1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Легко проверить с помощью (П2.4), что шаровые гармоникиявляются частными решениями уравнения Лапласа во всех точках, кроме г = 0:Г[ ^а )]=0,lA[r Ylm(#,a)} = 0.Решением уравнения Лапласа является также суперпозиция шаровыхгармоник с произвольными коэффициентамиооIV = Е Е («Ы"'" 1 + blmrl)Ylm(d, а).(П 2.12)J=0 m=-lЕсли г(г, i9, a) и г'(г', i9', a') — радиусы-векторы двух точек пространства, причем г > г' (см.
рис. 7), тоЦ т=Б =Т Цk-r'|RРХ==УУ -ТГГТГГ /(г^ - 2 1 ^ 0 0 8 7 + ^»^СО87)-(П2.13)Функция 1/Д называется производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место следующая теорема сложения для сферических функций:5Z Yi{Vcc)Yf{d'cc')(П2.14)m=—lУглы i9, a и д', а! входят в (П2.14) вполне симметричным образом.Подстановка (П2.14) в (П2.13) приводит к разложению:1Е,0,/^t + 1^m(^a)^(^,a0.(П2.15)3. Цилиндрические функции629Из формулы (П2.13) следует (если положить у = е~^) разложение:1^ i ^(П2.16)3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИселяЦилиндрические функции Zp(kx) являются решениями уравнения Бес-xr dxРешение, которое при p ^ 0 ограничено в точке г = 0, называетсяцилиндрической функцией первого рода (или функцией Бесселя):< п з-2)Так как в уравнение (П3.1) входит р2, то J _ p также является решениемэтого уравнения.
То же относится к любой линейной комбинации Jp и J _ p .Цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана)1 определяетсяследующим образом:Sinp7T.(113.3)VЧасто употребляются также цилиндрические функции третьего рода(функции Ханкеля):(П3.4)В качестве общего решения уравнения Бесселя может быть взята линейная комбинация с произвольными коэффициентами любых двух линейно независимых цилиндрических функций. Такими функциями являются,в частности, Jp(x) и J_ p (x), если р не равно целому числу. При р = п,'Эту функцию называют иногда функцией Вебера и обозначаютYp(x).630Приложениягде п — целое, функции Jn(x) и J-n{x) = (—l) n J n (x) линейно зависимы, и тогда в качестве общего решения можно взять, например, линейнуюкомбинацию Jn и Nn.Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называютсямодифицированными функциями Бесселя.
При целом п они определяютсяравенствами:nKn(x) = | Г "In(x) = r Jn(ix),(П 3.5)Функция Кп(х) называется функцией Макдональда.В физических задачах часто требуется знать приближенный видцилиндрических функций при малых и больших значениях аргумента.При |х| <?С 1 имеем:Jp(x)2nnVIn{x)2nnV(П3.6)2"(n - 1 ) !Kn{x) и7ГХ"гдеп ^ 1, In 7 = 0,5772.Выражения для функций Ханкеля при |х|из (П3.6) с помощью (П3.4). В частности,1 могут быть получены(П3.7)Асимптотические выражения для цилиндрических функций (|х| » 1):(П3.8)7ГХх6313. Цилиндрические функции(1 2^г(1,2Между функциями Jp, Npn Нр ' ' (общий символ Z p ), а также / „ , Кпсуществуют следующие соотношения:(П3.9)Zp_1(x)-Zp+1(x)= 2Z'p(x),Z'0{x) = -l= 2I'p(x),(П3.10)Кр-1(х)+ Кр+1(х)= -2К'р(х).Функции Бесселя могут быть представлены в виде интеграловa+2irJ'/-Л1Гi.Ia+2ir(—i)n„i(2sin<р—nip) dm''ГJ27Г J27Г Jaai{xcoBip—тир\0-j,-^TT о 11 \где a — любое вещественное число.Интегралы с функциями Бесселя могут быть вычислены с помощьюформул (П3.9), (П 3.10).
