1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Какой промежуток времени At занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояниедо нее 4 световых года1), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью v = ^0,9999 с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием и другим снаряжением? Каков запаскинетической энергии в такой ракете, если ее масса 10 от?551. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя /о, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х.
Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левыхи правых концов масштабов прошло время At. Какова относительная скорость v масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей,связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительнокоторого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?552. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы S' к системе 5 для радиуса-вектора г и времени t, не предполагая, что скорость Vсистемы 5 ' относительно S параллельна оси х.
Результат представить в векторной форме.УКАЗАНИЕ. Разложить г на продольную и поперечную относительно V компоненты и воспользоваться преобразованиями Лоренца (Х.1).553. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного4-вектора At = (A, А*), не предполагая, что скорость V системы 5 ' относительно 5 параллельна оси х.554. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V системы 5 ' относительно 5 имеет произвольное направление. Формулы представить в векторном виде.555.
Даны три системы отсчета: 5, 5', 5 " . 5 " движется относительно 5 ' со скоростью V, параллельной оси х', S' — относительно 5 со скоростью V, параллельной оси х. Соответствующие оси всех трех системпараллельны. Записать преобразования Лоренца от 5 " к 5 и получить изних формулу сложения параллельных скоростей.556. Доказать формулуу/1 - v12 /с 2 • у/1 - V2/c2l + v'-V/c2''Световым годом называется расстояние, проходимое светом в пустоте за год (см.
введениек §4 га. VIII).§ 1. Преобразования Лоренца161где v и v' — скорости частицы в системах 5 и 5', V — скорость 5 ' относительно 5.557. Доказать соотношение_ y/{v> + V) 2 - (v' х V) 2 /c 2V~1 + v' • V/c 2'где v и v' — скорости частицы в системах 5 и 5', V — скорость 5 ' относительно 5.558. Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы 5 к системе 5', двигающейся относительно 5со скоростью V, параллельной оси х; 2) переход от системы 5 ' к системе 5", двигающейся относительно 5 ' со скоростью v, параллельной оси у';3) переход от системы 5 " к системе 5'", двигающейся относительно 5 " соскоростью, равной релятивистской сумме скоростей —v и —V.1 Доказать,что система 5'", как и следует ожидать, неподвижна относительно 5 и t'" == t, однако 5 ' " повернута относительно 5 на некоторый угол в плоскости ху(томасовская прецессия).
Вычислить угол ip томасовской прецессии.УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулами общего вида для преобразования Лоренца (см. задачу 552) и сложения скоростей (см. задачу SS4), записав эти формулыв проекциях на декартовы оси.559. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоядлину 1о, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова длина I каждого из масштабов,измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом?560. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростями v = 0,9 с относительно лабораторной системы координат.
Какова относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним изпучков электронов?561. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарныхчастиц, не зависят от равномерного движения этих частиц, как целого; этиэффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумяспособами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой т): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии 8, затем1Обратим внимание на то, что результирующая скорость зависит от того порядка, в которомпроизводится сложение скоростей162Главахбыстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц;б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые имипучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии <§Ь < 8.Сравнить между собой значения 8 и So- Рассмотреть, в частности,ультрарелятивистский случай.562.
Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когдасистема S' движется относительно системы S с произвольно направленнойскоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.563. Выразить компоненты четырехмерного ускорения и>г через обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти u>f. Пространственноподобноили времениподобно четырехмерное ускорение?564. Выразить ускорение v' частицы в мгновенно сопутствующейей инерциальной системе через ее ускорение v в лабораторной системе.Рассмотреть случаи, когда скорость v частицы меняется только по величинеили только по направлению.565. Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное движение (ускорение v = и> постоянно в собственной системе отсчета).Найти зависимость скорости v(t) и координаты x(t) частицы от времени tв лабораторной системе отсчета, если начальная скорость VQ, а начальнаякоордината х$.
Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.УКАЗАНИЕ. Использовать результат предыдущей задачи.566. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется от состоянияпокоя до скорости v = v^0i9999 с. Ускорение ракеты составляет |v| =2= 20 м/сек в системе, мгновенно сопутствующей ракете. Сколько временипродлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета и почасам в ракете?УКАЗАНИЕ. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не учитывать1.567. Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что замалый промежуток времени St ее скорость в лабораторной системе S меняется на величину 5v = ir5t.
