1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Оно релятивистски инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитныесиловые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.в) Условие интегрируемости системы имеет вид^ j _ E d i v H = 0,или в ковариантной записи, Fikekimnв силу уравнений Максвелла.dFтяпOXi= 0, и всегда удовлетворяется§3. Релятивистская электродинамика491г) Записав уравнения (2) в виде (Е ± Н):Н ( Н • dr)E x H,xi2xi2'убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).608. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи,принимает видdr х Е - сН dt = 0, Н • dr = 0,откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0) выполняется условие параллельности dr х Е = 0 приращения dr и электрического вектора Е.
Уравнения совместны при Е • Н = 0 и интегрируемыпри•-^\ -HdivE = 0.с at iПоследнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие видаЕ х j + сНр = 0.Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовыхлиний электрического поля ввести не удается.
Силовые линии движутсяпоперек своего направления со скоростью и = — с — ^ — .Б610. ip = -^,А =еt,2w2eR(l-V /c )e R222„v„2где R* = \/{x — vt) + (1 — 0 )(y + z ), (vt,0,0) — координаты движущегося заряда в момент t, R ( x — vt, y, z) — радиус-вектор от заряда в точкунаблюдения в момент t, fl — угол между R и v.611. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения заряда (тд = 0, тг) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Е^ == e/R2 в 1 — V2/c2 раз, а в перпендикулярном направлении (•в = 7г/2)поле Е усилено в— раз. При V ~ с поле велико только в узкому/\ - V2/c222интервале углов Ад ~ у/1 — V /cвблизи экваториальной плоскости.492ГлаваХУсловие Е\\ = Ей относится к одним и тем же точкам 4-пространства.
Но если в системе покоя заряда какая-то точка А находится на оси хна расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе та же точка будетнаходиться от него на расстоянии Д\/1 — /З2. Сравнивая значения Е\\ в точке Ry/i — /З2 и Е'у, в точке R, получимкак и должно быть.612. if =РОТ'-,„•3где R = (х — vt,y,z),Н = 2 х Е,г* = ( х — vt, i-y, kz\, диполь движется по оси х,находясь в момент времени t в точке с радиусом-вектором Vt.613.где р ' и tn' — дипольные моменты в системе покоя.614. Используя формулы преобразования четырехмерной плотноститока, найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 102) не заряжены,а стороны 1 и 3 несут заряды q\ =У=q3=^ ^ m e J 'стеме 5', связанной с петлей.
Отсюда(или из результата задачи 613) следует,что электрический дипольный моментпетли, наблюдаемый в 5', равен р =ОРис. 102= 9 3 6 = ^ ш ' , где ш ' = ^- магнитный момент петли, наблюдаемыйв системе 5'.493§ 3. Релятивистская электродинамика615. Пусть щ — четырехмерная скорость среды. Составим 4-инвариант (см.
формулу (Х.37)):fiUi = 7 ( f • V) - 7 ( Q + f • V) = - 7 Q = inv.Если обозначить через QQ количество тепла, выделяемого в единицеобьема среды в единицу времени в той системе, где среда покоится, то Q =616.и=7 2 (и/+Щs'x+02тхх),sx =7 2 [а+/? 2 )s; + VJ+VTXX],sy = i{s'y + vrxy), sz = 7(5; + VTXZ), тхх =rpУУ —rptyy>rpVzrpt—yz)rp•*• zzrpt— •*• zz">617. Тц = О.618.Импульс и энергию поля в объеме V в момент t = -А можновыразить интегралами / То а dS и / Too dS соответственно, где dS — элемент гиперповерхности хо = const (очевидно, dS = dV). Аналогичнымиинтегралами выражаются импульс и энер= constгия поля в момент t' = ^-. Введем произвольный вспомогательный постоянный4-вектор пг и составим сумму Тога*. Рассмотрим далее 4-объем £2, ограниченныйцилиндрической гиперповерхностью S,образующая которой параллельна оси од,и двумя гиперплоскостями: хо = constи x'Q = const (рис.
103).Применим 4-теорему Гаусса к интегралу по этой гиперповерхности от функцииI TOiai dS= f= 0,Рис. 103yтак как -^-^ = 0 при отсутствии зарядов. На цилиндрической гиперповерхности То» = 0, поскольку на границах обьема V системы поле отсутствует.494ГлавахТогда (учитывая направление нормали) получим(ц j TOidV = a't j T^Другими словами, величина а* / Ты dV — инвариант относительно преобразования Лоренца. Но тогда / То» dV должен быть 4-вектором (ср.
с задачами 597 и 4).619. Вычислим изменение Kik' за время dt. При этом придется сравнивать значения Кце на двух близких гиперплоскостях t = const и ( ++ dt = const. Учитывая, что на бесконечности поле отсутствует, можнопреобразовать разность интегралов по этим гиперплоскостям в интегралпо замкнутой гиперповерхности S, образуемой дополнением этих гиперплоскостей бесконечно удаленной боковой гиперповерхностью. Полученный интеграл преобразуется по теореме Остроградского-Гауссаsn(fi — объем внутри замкнутой гиперповерхности S).
