1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Уравнения Максвелла для комплексно-сопряженных амплитуд SQ, Ж*й имеют вид:iu; •Амплитуды S, Ж удовлетворяют уравнениямrot Ж + iko(ez хЖ) = -Щ-f*,( 1 )458Глава IXгде р'Ж, e'S — векторы с компонентами ц'шЖк, e^ki / ^ = е\к = й*> —вне области, занятой диэлектриком, fi'ik = fck, e'ik = Eik — внутри этойобласти.Из уравнений для rot SQ И rot Ж следует:r;-g'*-*;). (з)Проинтегрируем обе части этого равенства по поперечному сечению волновода 5. Первые два члена можно преобразовать следующим образом:[(Ж rot S*o - S*o rot Ж) dS = у I div{S*o x Ж) dV.SVВ последнем выражении интеграл берется по объему, ограниченному стенкой волновода и двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние I(подынтегральное выражение не зависит от z).Применяя затем теорему Остроградского-Гаусса, получимI div(*S х Ж) dV = [(So x Ж) • п dS = /(n x S*o) • Ж dS.На стенке волновода п х 8*0 = 0 в силу граничного условия §от = О,а интегралы по сечениям входят с противоположными знаками и взаимносокращаются.
Поэтомуи равенство (3) дает{к - ко) f{S*o х Ж) • е г dS = -и [ ({Ж • Ж*о) dSSS-J(S-S*0)dSSI AeS.S'odS^, (4)ASгде Де~= е — 1 и AS — поперечное сечение области, занятой диэлектриком.Таким же путем из уравнений для rot S и rot Ж о находим(к - ко) f{S*o х Ж) • ez dS = ш \ ({Ж • Ж*й) dSss- f(S • So)dS+Sгде ДД = Д - LASf ДДЛ? • Ж1 dS\,(5)Электромагнитные колебания в ограниченных телахСкладывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в условии задачи. Она представляет собой точное соотношение, связывающееизменение ДА; постоянной распространения с амплитудами полей. Однако в большинстве случаев точное решение задачи о волноводе, частичнозаполненном диэлектриком, не может быть получено. Только при достаточно малых поперечных размерах области, занятой диэлектриком, удаетсяприближенно определить амплитуды возмущенных полей S и Ж.
Тогдас помощью полученной формулы для ДА; можно подсчитать изменение постоянной распространения, которая является важной характеристикой волны в волноводе. Примеры расчета волноводов таким методом приведеныв задачах 526-528.526. В случае пластинки малой толщины амплитуды возмущенныхполей можно приближенно выразить через невозмущенные амплитуды, которые для волны типа Я ю имеют вид:!/Й!/ЙТЛЕI/OJtTOz = JCQ COS - д - ,nILJd «jn.=JCQX7ПЕ.XKQO, C^0ТЛЕjf~J O Sin -^-,=nn«jnOx =Oz =Oyr,=°У~Wc °"a"'(Эти выражения могут быть получены из результатов задачи 510.) Пренебрежем изменением амплитуд поля вне объема, занятого пластинкой.
Крометого, пренебрежем изменением полей по толщине пластинки. Это эквивалентно отбрасыванию членов порядка сР и выше. На поверхности пластинки должны выполняться граничные условия:бу = &0у,3fcz = 2r€^ziЦА-Жх — 1Ца^у=>^Ч)Х5Жу = 3rCQy = 0,где невозмущенные амплитуды в правых частях берутся при х = х\. Этиравенства определяют амплитуды возмущенного поля в пластинке.Интеграл, стоящий в числителе выражения для А/с (см. условие предыдущей задачи), равен произведению подынтегральной функции на площадьпоперечного сечения пластинки bd, так как поле не зависит от у, а зависимостью от х пренебрегаем.В интеграл, стоящий в знаменателе, можно подставить невозмущенныезначения амплитуд. В результате получим:Так как ц± зависит от величины постоянного подмагничивающего поля Но (см. задачу 331), то и ДА; будет зависеть от этого поля.
Изменение Щвызывает изменение фазы волны. Устройства, основанные на этом явлении,широко применяются в радиотехнике для преобразования фазы.459460Глава IX527. Ak=£^L- - ^ 2 4тгсftаЫп528._\А1.u>db —ааЫпВ случае а) ДА; практически не зависит от величины постоянного магнитного поля Но, так как /хц и 1 (см.
задачу 331). Это объясняется тем, что внутри пластины высокочастотное магнитное поле совпадает по направлениюс постоянным полем и не поддерживает прецессии намагниченности М .В случае б) высокочастотное магнитное поле внутри пластины перпендикулярно постоянному полю, /xj. зависит от Щ, причем эта зависимостьносит резонансный характер.529. ИнтегрируяходимЕхЕуEzуравнения (IX. 1) с граничным условием (IX.2), на= Ai cos(fcii) sin(k2y) sin(A;3z)>= Az cosfay) sin(fcii) sin(A;3z),=(1)где Ai — постоянные,к\ = niTr/а,Аг2 = пъж/Ъ, кз = тгзтг/Л,и> = с (fcj + А;2 + fcj)'" 1 , "2, " з = 0,1,2, .
