1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Считать при этом,что при создании голограммы интенсивность опорной волны была великапо сравнению с интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие. Проследить за процессом восстановления первоначальных волновых фронтовпри пропускании через эту голограмму нормально падающей плоской монохроматической волны uo = А'о exp[i(kz — u>t)} (длина волны та же, чтои у первичной волны). В частности, проследить за возникновением точечного изображения первоначального отверстия.УКАЗАНИЕ. Волновое поле за голограммой можно получить простым умножением падающей на голограмму волны ио(х) на пропускание Т(х). Дня интерпретации получившегося выражения следует обратиться к решениям задач 493, 494.§5. Дифракция рентгеновых лучей141498.
На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, получается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от другав плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображениедвух отверстий. Найти это изображение и выяснить, в каком случае онобудет увеличенным.УКАЗАНИЕ. Голограмму можно освещать при восстановлении изображениясветом с длиной волны Л', не совпадающей с той Л, которая применялась приполучении голограммы.499. Определить разрешающую способность голограммы, которая получена на установке типа, рассмотренного в задаче 496.
Голограмма выполнена на фотопластинке с размером зерен эмульсии d§ 5. Дифракция рентгеновых лучейПри рассмотрении рассеяния рентгеновых лучей на макроскопическихтелах существенным является то обстоятельство, что длина волны А сравнима с размерами о атомов.
В конденсированных средах тот же порядоквеличины имеют межатомные расстояния, в газах эти расстояния многобольше а. Вследствие этого становится невозможным усреднение по физически малым элементам объема, содержащим много атомов. Однако в томслучае, когда частота рентгеновых лучей велика по сравнению с характерными атомными частотами шет ~ vm/c, электроны среды можно рассматривать как свободные. Так как для свободных (к тому же нерелятивистских)электронов уравнения движения во внешнем электромагнитном поле легкоинтегрируются, то может быть вычислен наведенный полем ток и определена диэлектрическая проницаемость, зависящая от координат г:=1_ *!*£).ти>2Здесь п(г) — концентрация электронов в теле, определяемая законами квантовой механики, усредненная по равновесному статистическому распределению состояний теплового движения атомов.Уравнения Максвелла имеют свой обычный вид (VIII.1)-(VIII.4) с диэлектрической проницаемостью (VIII.42) и магнитной проницаемостью ц =1= 1, если Аже^п/тпш <£ 1.Пусть на некоторое тело конечной протяженности падает плоская волна Ео ехр[г(ког — u>t)} рентгеновой частоты и> > ш ет .
Для того чтобы падающее излучение можно было рассматривать как плоскую поляризованнуюволну, необходимо, чтобы размеры тела были малы по сравнению с длиной142Глава VIIIкогерентности1. При этом дифференциальное сечение рассеяния линейнополяризованной волны (определение понятия сечения дано в § 3 этой главы) имеет видda = г2, sin 2 в\ / п(г) exp[zq • г] dV dfi,(VIII.43)где го = е2/тс2 — классический радиус электрона, к — волновой векторрассеянной волны, к = ко = ш/с, в — угол между Ео и k, du — элементтелесного угла направлений к, q = ко — к — переданный волновый вектор.
Величина q связана с углом -д рассеяния волны (угол между ко и к)формулойСечение рассеяния неполяризованной рентгеновой волныda = \rl{\2+ cos2 tf) I I n(r) exp[zq • r] dV du.(VIII.45)Условием применимости формул (VIII.43), (VIII.45) является требование,чтобы полное сечение а = J da было мало по сравнению с площадью(4т)поперечного сечения образца в целом.В случае дифракции рентгеновых лучей на идеальном монокристалле сечения (VIII.43) или (VIII.45) обнаруживают ряд резких максимумов,положение которых определяется уравнением Лауэко - к = 27rg,(VIII.46)где g — векторы обратной решетки. Если элементарная кристаллическаяячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами а ь О2, аз,где rii,ii, яг,яг, пзпз —— произвольныепроизвольные целыецелые числа.числа.ЕЕсли интеграл того вида, которыйй входит в (VIII.43) или (VIII.45), берется по объему Va одного атома, то он называется атомным формфактором:К(ч)= I па(т) exp[zq • г] dV.'Определение длины когерентности см.
в §4 этой главы(VIII.47)§5. Дифракция рентгеновых лучей143Атомный формфактор представляет собой просто компоненту Фурье от распределения па(т) электронов в атоме и через него можно с помощью обратного преобразования Фурье выразить п а (г).Подробнее вопрос о дифракции рентгеновых лучей рассмотрен, например, в [63], [66].500. Выяснить, при каких условиях сеченне рассеяния рентгеновыхлучей на телах конечной протяженности принимает вид сечения рассеянияна свободных зарядах (формула Томсона).
Написать соответствующие выражения для сеченнй. Число атомов в теле N, число электронов в каждоматоме Z.501. Распределение электронной концентрации в Z-электронном атоме аппроксимируется выражением па(г) = поа ехр — £ , где поа = Z/жа3,а = UQ/Z1/3, ао = 0,529 • 10~ 8 см — боровский радиус. Найти дифференциальное сечение рассеяния волны рентгенового диапазона на одноатомномгазе, содержащем N атомов, считая распределение атомов совершенно хаотическим.502. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа,содержащем N двухатомных молекул.
Атомы в молекуле одинаковы и находятся на фиксированном расстоянии R друг от друга. Принять, что формфактор Fa(q) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у изолированного атома.503. Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на объемегаза из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче, еслиучесть тепловые колебания атомов в молекуле.УКАЗАНИЕ.
