1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 27
Текст из файла (страница 27)
41. Система S' движется со скоростью V || Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейсяв системе 5. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая вспышка, при которой лучи света падают нормальнок плоскости ху фотопластинки.а) Какова длина I изображения на фотопластинке? Может ли она статьравной или превысить IQIб) При каком угле наклона а' сфотографируется только торец стержня?в) Каков угол наклона а стержня к оси 0x1583. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется неподвижным наблюдателем под малым телесным углом.
Лучи света от шара падаютпараллельным пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой уголс направлением скорости V. Какую форму будет иметь изображение нафотопластинке? Какая часть поверхности шара будет сфотографирована?УКАЗАНИЕ. Представить шар в виде совокупности тонких дисков, движущихсяпараллельно своим плоскостям, и построить изображение каждого диска.С"D'В1Рис.
42584. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется неподвижным наблюдателем в момент,когда лучи, приходящие от куба, составляют произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе наблюдателя). Телесный угол,под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопластинку нормально к ее поверхности(рис. 42). Показать, что фотография должна совпадать с фотографией неподвижного, но повернутогона некоторый угол куба. Найти уголповорота изображения при разныхзначениях V и фиксированном а.При каком значении V будет сфотографирована одна грань А'В'1 однагрань В'С'1585.
Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской монохроматической волны в движущейся со скоростью V в среде с показателем преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной сре-§2. Четырехмерные векторы и тензоры167де v' = ^ ) . Найти формулы преобразования частоты, угла распространенияи фазовой скорости.586.
Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью Vсреде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме Л. Найтискорость v волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель преломления п определяется в системе S", связанной со средой,и зависит от длины волны Л' в этой системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по V/c.§ 2. Четырехмерные векторы и тензорыПри переходе от одной инерциальной системы (S") к другой (S) компоненты 4-вектора преобразуются по формулам(X.16)Ai = aikA'k,где матрица преобразования а имеет вид17/9700-h-70000-10000-1(Х.17)Она соответствует преобразованию (Х.1), при котором одноименные координатные оси систем S и S" параллельны, относительная скорость направлена вдоль х и начала координат при t = t' = 0 совпадали.Матрица преобразования удовлетворяет соотношениям= 9ik,(Л. 18)(ХЦ(*1к = 9ik,где gik — метрический тензор, имеющий вид1 000 - 1 0(0 \0,„( Х 1 9 )О 0 -1 0•0 00 - 1 /Знаки на главной диагонали метрического тензора соответствуют знакамв формуле(X.S), определяющей скалярное произведение двух 4-векторов.1Не забывать правило знаков при суммировании, сформулированное после формулы (Х.5):при суммировании по дважды повторяющимся индексам слагаемое с индексом 0 берется сознаком «+», а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со знаком «—».168ГлавахПреобразование, обратное (Х.16), записывается так:(X.20)К = akiAk.Координаты мировой точки хо = et, х\ = х, Х2 = у, хз = z образуют4-вектор и преобразуются по формулам (Х.16), (Х.20).При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умноженияматриц (см.
гл. I, § 1).Четырехмерным тензором (4-тензором) N-то ранга называется совокупность 4 ^ величин Tik... i, которые при переходе к другой инерциальнойсистеме отсчета преобразуются как произведения соответствующих компонент 4-вектора Aiy Ак, ..., Af.Tik. ..i = cuipcukr • • • aisT'pr...(X.21).sОпределитель |<зд|, составленный из элементов матрицы 2 преобразования Лоренца, может быть равен —1 (собственное преобразование Лоренца, например, (Х.1)) или + 1 (несобственное преобразование).
Любое собственное преобразование Лоренца сводится к преобразованию вида (Х.1)и пространственному повороту; такие преобразования могут рассматриваться как повороты в четырехмерном пространстве. Несобственные преобразования Лоренца включают в себя отражение одной или трех координат.Псевдотензором iV-ro ранга называется совокупность 4 ^ величин Pik.. .i, которые при четырехмерных преобразованиях координат преобразуются по формуламP i k . .
. i = atipOtkr•••Oils \ am n(Х.22)\Ppr . . . в -Примером псевдотензора является совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592). Его компоненты е ш топределяются следующими условиями: a) e-ikim меняют знак при перестановке любой пары значков; б) е о т = 1- Отсюда следует, что компоненты eikim равны нулю, если среди значков есть совпадающие между собой,или равны ± 1 , если все значки различны.587. Доказать равенства:= 9u,9u = 4,где gik — метрический тензор (Х.19), Л ; и Bj - четырехмерные векторы.При суммировании по двум повторяющимся значкам используется правилознаков, приведенное после формулы (Х.5).§2. Четырехмерные векторы и тензоры169588.
Показать, что тензор од (Х.19) имеет одинаковый вид во всехинерциальных системах координат.589. Показать, что компоненты А\, A-i, Аз четырехмерного вектора Ai = (Ai, A?, A3, Ai) при пространственных поворотах преобразуютсякак компоненты трехмерного вектора А = (А\, Аз, A3), а компонента А\является трехмерным скаляром.590. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор IIранга при пространственных поворотах.591. Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора II ранга преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двухнезависимых трехмерных векторов.592.