. . (временной множитель е~шЬ опущен).Вектор Н выражается через Б с помощью уравнений Максвелла.Уравнение div Е = 0 приводит к условию поперечности А • к = О,где вектор А = (А\,Аъ,Аъ). Отсюда следует, что колебания при заданных kx,ky,kzФ 0 двукратно вырождены, так как вектор А можно выбратьв плоскости, перпендикулярной к, двумя независимыми и произвольнымиспособами. Положим для каждого такого к:Ак<т = Аеъ,,,а =1,2,где ек^ — единичный вектор такой, что e^i • е^г = 0 и е ^ • к = 0, а постоянная А = \l^jr-> причем V = abh — объем резонатора.Тогда все собственные функции будут взаимно ортогональны и нормированы условиемЭлектромагнитные колебания в ограниченных телахЭто соотношение легко проверить, непосредственно интегрируя (1). Индексы v, и1 введены для обозначения четырех чисел: п\, пг, пз и а.Если одна из проекций к равна нулю, то вырождение отсутствует, таккак в решение (1) входит в этом случае только одна постоянная.530.
AN = - ^531. Колебания электрического типа:Ez = 8QJm(xr)sin(ma + фт) cos(kz)e~iu)t,sin(ma + фт) sin(fcz)e- iu;t ,Er = -^S0J'm{xr)cos(ma + фт)Ea = -^SoJmixr)Hr = -^-S0Jm{>cr)УГСГ1— 0 1 2sm(kz)e-iult,cos(kz)e-iult,cos(ma + фт)cos(kz)e-iut;Ha = %S0J'm{>cr) sin(ma + фт)k ——Hz = 0,te—a m nn—корни уравнения Jm(amn)= 0, w2 = c 2 ( x ^ n + fc2).Колебания магнитного типа:Hz = 3tfoJm(xr)sin(ma + фт) sin(fcz)e~tu;t;k = lir/h, / = 1,2,...; значение / = 0 невозможно; xmn = (Зтп/а, где (Зтп —222корень уравнения J'm(fimn)= 0; и = c (x^nn+k ).Остальные компонентыполей выражаются через Hz с помощью уравнений Максвелла.При т ф 0 колебания как электрического, так и магнитного типовв общем случае двукратно вырождены, так как каждой собственной частотесоответствуют две собственные функции, например,Hz =3%oJm(*cr)sinmasin(kz)e —iutHz = 3%bJm(xr) cos masin(kz)e —iuit532.
В квазистационарном приближении можно рассматривать указанную систему как колебательный контур, состоящий из конденсатора461462Глава IXемкостью С = R2/(4d)и катушки индуктивности с самоиндукцией L == 47г6Пп— — т ) - (Вычисление самоиндукции проволочного кольца см.в задаче 272).
По формуле Томсона (VII.3)Квазистационарное приближение применимо, если Ло = 2жс/и)0 многобольше размеров системы (т. е. А » R, Ь).тгб534. В квазистационарном приближении (Ао = 2жс/и>о ~> а, Ь) считаем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладкамиконденсатора, а магнитное поле — внутри тороидальной камеры. При такихпредположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному контуру, состоящему из емкости и индуктивности.
Емкость конденсатора С =, самоиндукция тора L = 4ж(Ь — Vb2 — а2) (см. задачу 269).AdСобственная частота~и(6 - а) у ^(6 -Высшие типы колебаний рассмотренного резонатора не могут быть вычислены в квазистационарном приближении, так как для них не выполняетсяусловие А ^> а, 6.535. шо=2 с26-о26 + а\2nhln 2 6 - о536. В коаксиальном волноводе, закороченном с одной стороны(при z = 0) идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячаяпоперечная волна с напряженностями поля:В любой плоскости, перпендикулярной оси волновода, распределениеэлектрического поля такое же, как в цилиндрическом конденсаторе, и можноЭлектромагнитные колебания в ограниченных телах463считать, что оно создается разностью потенциаловД^ = Л 1 п | з т ^(2)между центральным стержнем и оболочкой.Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой резонатора:ДИ,= Л = я/с.(з)2Здесь С = a /{Ad) — емкость конденсатора; q — заряд одной из обкладок,который можно выразить через силу тока J, протекающего по стержню(или равный ему по величине и противоположный по направлению токв оболочке)У = —iujq.Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее,а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентноеуравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:сссааЭто уравнение легко решается графически.
При ujh/c <c 1 (это означает,что А > 2тгЛ — квазистационарное приближение) получаеми =—где L — коэффициент самоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h.В этом приближении вычисляется только одна — низшая — собственнаячастота (ср. решения предыдущих задач 532-535).При d = 0 (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального волновода) имеемит = ^-т,ш = 1,2, . . .(4)Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое числополуволн: h = -^-т .464Глава IX537.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