В частности,гJгpp -> J= — —J xJp(ax)Jp(0x)dxp+ip2•2_^2/3-Qi•(П3.13)В настоящем сборнике задач используются также следующие интегральные формулы (Re А; > 0):k2 = / e- Wj0oo(П3.14)Кcospxdx(П3.15)/0oo/Jo(xr)xdxX2 + k2= K0(kr).(П3.16)632ПриложенияСферические функции Бесселя первого рода и сферические функцииХанкеля первого и второго рода (общий символ zi(x)) определяются равенствами::).(П3.17)При малых х:ji(x) = / 2 ; + П ! ! 'h h2) xl ()Расходится как ж " ' " 1 .(П 3.18)При больших х:ji(x) = ± cos [ж12—^j,XЕсли R = |г — r'l (см.
рис. 7), то имеет место разложение:^=4nikJ2ji(br')h\1)(kr)Ylm(#,a)Yl*m(d',a')(г > г').(П3.20)Функции z/(fcr)Y/m(i9,a) являются частными решениями волновогоуравнения для монохроматических волн А<р + к^ср = 0. Последнему уравнению удовлетворяют также суперпозиции функций указанного вида.ЛИТЕРАТУРАИваненко Д. Д., Соколов А. А. [57], Гельфанд И. М , Минлос Р. А.,Шапиро 3.
Я. [31], Лебедев Н. Н. [68], Гобсон Е. В. [39], Грей Э., Мэтьюз Г. Б. [44], Розет Т. А. [89], Стрэттон Дж. А. [100], Рыжик И. М.,Градштейн И. С. [90], Двайт Г. Б. [50], Янке Е., Эмде Ф. [119].ЛИТЕРАТУРА[1] А б р а г а м-Б е к к е р, Теория электричества, ГОНТИ, 1939.[2] А л ь в е н Г., Ф е л ь т х а м м а р К.
Г., Космическая электродинамика, «Мир», 1967.[3] А л ь п е р т Я. Л., Г и н з б у р г В. Л., Ф е й н б е р г Е. Л., Распространение радиоволн, Гостехиздат, 1953.[4] А р ц и м о в и ч Л. А., Управляемые термоядерные реакции, Физматгиз, 1961.[5] А х и е з е р А. И., Б а р ь я х т а р В. Г., К а г а н о в М. И., Спиновыеволны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках, УФН 71, в. 4, 533(1960).[6] А х и е з е р А. И., Б е р е с т е ц к и й В.
Б., Квантовая электродинамика, Физматгиз, 1959, изд. 2-е; «Наука», 1969, изд. 3-е.[7] А х и е з е р А. И., Ф а й н б е р г Я. Б., Медленные электромагнитные волны, УФН 44, в. 3, 321 (1951).[8] Б а л д и н А. М., Г о л ь д а н с к и й В. И., Р о з е н т а л ь И. Л.,Кинематика ядерных реакций, Физматгиз, 1959.[9] Б а с о в Н. Г., К р о х и н О. Н., П о п о в Ю. М., Генерация, усилениеи индикация инфракрасного и оптического излучения с помощьюквантовых систем, УФН 72, в. 2, 161 (1960).[10] Б е й т м е н Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, Физматгиз, 1958.[ 1 1 ] ( Б е й т м е н Г., Э р д е л и А., М а г н у с В., О б е р х е т т и н герФ., Т р и к о м и Ф.) Bateman H., Erdelyi A., Magnus W.,Oberhettingen R, Tricomi R, Higher Transcendental Functions, v.
I, II,McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953.[12] Б е к к е р Р., Электронная теория, ГОНТИ, 1936.[13] Б е р г м а н П. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.634Литература[14] Б о л о т о в с к и й Б . М., Теория эффекта Вавилова-Черенкова, УФН62, в. 3, 201 (1957); 75, в. 2, 295 (1961).[15] Б о л о т о в с к и й Б. М., В о с к р е с е н с к и й Г.
В., Дифракционное излучение, УФН 88, в. 2, 209 (1966).[16] Б о р н М., Оптика, ГОНТИ, 1937.[17] Б о р н М., Космические путешествия и парадокс часов, УФН 69, в. 1,105 (1959).[18] (Борн М., В о л ь ф ) Э. Born M., Wolf E., Principles of optics,Pergamon Press, London, 1959.[19] Б р и л л ю э н Л., П а р о д и М., Распространение волн в периодических структурах, ИЛ, 1959.[20] Б у д а к Б. М., С а м а р с к и й А. А., Т и х о н о в А. Н., Сборникзадач по математической физике, Гостехиздат, 1956.[21] В а й н ш т е й н Л . А., Открытые резонаторы и открытые волноводы,«Сов.
