1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 25
Текст из файла (страница 25)
36).Найти собственную частоту LJQ ОСНОВНОГО типа колебаний такого резонатора в квазистационарном приближении. При каких условиях применимотакое приближение? Стенки резонатора считать идеально проводящими.535. Решить предыдущую задачу для тороидального резонатора с камерой прямоугольного сечения (рис. 37).536. Резонатор представляет собой цилиндр кругового сечения (внутренний радиус 6, высота h), вдоль оси которого вставлен идеально проводящий стержень радиуса о (рис. 38). Стенки цилиндра также обладаютидеальной проводимостью. Между стержнем и одним из торцов цилиндраоставлен зазор d.
Найти собственные частоты поперечных относительнооси системы электромагнитных колебаний, считая, что длина волны этихколебаний много больше зазора d (но не высоты h цилиндра). Как изменитсяспектр колебаний при d —> О?1*3t1III•26—•*2аft—"Рис. 37Рис. 38537. Известны собственные частоты колебаний ш„ и собственныефункции Е„, Н„ резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное конечной проводимостьюстенок резонатора. Поверхностный импеданс С стенок мал.154Глава IXУКАЗАНИЕ.
Искать решение уравнений Максвелла в видегде qv и р„ — неизвестные функции времени. Вывести уравнения для qv и р„с точностью до членов, линейных по С и исследовать их решения.538. Полый резонатор имеет форму куба со стороной а. Проводимостьстенок а, магнитная проницаемость ц = 1. Вычислить добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты? Прикаких частотах резонансные свойства системы исчезнут?539. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный импеданс С, возбуждается сторонним током j(r)e~lwt, текущим внутри резонатора.
Частота тока от близка к одной из собственных частот резонатора.Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его зависимость от частоты и) вблизи резонанса.УКАЗАНИЕ. Использовать метод решения, развитый в задаче 537.540. Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двухпараллельных круглых зеркал диаметром D, находящихся на расстоянии Lдруг против друга (рис. 39). Пусть собственное колебание такой системыреализуется в виде двух волн с А < I , Д распространяющихся перпендикулярно плоскостям зеркалнавстречу друг другу и образующих стоячую электромагнитную волну.Оценить по порядку величины добротность такого резонатора в приближении геометрической оптики.
Учесть потери энергии при отражениях от зеркал (коэффициент отражения R) и излучение черезбоковую поверхность резонатора за счет дифракции.Параметры резонатора: D = L = 1 см; R = 0,95;А = 3•10~4'см.Рис. 39541. Зеркала открытого резонатора, рассмотренного в предыдущей задаче, слегка непараллельны. Угол между их плоскостями / 3 < 1. Оценить дополнительные потерина излучение и соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловленный непараллельностью зеркал. Какие значения угла /3 допустимы безсущественного уменьшения полной добротности резонатора?542. В резонаторе, образованном двумя параллельными зеркалами(см.
рис. 39), собственные колебания с А <С I , D осуществляются в видеЭлектромагнитные колебания в ограниченных телахстоячих волн в пространстве между зеркалами. Рассмотреть тот тип колебаний, в котором волновой вектор стоячей волны составляет малый угол дс нормалью к плоскостям зеркал.а) Найти условие, определяющее возможные значения •в прн заданной Л.б) Оценить по порядку величины добротность резонатора как функциюугла д. Рассмотреть различные соотношения между потерями в зеркалахн потерями на излучение.ЛИТЕРАТУРАЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А.
Г. [47, 48], де-Бройль Л. [51], Джексон Дж. [52], Гольдштейн Л. Д.,Зернов Н. В. [42], Пановский В., Филипс М. [86], Ахиезер А. И., Файнберг Я. Б. [7], Петрунькин В. Ю. [88], Басов Н. Г., Крохин О. Н., Попов Ю. М. [9].155ГЛАВАХСПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯОТНОСИТЕЛЬНОСТИ§ 1. Преобразования ЛоренцаКоординаты и время в двух инерциальных системах отсчета S и S'связаны между собой формулами преобразования Лоренца1:(соответствующие оси координат систем 5 и 5 ' параллельны между собой, относительная скорость направлена вдоль оси Ох и при t = t' = 0начала координат 5 и S" совпадают).
Обратные преобразования Лоренцаполучаются как здесь, так и во всех других случаях (например, в формулах (Х.4), (Х.11)) изменением знака скорости V:x' = -r(x-Vt),y' = y,f' =7 ( f - i j ) .z' = z,(X.2)Величины хо = et, х\ = х, х? = у, хз = z являются координатамимировой точкиXi = (ct,r).(X.3)Всякие четыре величины А$, А\, А?, Аз, преобразующиеся при переходе от одной инерциальнои системы отсчета к другой как координатыи время, т. е. по формуламM = A'2,1В этой и следующих главах применяются обозначения:где V — скорость системы S' относительно системы S.Аз = А'з (Х.4)§ 1.
