найдем область частот, для которых система обладает резонансными свойствами:и < lOW' 5 .При а и 1 см и <т = 1017 сек-1имеем: и) < 3 • 10 1 2 сек~ 1 .539.
Производя разложение Б и Н по собственным функциям идеального резонатора, как это сделано в задаче 537, получим для амплитуд р„и qv систему уравнений:2г ^Ап„>& = 0 ,(1)1/'qv-UJvpv= -\jve~iu>\(2)где АС1„ = Аи — Z7i/ — комплексный сдвиг собственных частот;-EvdV.(3)Ищем решение уравнений (1), (2) в виде„ _ „0 - t u tPv — pve,_ 0 -tutqv — 4ve•/л\v*)Исключив величины q°, получим2%pi (и - ZuAUv - Jt) = ^jv +2u>Y, 'A<WS< •(5)Знак «'» у суммы означает, что член с и' = и отсутствует (он перенесенв левую часть равенства).467Электромагнитные колебания в ограниченных телахРешаем систему (5) методом последовательных приближений.
В нулевом приближении отбрасываем сумму ( £ ) ' ) и получаемВ следующем приближении получим добавку к (6), равнуюОна мала, если и> близко к ш „ , а все остальные собственные частоты и>и>удовлетворяют условию \и> — wv>\ 3> |ДП^<|.Выразим знаменатель (6) через добротность Qv и измененную собственную частоту u)v = u)v Л- Ыо». Имеем:что справедливо вблизи резонанса (|u; — u>v\<g. u>). Отсюдаrf*"*£"J(7)Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер,при заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротностьрезонатора:Л°— П°— 3vQv4i/pe3 — Pi/рез — cu)v '1Q\^ 'Из полученных формул следует также, что проводник с током следует помещать в пучность электрического поля Е„ и ориентировать вдоль Е„.
Приэтом величины j v и, следовательно, р°, q° будут иметь наибольшее значение.540. Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор, отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет W(l — R). Завремя dt теряется энергия468Глава IXгде cdt/L — число отражений. По определению добротности (IX.4)L)LdWdtРис. 92где и> — частота рассматриваемых колебаний.Излучение через боковую поверхностьвызвано тем, что ограниченный в поперечномнаправлении пучок света не может быть строго направленным. Он обязательно имеет поперечную составляющую волнового вектора Ак±, которуюможно оценить из условия Ак± • D и 1 (см.
задачу 424). Это приведетк тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому,образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора2Ак±п а2сЧасть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергии приодном отражении составит WL6/D. За время dt потеряHW — —wW—±y±D L— —Idt.Добротность за счет излучения:D2LJ2с2'Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полнаядобротность Q определяется по формуле1 = J- + JQQiQ2При указанных в условии задачи значениях параметров:5Qi«4-10 ;8Q2«4-10 >Qi;5Q и Qi и 4 • 10 .Электромагнитные колебания в ограниченных телах469Рис.
93541. Если первоначально луч распространялся по нормали к плоскости одного из зеркал, то после n-го отражения угол между нормальюи лучом будет равен п/3 (рис. 93). За n-е прохождение между зеркаламилуч смещается на расстояние n/3L; число отражений N до выхода луча изрезонатора оценивается из соотношенияN71=1— 1, что соответствует времени затуханиясобственного типа колебанийf\T=N =сс V /3 /Это время можно отождествить с обратным декрементом затухания у.7~T~°\2DL)•Добротность за счет непараллельности зеркал:пиы(2DL\1/2Чтобы непараллельность зеркал не уменьшила существенным образом добротности резонатора, требуется выполнение условия Q3 ^ Q, где Q —470Глава IXдобротность резонатора с параллельными зеркалами.
Отсюда^ 2 c2Q2'Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи,находим/3 < 0,0012.542. а) Угол fl принимает дискретные значения, определяемые условиемLcost?пХ(1)2 'где п > 1 - целое положительное число. Если при заданном А возможнозначение fl = 0, которое соответствует п = щ (L = поА/2), то дискретныезначения угла i?jt <С 1 определяется формулойб) Добротность Q\, учитывающая потери в зеркалах, была найденав задаче 540.
Добротность <5г, связанная с потерями на излучение, по порядку величины составляет^при 0>в,Q2 = ^=^при 0<в,(3)где в — угол дифракции, определенный в задаче 540.Если Q\ < Q2max. то полная добротность Q резонатора для тех типовколебаний, у которых <3г($) > Qi, будет практически одинаковой и близкойк Q\.
Если Qi > Q2max, то Q будет определяться, в основном, величиной <3гв соответствии с формулами (3).ГЛАВАХСПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯОТНОСИТЕЛЬНОСТИ§ 1. Преобразования Лоренца-,,x'-x'o + V(t'-t'o),,543. х - хо =, у - 2/о = У ~ Уо,z-zo= z' -z'o,t-to=546. Координаты часов, показывающих равное время t = t' в системах S и S":Из этих формул видно, что точка, в которой t = t', движется равномерно в каждой из систем S и S'.
Если ввести систему отсчета, относительнокоторой эта точка неподвижна, то S и S" движутся в противоположныестороны с равными скоростями Vo = f^fl ~ ^ ) (Уо представляет собойрелятивистскую «половину» скорости V в том смысле, что релятивистскоесложение двух скоростей Vo даст V).547.
В системе S" продолжительность одного периода Т' = 21/с;в системе S время Ti движения «зайчика» вдоль стержня в направленииотносительной скорости V вычисляется из уравнениявремя движения в обратном направлении Гг получается заменой V на —V.Для отношения Т' к Г = 7\ + Тъ находимоткуда следует (Х.7).472ГлаваХ549. а) Нельзя. 12 час 00 мин могут показывать одновременно двоечасов в одной из систем отсчета и только одни часы в другой системеотсчета.6) Показания пространственно совпадающих часов не зависят от выбора системы отсчета:tA> = 12 час ООмин + -^ = 13 час ООмищtA = 12 час 00лшн+ £\ / 1 - ^ - = 12 час Зблшн.у усПоказания оставшихся часов В я В' будут зависеть от выбора системыотсчета вследствие относительности одновременности.УУ'У1S'УS'>СЛ))СBtV V, СV АВXВРис.
94С точки зрения наблюдателя на «платформе» (рис. 94а):Ьв1 = 12 час 21,6мин,Ьв =^А = 12 час ЪЬмин.С точки зрения наблюдателя в «поезде» (рис. 946):tB/ = ЬА> = 13 час ООмин,Ьв = 13 час Ы,4мин.в) С точки зрения наблюдателя на «платформе»:ГА = 13 час ООмин = te,Ьв1 = 12 час Збмин,ЬА1 = 13 час 14,4лшн.С точки зрения наблюдателя в «поезде»:ГА = 12 час 21,6 мин,ГА> =te>= 1 2 час 36 мин,te = 13 час 00 лшн.Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать с показаниями двух часов в другой системе отсчета.§ 1. Преобразования Лоренца473550.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