Преобразуем правуючасть последнего выражения:гг \гггг ,дТы— Xk-lil) = ±Ы — -lik + £i~53Здесь Tik = Tki вследствие симметрии 4-тензора натяжений.Рассмотрим Jxi-^-dQ= —^JxiFkijidQ.Так как мы имеем делос системой точечных частиц, тов правой части последнего выражения стоят координаты частиц и их функции в момент t. Согласно уравнениям движения частиц, %Fki-?r = ~т^сatatАналогично можно рассмотреть Jxk-K-^-dQ. Таким образом, интегралC/Xi1по du обращается в — Х д » - ? ^ — ^fc-Jr) dt и сокращается с такой жесуммой по частицам.jk — функционал от пространственноподобной гиперповерхности t = const.§ 3.
Релятивистская электродинамика495ПоэтомуdKik= 0,dt= const.620. Полный момент импульса частиц и поля в объемемV* fttгде ка0 = хар0—Х0ра — момент импульса одной из частиц, интеграл берется по той части гиперплоскости t = const, проекция которой на трехмерноепространство равна V. Аналогичным образом записывается Kap(t + dt). Рассмотрим момент им2/|пульса, теряемый системой за промежуток времени dt:- dKa0= Ka0(t)- Ka0(t+ dt) == -£**+!/••-!/•••Разность интегралов по близким гиперплоскостям можно представить в другом виде, заметив,что / + / + j = / п о замкнутой цилиндричеtt+dtSimской гиперповерхности (см. рис.
104)1, образуюРис. 104щие которой параллельны оси времени. Так же,как это было сделано в предыдущей задаче, можно убедиться, что § сокращается с — Y^,dka0. Тогда-dK3a/{xa= zЭлементы гиперповерхности 5бОк, очевидно, нормальны к оси t и могут быть представлены в форме d S 7 = ic dt n 7 df, где df — элемент обычнойповерхности, замыкающей объем V, п — орт нормали к этому элементу.
Отсюда получаем выражение для убыли момента импульса системы в единицувремени:=1/(ЖТ+жНе следует забывать об условности таких рисунков.ТК df(1)496ГлаваХВведем антисимметричный по значкам а, /3 тензор 91 а/ з 7 = хрТа1 —— хаТ/зу. Этот тензор должен быть интерпретирован как плотность потокамомента импульса, что ясно из формулы (1). Компонента Жа0~/ равна количеству а/3-компоненты полного момента импульса Ка@, протекающемув единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к оси х 7 .Подобно тому, как вместо Кар можно ввести псевдовектор момента К , можно ввести также псевдовектор, эквивалентный 9 l a 0 7 n 7 .
Тогда равенство (1)принимает вид:_Ж=at[ftdf,(2)Jx n) - -jM(r x E)(n • E) + (r x H)(n • H)].При выводе (3) использовано выражение (Х.29) для компонент Тар.(3)ГЛАВА XIРЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА§ 1. Энергия и импульс621.р=±622. v =ср623. /?=£ = ^/l-(f)2,<go = mc2.В нерелятивистском случае /?и д/ ^-, в ультрарелятивистском /3 = 12624.2m625. v =8 тзс2 т • • •1 1В частности, при e F < me 2 ,Vпри eV » me?,e V2mc2Л , eV\2'2eVm=498Глава XI626.
а) и = 3,42-КГ 2 с; б) v = 0,9999985с; в) 0,81 с; г) 0,9956с.627. F = ^у/Т(Т+ 2mc2), W = f Г.^ — 2mv2N1 - v /сДавление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом,и в системе, связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямоговычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведяпреобразование Лоренца для четырехмерной силы (см. (XI.
18)).629. Длина п-тл трубки2iv у2v\nVee + mci^где vn — скорость частицы в тг-й трубке. В начале ускорения тс2 3> neVeи ! п й ^ - у -^г^ • у/п. В ультрарелятивистском пределе Тп » mc22, v и си Г~сОценим длину ускорителя:ЛГ2i/eVe Le + m e 2 ) 2 - m 2 ^ - me 2 arccosiVeVe + m c2630. Отношение интенсивностей(т =^r°— — период полураспада ^-мезона, движущегося со скоро-у/1 - V2/c2стью г; J.
Если бы релятивистское преобразование времени не имело места,мы получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов равна с):f§ 1. Энергия и импульс499Наблюдения согласуются с первым результатом (Ih/Io и 2,5) и темсамым дают прямое экспериментальное доказательство существования релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов.631.где7=1—,8 = ч{8'+ p'V costi'),p,rf — импульсы частицы в системах S и S' соответственно.Приведенной в условии для ультрарелятивистского случая приближен-,i9'ной формулой можно пользоваться, если cos ^2= р'^7 — скорость частицы в 5'.
Энергия в ультрарелятивистском случаепринимает вид:S к, рс и 27#' cos 2 %•.£632. Рассмотрим dN частиц, движущихся в системе 5 ' внутри телесного угла <К1'. В системе 5 те же dN частиц будут двигаться внутрителесного угла df2 = sin д dd da, образованного векторами скоростей этихчастиц в системе 5. Угловое распределение частиц в системе 5 будет описываться функцией F(ti, а), определяемой из равенства^M-.Угол д' должен быть выражен через д с помощью формулы:,2(costf'+^Y2 оcos'' д =1^-z— =v^г'(I)500Глава XIследующей из решения задачи 631 (г/ = р'^— скорость частиц в систе-ме 5 ' ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
