1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 51
Текст из файла (страница 51)
j = o-E + ( E x a ) ,гдеМагнитное поле приводит к возникновению тока, перпендикулярного электрическому полю (ток Холла).§ 2. Поляризация вещества в переменном поле343Обратная зависимость в том же приближении имеет видгде R = -\= — постоянная Холла.ceNТензор электропроводности:321. Обозначим массу, скорость и заряд электрона через т, г, —еа те же величины, относящиеся к иону, через М, R, +е. Тогда получимследующую систему уравнений движения:тг = - e E o e - i w t - % (г х Н о ) - m 7 ( r - R ) , ]\(1)MR = eEoe-iu>t + | ( R х Н о ) - m-r(R - г). JЗдесь Но — постоянное и однородное магнитное поле, ту — коэффициент«трения»; сила трения пропорциональна относительной скорости электронов и ионов, т. е.
разностям (г — R ) и (R — г) для электронов и ионовсоответственно. Электрическое поле Е = Еое~ г ы * зависит от времени погармоническому закону.Ищем решение системы (1) в видег = гое-*ш\R = Roe-'"".(2)Выберем направление Но за ось z и введем циклические компонентывекторов го и Ro по формуламro±i = Т-т=(гох ± ггОу),Ro±i = T"^(-Rox ± Iroy).Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения:-ш(тг0+ MRo) = f [(Ro - г 0 ) х Н о ] .Левую часть последнего равенства можно записать в виде-ш[(М+ m)Ro + m ( r 0 - Ro)].Пренебрегая т по сравнению с М, получим)b(3)344Глава VIгдееН0пЗатем поделим первое из уравнений (1) на т, второе на М и вычтем их другиз друга.
Пренебрегая членами ^по сравнению с ^ , v ? 7 sп осравнениюс 7S> д § ~ ( ^ х Но) по сравнению с ^ ( г х Н о ) , обозначив изн = - ^ ги используя (2), получим:— iuj + 7 Т ^ я ) ^ ± 1 Т ^ я - й о ± 1 = JIT(4)Из уравнений (3) и (4) находим s.Вектор поляризации Р вычисляется по формуле Р =Nese~wt,где N — число ионов (равное числу электронов) в единице объема.Компоненты тензора диэлектрической проницаемости запишутся в видеиз1из1±е = 1—Компонента е^ имеет такой же вид, как скалярная диэлектрическаяпроницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче 312; онанеограниченно возрастает при ш —>0.
Компоненты е * при учете движенияионов содержат в знаменателе лишний член UJH^IH', ИМ МОЖНО пренебречьпри -jjj- <с 1, т. е. при больших частотах и>. Однако при малых частотах этотчлен становится существенным; при из —» 0 он приводит к тому, что компо2ненты е * остаются конечными: е± = 1-\^—. Благодаря этому в плазмешнПнмогут существовать волны весьма малой частоты (магнитогидродинамические волны). Распространение электромагнитных волн в плазме с учетомколебаний положительных ионов рассматривается ниже в задаче 445.322.
В системе координат, ось хз которой совпадает с выделеннымнаправлением, тензор Т ^ должен иметь вид/ ТTik=[-TaV ОТа0\Т 0 .О Ц)Это согласуется с результатами, полученными в задачах 318, 319 и др.§3. Ферромагнитный резонанс345324. Поскольку включение поля происходит в момент t = О, то изпринципа причинности следует, что Р(£) = 0 при t < 0. Обозначив диэлектрическую восприимчивость через а = а ' + га", получимоооош1P(t) I а(ш'Щш')е-* ' dJ = § : / а(ш')е-гш>* dw',—оо(1)—оогде Е(а>') — компонента Фурье поля E(f) = Ео<5(£).
Умножим (1) на егшЬи проинтегрируем по t от —оо до 0. В силу условия P(f) = 0 при t < 0будем иметьоо±0I dJa(u') f e-^'-^'dt = 0.—оо(2)—ооИспользуя (П 1.17) и отделяя вещественную и мнимую части, получим(3)откуда следуют соотношения Крамерса-Кронига.325. , ' И = 1 +Т^.327.divB = 0.§3. Ферромагнитный резонанс328. М х = Asin(wo* + о), Му = Acos(u>ot + a), Mz = С,где wo = 1Но, о. — начальная фаза, АиС — константы, связанные услови222ем М = MQ , т. е. Л + С = MQ , где М$ — намагниченность насыщения.Движение вектора намагниченности представляет собою обычную ларморову прецессию.346Глава VI329.
