1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Использовав (П 3.9), получимс_2Я 0kJo(ka)'т_а2Но Г2 у2каМка)J0(ka)Из выражения для т следует, что поперечная магнитная поляризуемостьцилиндра„2вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компонентымагнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):(7)Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j = j - rot HполучимсЯ 0Ji(kr)тИз формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинахцилиндра 0 < а < 7 г и 7 г < а < 2 7 г токи текут в противоположных направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная§ 2.
Вихревые токи и скин-эффект373зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегосяв продольном поле, и была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметьв виду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечногополя они текут вдоль оси цилиндра.)384. Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра прощевсего вычислить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающийчерез боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383,получимТот же результат получится с помощью формулы (VII.
16), причем при интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать формулу (П3.13).385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом,что и в задаче 383 для линейно поляризованного внешнего поля:пг —,ееkrJo(ka). _ ickHp Jijkr)3z~2тг ' J0(ka)e,пап_—Л(кг)г ш о ег ш о еJo(ka)i a'Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по формулеf=i(jxH)(2)(считаем, что внутри цилиндра /л = 1).
Радиальная компонента этой силывызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента создает вращательный момент. Поскольку j и Н — комплексные величины,среднее значение азимутальной составляющей силы выразится так:7а = ±-сЪе{ЗгЩ).(3)Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению374Глава VIIцилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13).
В результате получимЭтот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить через магнитный момент системы по формулеN(t) = m(t) x H 0 ( t ) .(5)Определяя Nz = N через комплексные амплитуды Но и m, a m — через поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходимк формуле (4).При малых частотах из (4) получима при больших частотах(7)Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих предельных случаях очень малых и очень больших частот.Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равеннулю (формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нульпри вычислении JV; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для этогослучая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся»полем.Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройстваасинхронного электромотора.386.
Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпадает с осью цилиндра, а ось х — с направлением внешнего поля Но,рассмотрим систему координат £, т\, z, вращающуюся вместе с цилиндром.В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в видеHo(t) = (Hoi - i H 0 2 ) e - i w t .Здесь Hoi и Н02 — постоянные векторы одинаковой длины Я01 = Я02 == Яо, имеющие направления координатных осей £, ц. Поле такого вида§ 2. Вихревые токи и скин-эффект375было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент(который в данном случае будет тормозящим) равен387. В задаче 379 было показано, что вихревые токи, возникающиев цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемоеими поле продольно и зависит только от г.
Это поле будет удовлетворятьуравнениюд Н . 1 дН _ ^"г" цп _ р./-|\2дгг дгс2atк'Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем.Поэтому частные решения уравнения (1) будем искать в виде F(r)e~'rt,где 7 > 0 — постоянная. Для F(r) получаем уравнение Бесселя:F"(r) + i f ( r )где к* =+ k*F{r) = 0,(2).сОграниченное при г = 0 решение уравнения (2) имеет вид F(r) == CJo(kr). Поскольку внешнее поле До выключается, а добавочное поле, создаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границедолжно выполняться условие Д | р = а = 0, т.
е.Jo(ka) = 0.(3)Отсюда находим кта = /Зт, т = 1,2,..., где /Зт — нули функции JoВозможными значениями 7 будут1т = - ^ Ц .(4)Общее решение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевойзадаче, запишется в видеe-^t.(5)376Глава VIIКоэффициенты Ст определятся из начального условияг).(6)Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя:1/ xJ0(kmx)J0(knx)dx = | [Jo(km)]2unn,(7)ополучима~Г / Я < Г ' °)МктГ)г dr.(8)2а Л(кта)J 0) равно внешнему полю Щ, такВ начальный момент времениполе Н(г,Ст =2как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю.
Использовав формулы (П 3.12), (П3.9), найдемСкорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений ут,т. е. 7i • Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корняфункции Бесселя /?i и 2,4. Время затухания поля г = fj-.388.
Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении было найдено в задаче 281:Н = ^ Н0.(1)Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует изуравнения (VII. 11), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля в следующем (линейном по и>) приближении используем уравнение (VII.