радио», 1966.[22] В а й н ш т е й н Л. А., Теория дифракции и метод факторизации,«Сов. радио», 1966.[23] В а й н ш т е й н Л. А., Электромагнитные волны, Советское радио,1957.[24] В а й с к о п ф В., Видимая форма быстродвижущихся тел, УФН 84,в. 1, 183 (1964).[25] В л а с о в А. А., Макроскопическая электродинамика, Гостехиздат,1955.[26] В о л ь к е н ш т е й н М. В., Молекулярная оптика, Гостехиздат, 1951.[27] В о л ь ф Э., М а н д е л ь Л., Когерентные свойства оптических полей, УФН 87, в.
3, 491 (1965); 88, в. 4, 619 (1966).[28] Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича, Атомиздат, в. 1,2, 3, 1963; в. 4, 1965; в. 5, 1967.[29] Г а й т л е р В., Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.[30] Г е л ь ф а н д И. М., Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат, 1951.[31] Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р.
А., Ш а п и р о 3. Я., Представления группы вращении и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.Литература635[32] Г и н з б у р г В. Л., Некоторые вопросы теории излучения при сверхсветовом движении в среде, УФН 69, в. 4, 537, 1959.[33] Г и н з б у р г В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме «Наука», 1967.[34] Г и н з б у р г В. Л., М о т у л е в и чталлов, УФН 44, в. 3, 321 (1951).Г. П., Оптические свойства ме-[35] Г и н з б у р г В. Л., С а з о н о в В. Н., С ы р о в а т с к и й С И .
,О магнитотормозном (синхротронном) излучении и его реабсорбции,УФН 94, в. 1, 63 (1968).[36] Г и н з б у р г В. Л., С ы р о в а т с к и й С И . , происхождение космических лучей, Изд. АН СССР, 1963.[37] Г и н з б у р г В. Л., Ф р а н к И. М., Об эффекте Доплера при сверхсветовой скорости, ДАН СССР 56, в. 6 (1947).[38] Г и н з б у р г В. Л., Ф р а н к И. М., Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной средыв другую, ЖЭТФ 16, в.
1 (1946).[39] Г о б с о н Е. В., Теория сферических н эллипсоидальных функций,ИЛ, 1952.[40] Г о в о р к о в В. А., К у п а л я н С. Д., Теория электромагнитногополя в упражнениях и задачах, «Сов. радио», 1957.[41] Го л д с т е й н Г., Классическая механика, Гостехиздат, 1957.[42] Г о л ь д ш т е й н Л. Д., 3 е р н о в Н. В., Электромагнитные поляи волны, «Сов.
радио», 1956.[43] Г о р е л и к Г. С , Колебания и волны, Физматгиз, 1959.[44] Г р е й Э., М э т ь ю з Г. Б., Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, ИЛ, 1953.[45] Г р и н б е р г А. П., Методы ускорения заряженных частиц, Гостехиздат, 1950.[46] Г р и н б е р г Г. А., Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, Изд. АН СССР, 1948.[47] Г у р е в и ч А. Г., Полые резонаторы и волноводы, «Сов. радио»,1952.[48] Г у р е в и ч А.
Г., Ферриты на сверхвысоких частотах, Физматгиз,1960.636Литература[49] Г у р е в и ч Л. Э., Электродинамика, Изд. ЛГУ, 1940.[50] Д в а й т Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, ИЛ, 1948.[51] Д е - Б р о й л ь Л., Электромагнитные волны в волноводах и полыхрезонаторах, ИЛ, 1948.[52] Д ж е к с о н Дж., Классическая электродинамика, «Мир», 1965.[53] Д ж е л л и Дж., Черенковское излучение и его применения, ИЛ, 1960.[54] З о м м е р ф е л ь д А., Электродинамика, ИЛ, 1958.[55] З о м м е р ф е л ь д А., Оптика, ИЛ, 1953.[56] З о м м е р ф е л ь д А., Строение атома и спектры, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