Доказать, что величина eikim, определенная во введении к данному параграфу, действительно преобразуется как псевдотензор.593.Доказать равенства: a) e i W m e j m r s = 2(gisgkr - 9ir9ks);б) eikimekimn= -6gin, где величины еШт и gik определены во введениик этому параграфу.594. Доказать равенствоeikimeimrs = AiBkCrDa= 2(AiCi)(BkCk)-2{Aid){BkDk).595.Составить 4-вектор из частных производных dip/dxi (i == 0,1,2,3), где tp — скаляр.
Найти выражение для компонент Vj операторачетырехмерного градиента.596. Составить 4-вектор Tik из частных производных dAi/dxk (г, к == 0,1,2,3), где Ai — 4-вектор. Показать, что 4-дивиргенция VjAj являетсяинвариантом, где V» — оператор 4-градиента, введенный в предыдущейзадаче.597. Найти закон преобразования величин:а) А?; б) TikAk, если Л» — 4-вектор, Tik — 4-тензор.598.
Два 4-вектора Ai и Bi называются параллельными, еслиАо _ Ai _ Аг _ АзВоВ\В-2 ВзДоказать, что отношение одноименных компонент параллельных 4-векторовинвариантно относительно преобразования Лоренца.599. Сколько существенно различных компонент имеет 4-тензорIII ранга, антисимметричный по отношению к перестановке любой парызначков? Показать, что они преобразуются при поворотах как компонентычетырехмерного псевдовектора.170Главах600.
Даны три системы отсчета: 5, 5', 5 " . 5 " движется относительно 5 ' со скоростью V, параллельной оси х', S' — относительно 5 со скоростью V, параллельной оси х. Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения соответствующих матриц получить матрицупреобразования от 5 " к 5. Получить отсюда формулу сложения (см. (X. 11))одинаково направленных скоростей.601. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных х\, х2,яз.
хо = et, выразив величину относительной скорости V через угол а поформуле ^г = th а.602. Получить матрицу преобразования <? от системы 5 ' к системе 5путем перемножения матриц простых преобразований. 5 ' движется относительно 5 со скоростью V (-£- = t h a i в направлении, характеризуемомсферическими углами $, <р. Соответствующие оси S и S' параллельны.§ 3. Релятивистская электродинамикаПриведем основные формулы релятивистской электродинамики в вакууме.
Плотность трехмерного тока j = pv и плотность заряда р образуют4-вектор плотности тока:ji = (cp, j).(X.23)Электрическое и магнитное поля являются компонентами антисимметричного 4-тензора электромагнитного поля Fik'.При переходе от системы 5 ' к системе 5 компоненты поля преобразуются по формулам (оси х и х' параллельны относительной скорости):ЕХ = Е'Х,Ey = 1(Ey+f3H'z),Д,=7(Д;-/Ш£);НХ = Н'Х,Hy = -y(Hy-/3E'z),Hz=-y(Hz+/3Ey).{')ВеличиныН 2 - Е 2 = inv,Е • Н = inv(X.26)являются инвариантами преобразования Лоренца.
Векторный А и скалярный ip потенциалы образуют 4-вектор потенциалаAi = (<p,A).(X.27)§3. Релятивистская электродинамика171Компоненты тензора энергии-импульса в вакууме определяются формулой(X.28)Tik = ± (-F«Fkl + \gikF?m).Девять пространственных компонент тензора Tik образуют трехмерный тензор натяжений Максвелла- НаН0) + ^ ( Е 2 + Н2)6а0.Та0 = ±(-ЕаЕ0(Х.29)Пространственно-временные компоненты Тц. пропорциональны составляющим плотности потока энергии S и плотности импульса поля g:ТОа = ^7а,S=^EXH,11= cga,g =(х.зо)ii-ExH=iSВременная компонента Т ^ связана с плотностью энергии поля из соотношениемДивергенция тензора Tik определяет объемную плотность сил /» == ( ^ - ^ , f J, приложенных к зарядам:(X.32)дхкПерейдем теперь к формулам электродинамики при наличии сред.В этом случае векторы поля Е, D, В, Н образуют два антисимметричныхчетырехмерных тензора II ранга: тензор поляP.._*гк—' 0 -Ex -Ey -Ez0E^ XxWс?Rг5EyKEZи тензор индукции0ДхХПи.
= \пDy-B~D zZП0вх-Dyи.Hz0-НуHx.-в0х-DzНу-Hп' z "Л-Дх0ByDy_R-н0х. . .(Л..И)•(X.34)172ГлавахВекторы поляризации и намагничения Р и М также образуют 4-тензор(пррр \U-Рхгх0гу-Мг'г \My-РуMZо-мх\-/VTC4<х-35>- Р г -МуМх0 /Формулы D = Е + 47тР и В = Н + 47гМ объединяются в одно соотношениеHik = Fik-4irMik.(X.36)Четырехмерная /*, приложенная к единице объема среды со стороныполя, определяется как(Х.37)где f — пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Q — джоулево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема.603.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