Ищем решение уравнения^=гв виде Мх = тхе-^ ,7М х Н о + о; г (хоН 0 - М )1Му = туе~^ , Mz = Мо + m 2 e~(1)ia;t, где и —неизвестная частота; ось z направлена вдоль Но.Проектируя (1) на оси координат и подставляя М , получим системуалгебраических уравнений, условие совместности которой имеет види% - (LJ + iuir)2= 0.Частотам оказывается комплексной: и = ио—шг; наличие потерь приводит,как обычно, к затухающему движению. Компоненты тх и ту сдвинуты пофазе на тг/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Но.330. Если выбрать ось о вдоль Н, то полное магнитное поле будетиметь составляющие /i x e~ 4 a ; t , /i y e~ 4 a ; t , Щ + hze'^1.
Ищем решение уравнения Ландау-Лифшица (VI.15) в видеМх = тхе-и*\Му = туе-™\Mz = Мо + тге~™\(1)где Мо — намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствуетпредположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие затухания и колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим)полем. Поэтому нужно считать величины тх, ту, mz малыми, порядка нениже h. Подставляя (1) в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая квадратичные п о / г и т члены, определим компоненты т :-ХоCL)Q— Ш-ХО—22(2)h2Vтг= 0.Как видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от и> при фиксированной LJQ = JHQ ИЛИ ОТ HQ при заданной и — резонансный: в точке LJ = LJQ компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступаетферромагнитный резонанс.Неограниченное возрастание амплитуды m связано с приближеннымметодом решения уравнения Ландау-Лифшица.
Точное решение (см. задачу 332) должно обеспечивать постоянство длины | М | , так как из уравнения2Ландау-Лифшица следует М = const. При решении задачи методом последовательных приближений с учетом потерь М также остается ограниченным.§3. Ферромагнитный резонанс331.[Х±Xik = [iXa-iXaX±3470\0 ,Vоo o /где0/i||гдеКак видно из приведенных формул, Хгк и Hik — эрмитовы тензоры (/^ == (1,^). Это означает, что среда является гиротропной, а потери отсутствуют.Графики зависимости компонент /х^ от частоты приведены нарис.
72.' Яорез « 3400 э.332. Мх = -^Ccosujt,L)lu)Му = -^Csinujt,Мг = С,где Aw = IJJQ—IJJ, ijJo = 7-Ho> ^i = lh. Постоянная С может быть определенаиз условия М 2 + My + М 2 = М$, которое следует из уравнения ЛандауЛифшица:где Q = у/Aw2 + ш2.В выражение С входит модуль |Ди>|, так как Мг > 0. Компоненты Мпримут вид:Мх = ±-^о>1Му = ±-=г-Мо sinwf = xhy,|Аа<|Mz = —=гЗдесь знак ± соответствует знаку 6ш. Как следует из этих равенств, связьмежду М и h нелинейна, коэффициент пропорциональности х зависит от h:'Рис. 72 и 73 взяты из книги А.Г.
Гуревича [48].348Глава VIУгол прецессии д (угол между М и (Но) определяется равенствомгде М± = JM2 + М2. При ферромагнитном резонансе Да; = 0, и из (1)получимМх = ±MQ cosutf,My = ±Мо sin art,Mz = 0.Вектор М в этом случае вращается с частотой ш в плоскости, перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.Орез ,оJ2\Я о • 103 э-2-4Рис. 72twt333. М = Mo + m e " , где Мо имеет направление Но, а компоненты m определяются формуламиhx - гхо О,2 - ш2 - 2гшш hy,г2ту=гх22•hx + Хоп - ш - 2гшш,U -ii— и)* — 2гшшг§3.