Пусть 5 ' — инерциальная система, мгновенносопутствующая частице в момент t, а 5 " — такая же система для момента/'Это означает, что предлагается вычислить сумму собственных времен dr = dt* /12j-в последовательности мгновенно сопутствующих ракете инерциальных систем отсчета, выражаемую интегралом f dr. Подробнее по этому поводу см. [107], §62, а также [17], [72].§ 1. Преобразования Лоренца163времени t + St. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до членов, линейных по Sv, что координаты и время в этих системахсвязаны формулами:г" = г' + Aip х г' -t'Av,м _ +1 r ' - A v(!)гдеКакой геометрический смысл имеют преобразования (1)? Какой видприобретают формулы (2) при V < C B первом неисчезающем приближении?УКАЗАНИЕ.
Удобно рассмотреть цепочку преобразований S" —» S —» S' с помощью формул, приведенных в ответе к задаче 552.568. Относительно системы 5 движутся система 5 ' со скоростью Vи два тела со скоростями vi и V2. Каков угол а между скоростями этих телпри наблюдении в системе 5 и в системе 5'?УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами задач 554 и 556.569. Что происходит с углом между скоростями двух тел предыдущейзадачи, когда скорость системы 5 ' относительно 5 стремится к с?570. В некоторый момент времени направление луча света от звездысоставляет угол д с орбитальной скоростью v Земли (в системе, связаннойс Солнцем).
Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода(аберрация света), не делая приближений, связанных с малостью | .571. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на небосводе вследствие годичной аберрации. Полярные координаты звезды в системе,связанной с Солнцем, #, а (полярная ось проведена перпендикулярно плоскости земной орбиты). Орбитальная скорость Земли « < с .572. Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесныйугол du. Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальнойсистеме отсчета?573.
Если считать, что звезды в ближайшей к нам части Галактикираспределены равномерно, то каково будет их распределение dN/dSl' длянаблюдателя в ракете, летящей со скоростью, близкой к скорости света?164ГлаваХ574. Найти формулы преобразования частоты ш (эффект Допплера)и волнового вектора к плоской монохроматической световой волны припереходе от одной инерциальной системы к другой. Направление относительной скорости V произвольно.575. Найти частоту и) световой волны, наблюдаемую при поперечномэффекте Допплера (направление распространения света перпендикулярнок направлению движения источника в системе, связанной с приемникомсвета).
Каково направление распространения рассматриваемой волныв системе, связанной с источником?576. Длина волны света, излучаемого некоторым источником,в той системе, в которой источникпокоится, равна Ло. Какую длинуволны А зарегистрируют: а) наблюдатель, приближающийся со скоростью V к источнику и б) наблюдатель, удаляющийся с такой же скоростью от источника?577. Источник, испускающийсвет частоты шо изотропно во всестороны в своей системе отсчета,Рис. 40движется равномерно и прямолинейно относительно наблюдателя соскоростью V, проходя от него в момент наибольшего сближения на прицельном расстоянии d. Число фотонов,излучаемых в единицу времени в единицу телесного угла (интенсивностьпотока фотонов), равно Jo в системе покоя источника.
Найти зависимостьчастоты и и интенсивности J потока фотонов, регистрируемого наблюдателем, от угла между направлением луча и скорости V. При каких углах в == во регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов совпадутс wo и Jo? Какая доля фотонов регистрируется наблюдателем в интервалах 0 < в < во и во < в < 7г? Начертить графики зависимостей ш(в)и J(d) для V/c = 1/3 и V/c = 4/5. Какой характер имеют эти зависимостипри V/c -> 1?578. Найти угловое распределение силы света / (световая энергия,излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полныйсветовой поток от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.УКАЗАНИЕ, каждый фотон обладает энергией hw, где h — постоянная Планка.§ 1.
Преобразования Лоренца165579. Зеркало движется нормально к собственной плоскости со скоростью V. Найти закон отражения плоской монохроматической волны оттакого зеркала (заменяющий закон равенства углов падения и отраженияпри V = 0), а также закон преобразования частоты при отражении. Рассмотреть, в частности, случай V —ю.580. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало перемещается поступательно вдоль собственной плоскости.ВРис.
41581. Непрозрачный куб с ребром IQ В своей системе покоя движетсяотносительно наблюдателя со скоростью V (рис. 40). Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба,приходят в объектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата). Куб виден под малым телесным углом,вследствие чего лучи, приходящие от разных точек куба, можно считатьпараллельными.Какой вид будет иметь изображение на фотопластинке? Составить чертеж изображения, нанести на него те вершины и ребра куба, которые будутсфотографированы.
Вычислить их относительные длины. Изображению какого неподвижного предмета эквивалентна полученная фотография? Какойвид приняло бы изображение движущегося куба, если бы были справедливыпреобразования Галилея?166ГлаваХ582. Тонкий стержень M'N' неподвижен в системе 5', имеет в нейдлину IQ и ориентирован так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