10) в интегральной форме.Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь поокружностям в плоскостях, перпендикулярных Но; так же будет направленоэлектрическое поле.§ 2. Вихревые токи и скин-эффект377Выбрав сферическую систему координат с осью z вдоль Но, получим^j = oE,(2)где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Q найдем,интегрируя q = \<г\Е\2 по объему шара:389. Вне шара магнитное поле:Зг(т • г)= Н0г5тг3'где m = — ^ а 3 Н о ; 0 = — ^ а 3 — магнитная поляризуемость шара при сильном скин-эффекте.Внутри шара:Нф = —-^Н^еsin??,Hr = На ^ О,где z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, полярная ось сферической системы координат направлена вдоль Но;8390.
В случае сильного скин-эффекта поле внутри эллипсоида равнонулю, а во внешней области удовлетворяет уравнениям rot E = 0, div E == 0 и граничным условиям Hn\s = 0, Н ^ ^ ^ , где Но — внешнее полеи через S обозначена поверхность эллипсоида.Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллипсоиде с s = 0,находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле внетакого эллипсоида будет удовлетворять уравнениямr o t E = 0,divE = 0(1)и граничным условиям\\ = 0,E^-^Eo.(2)378Глава VIIУсловия для касательных компонент Б можно не рассматривать, так каксоотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Б во внешней области.Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде, присильном скин-эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическомэллипсоиде, у которого s = 0.
Полагая в формулах, приведенных в ответезадачи 200, £\ = 0, получим магнитные поляризуемости в направленииглавных осей эллипсоида:д(г) _V4тг(1-п«)'где п ^ — соответствующий коэффициент деполяризации, V — объем эллипсоида.Для сильно вытянутого эллипсоида вращения с полуосями a, b 3> а(стержень) имеем (см. задачу 198):ооДля сильно сплюснутого эллипсоида (6 -С а, диск):2а 312391. Вследствие аксиальной симметрии системы шар + внешнее поле, распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также обладают аксиальной симметрией.
На этом основании можно утверждать, чтоэлектрическое поле будет иметь только одну составляющую Еа, которая неможет зависеть от а: Еа = f(r, •в).Ищем решение уравнения (VII. 12) для полного электрического поля Бв видеЕа = F(r) sin д,ЕГ=Е#=О.Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах,полученным в задаче 47, найдем уравнение для F(r), которое подстановкой F(r) = -^=- сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограничену/Гным при г = 0, будетX(r) = AJ3(kr).2Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (VII.
10). Магнитноеполе во внешней области будет складываться из внешнего поля Но и поля§ 2. Вихревые токи и скин-эффект379магнитного диполя т , направление которого совпадает с Но:нн, Зг(тт)ТmТПостоянные А и m определяются из граничных условий для Н наповерхности шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка черезтригонометрические функции, получимfkaQ_3a62H$ /IIgSsh2a/6 + sin2a/6\' ch2a/6-cos2a/6/'При \ka\ <C 1 (малые частоты):, 1где До = —Ксопротивление постоянному току.па аПри \ка\ » 1 (большие частоты):а1паЬса у 27гсг'Как следует из последней формулы, эффективная площадь сечения проводника при сильном скин-эффекте равна 2па5.jy*.it—т ' —2ас 2где 5i =с52 =, _2HpГ Д еПри \kh\ <С 1 (малые частоты) Н' = Щ т.е. наличие цилиндрической оболочки не сказывается на величине поля. При \kh\ 3> 1 (большиечастоты), имеем:sh kh и ch kh и -те^;380Глава VIIтак как а » S, то±Я 0 »|Я'|.Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи, возникающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного направления.396j'shk(h-x)chkh -, где х отсчитывается от поверхности2~с капо радиусу в глубь проводника;R=sh2h/S-sin2h/S2тга6о- 2(sh 2 h/S + cos 2 h/S)'Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при 5<<^h.У1а//IhJ\s/л"\Л ~х>Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