Ферромагнитный резонанс349Как видно из этих формул, наличие потерь (шг / 0) приводит к тому,что при резонансе амплитуда m остается конечной.334.,,LOtoJSl2 + СО2)Ц± = 47ГХ0—2242, л 2(S2 — to ) + 4а; <На = 4 7 Г Х о т 7 ^5ТГ Г~2(Si — и> ) + 4а; 'L02i0Qi0r2 2)гдеП = у ^о + w r '/Х|| = 1 + 47ТХ0^ .И) = 7-^0,,Яорез И 3400 Э.Графики зависимости ц', и /х" от постоянного поля Яо приведены нарис. 73. Зависимость /х„ и /х„ от Яо имеет аналогичный вид.Мнимые части ц", и /х„ имеют максимумы при Яо = Яорез ~ %,а вещественные части ц'±, ц'а принимают экстремальные значения при Яо ~^ ш ± шг7 'Кривые, изображенные на рис. 73, имеют такой же характер, как дисперсионные кривые для е(и>) (см. рис.
16).Мнимые части компонент тензора /х" и /х„, /л',! определяют диссипациюэлектромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при и>г = 0.335.350Глава VI4Я 0 -10 3 эРис. 73336. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида, ось zнаправим вдоль поля Но. В этих осях тензор N^ имеет диагональныйвид. Поэтому уравнение Ландау -Лифшица в проекциях на оси координатзапишется так:Мх = - 7 [ Я 0Му = 7 [ Я 0 +(1)Mz = Таким образом, уравнения становятся нелинейными.
Предполагая, что отклонения вектора М от равновесного положения (направление оси z) малы,ищем решение в видеМ = М о + me"*1",(2)где вектор Мо направлен вдоль оси z. Если пренебречь членами с т2,которые войдут в систему (1) после подстановки (2), то система (1) линеаризуется. Приравнивая определитель системы нулю, находими2 = ш1 = 7 2 [Но + 4тг(ЛГ(*) -гшг \1Значение u)k приведено в ответе к предыдущей задаче.§3. Ферромагнитный резонанс351/XI -»Ха338. Xifc = ИХа Х2\ О0(ось 2 направлена вдоль Но),Х2 = ^ { 7 2 М 0 [ Я 0гдеД = (и% - и2) ~ ujwr [2Поскольку в вьфажения компонент тензора Xik входят размагничивающиефакторы, положение резонанса и ширина резонансной линии будут зависетьот формы тела.339.
Система уравнений движения для векторов намагниченности M iи М2 имеет вид(1)Ищем решение в виде M i = М ю + m i e ~ t w t , M2 = М20 +(Мю, М20 — равновесные значения M i , M2).При решении системы (1) удобно перейти к циклическим компонентамnij± = nijx ± inijy(j = 1,2).Частоты собственной прецессии:u>oi = 7Я0,^02 = 7А|Мю - М 2 о|.(2)Формулы (2) справедливы при условии А|Мю — Мго| 3> HQ. Частота UJQIимеет такую же величину, как и в случае ферромагнетика без подрешеток.Частота и>02 зависит от молекулярного поля и обычно сильно превышает U>01.352Глава VI§4. Сверхпроводимость340.
j H = 0, div j c = О,( Е = 0,rotAj c = - ± H ,(1)d i v H = 0.Исключая из этих уравнений j c или Н, получим(2)±Н,где 6 = \l^f-характеризует глубину проникновения магнитного поляв сверхпроводник (или толщину слоя, в котором сосредоточен сверхпроводящий ток).341. HX = HZ= 0, Ну = Я о е х р [ - | ] , j x = j y = 0, j z = f- дН,vдх-ЭЧ-fl342._?F,—IСила Fx стремится вытолкнуть сверхпроводник из поля.
В этом проявляетсядиамагнетизм сверхпроводника.343. Hx = Hz=0,Hy= H0ch(a/<5)'§4. СверхпроводимостьMy имеет знак, противоположный полю (диамагнетизм). При { < а353маг-нитный момент Му ~ - j ^ - Это отвечает средней магнитной восприимчивости к = —J- и проницаемости /х = 1 + 4тгх = 0.•хлл ifif344. Hz = НоIo r S(/ ). .-.,/o(a/<5)огде /о, /i — модифицированные функции Бесселя.345. Вне шараНг = ( Я о + 22») cosi?,Я„ = ( - Я о + j g ) sini?,где m — постоянная, имеющая смысл магнитного момента.Внутри шараЗа = f(r) sin i?, j r = j# = 0.Функция ja(r, fl) удовлетворяет уравнению(см. ответ задачи 47), откудаЗдесь Л — постоянная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