Считать, что расстояния R между атомами распределены околосреднего значения До » 6 по закону dWx = —— ехр — ^dx, где х = R — До,b = 4 /-^-5-, Т — температура, fj, — приведенная масса, ш — частота собственныхV №колебаний атомов в молекуле.504.Вывести уравнение Лауэ (VIII.46) и условие Брэгга-Вуль-фа fcsin($/2) = 7r|g|, где |g| — длина вектора обратной решетки, рассматривая интерференцию волн, рассеянных на отдельных центрах идеальнойкристаллической решетки.505.
Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфакторами Fa(q)(считать, что эти формфакторы те же, что и в случае изолированных атомов).144Глава VIIIЭлементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L\, L2, L3, параллельнымиребрам элементарной ячейки.
Определить положение главных максимумов,убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII.46). Найти величину сеченияв этих максимумах.506. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром аи имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания L\ = L2, боковое ребро Lz). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этихмаксимумах.507. Найти распределение интенсивности в дифракционном пятневблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей намонокристалле, рассмотренном в задаче 505.
Волновой вектор падающихрентгеновых лучей параллелен ребру Ьз, а к ~> 1/а. Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеяниюв пределах одного дифракционного пятна.508. Вычислить распределение интенсивности в дифракционномпятне вокруг главного максимума при произвольном направлении паденияи произвольном соотношении между к и 1/а.
Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипедас ребрами L\, L2, L3 (см. задачу 505).509. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус К).ЛИТЕРАТУРАЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Борн М.
[16], Бейтмен Г. [10],Тамм И. Е. [101], Зоммерфельд А. [55], Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л. [3], Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Каганов М. И. [5], Власов А. А. [25], Пановский В., Филипс М. [86], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г. [48], Шифрин К.
С. [116], Силин В. П.,Рухадзе А. А. [91], Борн М., Вольф Э. [18], Микаэлян А. Л. [78], Горелик Г. С. [43], Эйхенвальд А. А. [ 118], Альвен X., Фельтхаммар К. Г. [2], Компанеец А. С. [60], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П. [34], Гольдштейн Л. Д.,Зернов Н. В. [42], Строук Дж. [99], О'Нейл Э. [84], Вольф Э., Мандель Л. [27], Кривоглаз М. А. [63], Франсон М., Сланский С. [120].ГЛАВА IXЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯВ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХЧасть пространства, ограниченная со всех сторон металлическимистенками, называется полым резонатором.
В резонаторе может существовать система стоячих волн с определенными частотами и> (собственнымичастотами резонатора). Эта система волн определяется (в случае не заполненного диэлектриком резонатора с идеально проводящими стенками)путем решения уравненийД Е + ^ Е = 0,сгdivE = 0(IX.1)с граничным условиемЕ т = 0.(IX.2)Собственные функции резонатора Е„,' отвечающие различным собственным частотам и>„, взаимно ортогональны.
Собственные функции, соответствующие одной и той же частоте (их может быть несколько — см.задачи 529,531), также можно выбрать взаимно ортогональными. Условимся нормировать их на 4тг:где интеграл берется по объему резонатора. Этому же условию удовлетворяют собственные функции Н„, которые выражаются через Е„ с помощьюуравнений Максвелла.Вследствие потерь энергии в стенках или в веществе, заполняющемрезонатор, а также излучения энергии во внешнее пространство, свободныеколебания реальных резонаторов являются затухающими. Потери энергии'Значком v обозначена совокупность четырех величин, однозначно определяющих собственный тип колебаний («моду») резонатора.146Глава IXданного типа колебаний характеризуются добротностью Qv, которая определяется отношениемилиЗдесь Wv — энергия, запасенная в резонаторе, Р„ — средняя (по времени)мощность потерь; и>„ — резонансная частота, которая может отличаться отрезонансной частоты идеального резонатора; 1„ — декремент затухания.В отличие от резонатора, волновод представляет собою полость (трубу)неограниченной длины.
Вдоль оси волновода (ось z) возможно распространение бегущих волн, в поперечном направлении волна является стоячей.В общем случае волны в волноводе не являются поперечными. Волны,у которых Ez ф О, Hz = 0 называются волнами электрического типа, волны с Hz Ф О, EZ = 0 — волнами магнитного типа. Только в волноводахс неодносвязной формой поперечного сечения возможны чисто поперечныеэлектромагнитные волны.Типы волн, которые могут распространяться в данном волноводе, определяются путем решения уравнений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси волновода, описывается функциямиE(r, t) = t(x, у)е«к*-и»,H(r, t) = Щх,у)е*кг-ш*.Здесь и> — частота волны, к — составляющая волнового вектора в направлении оси волновода. Величину к называют также постоянной распространения.В случае волн электрического типа (.Е-волн) #€z = 0, a 8Z удовлетворяет уравнениюАвг + >?8Z = О,(IX.5)где х 2 = —^- — fc2, и — поперечная составляющая волнового вектора,сеиц — проницаемости диэлектрика, заполняющего волновод, и граничномуусловиюв, = О(IX.6)на стенке волновода.В случае волн магнитного типа (Д-волн) 8Z = 0, а Жг является решением уравнения„АЖг + ^Жг = О,(IX.7)удовлетворяющим граничному условию=0на стенке волновода.или ^ р £ = оonЭлектромагнитные колебания в ограниченных телахВ уравнениях (IX.5) и (IX.7) Д — двумерный оператор Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