Преобразования Лоренца157образуют четырехмерный вектор (4-вектор) Ai, г = 0,1,2,3. Трехмерныйвектор А = (А1,А2,Аз) называют пространственной, а величину Ао —временной составляющими 4-вектора .А».Скалярное произведение двух четырехмерных векторов определяетсяследующим образом:(Х.5)АгВг = АоВо-А1В1-А2В2-А3Вз.Как и раньше (см. гл.
I), будем подразумевать суммирование по дважды повторяющемуся индексу, который теперь принимает значения 0, 1,2, 3. Приэтом слагаемое с индексом 0 берется со знаком плюс, а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со знаком минус. Этим правилом знаков при суммированиибудем пользоваться и в дальнейшем.Квадраты 4-векторов А2, определенные в соответствии с (Х.5), и ихскалярные произведения AiBi имеют одинаковые значения во всех инерциальных системах отсчета (инварианты относительно преобразований Лоренца). 4-вектор Ai называется пространственноподобным, если А2 < 0,и времениподобным, если А2 > 0.Инвариантная величина«и = [И<1 - h)2 - (п - г 2 ) 2 ] 1 / 2(Х.6)называется интервалом между двумя событиями с координатами (ri,<i)и (г 2 ,< 2 ).Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта.
Если объект движется относительно системы S со скоростью V, то интервал собственноговремени dr выражается через промежуток времени dt в системе S по формулеdr = dty/l - V2/c2.(X.7)2Величина dt \Jl — /З является инвариантом преобразования Лоренца.Если некоторый стержень в покое имеет длину 1о, то при движениисо скоростью v вдоль своей оси он имеет с точки зрения неподвижногонаблюдателя длину22I = loy/l-v /c .(X.8)Четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы называется 4-вектор, компоненты которого определяются формулой„,= g i= (_^,__vYх.9)(158Главахгде v = dr/dt — обычная скорость частицы.
Из (Х.9) очевидно, чтоu?=c2.(X.10)4-скорость, как и всякий 4-вектор, преобразуется по формулам (Х.4).Компоненты обычной скорости не являются пространственными составляющими какого-либо 4-вектора и преобразуются по формулам (V || х):x~+ v'xV/<? 'Vz~l + v'xV/c*Если скорость частицы составляет с осью х углы д и д' в системах 5и 5 ' соответственно, тоЧетырехмерным ускорением частицы называется 4-вектор с компонентамиВолновой вектор к и частота и> плоской электромагнитной волны являются компонентами волнового 4-вектора к^Поэтому фаза плоской волны ip = —fcjXj является инвариантом.Из формул (Х.4) следуют формулы преобразования угла i9, составляемого световым лучом с осью х:Задачи на преобразование Лоренца для энергии, импульса и силы собраны в § 1 гл.
XI.543. Пусть система 5 ' движется относительно системы 5 со скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся в 5 ' в точке (х'о, г/а, z'Q), в момент t'oпроходят мимо точки (хо, 2/о, ZQ) в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент время £о- Написать формулы преобразования Лоренцадля этого случая.§ 1. Преобразования Лоренца159544. Система 5 ' движется относительно системы 5 со скоростью V.Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и S' всегда будут отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе отсчета.Выразить один промежуток времени через другой.
(Показания движущихсячасов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо друга.)545. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени,в течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы, и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методеизмерения получается обычное лоренцово сокращение.546. Система S' движется относительно системы S со скоростью V.В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеихсистем показывали одно и то же время t = t' = 0.
Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающаятем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и S' показывают однои то же время t = t'l Определить закон движения этой точки.547. Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной I. Один период — это время движения«зайчика» от одного зеркала до другого и обратно.
Световые часы неподвижны в системе S' и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени dr выражается через промежуток времени dtв системе S формулой (Х.7).548. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часыориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.549. «Поезд» А'В', длина которого fo = 8,64 • 10 8 км в системе, гдеон покоится, идет со скоростью V = 240 000 км/сек мимо «платформы»,имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А'«поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой.
Такие же часы установлены в начале (А) и в конце (В) «платформы». В тотмомент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час 00мин. Ответить на следующие вопросы:а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчетавсе часы также показывают 12 час 00мин; б) сколько показывают каждые изчасов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»;в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравняласьс концом «платформы»?160Главах550.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
