1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогдааналогичной непрерывностью обладает и первая производная от этой функции. Непрерывность производной требует обращения ее в нуль на границеячейки:f)/ni(тЛ= 0.(8.2)r=RoПоскольку, как было установлено, потенциал ионного остова внутри сферысферически симметричен, то выбрав его, согласно Вигнеру-Зейтцу, в форме потенциала U(r) внутри свободного атома, нужно решить радиальноеуравнение Шредингера, присоединяя к решению граничное условие (8.2).В результате решения мы получим волновую функцию и энергию электрона,соответствующую дну зоны проводимости [е(0)].
Итак, наша задача состоит, следуя Вигнеру-Зейтцу, в вычислении зависимости энергии электрона,находящегося внутри сферы, от радиуса сферы Д> Как уже было сказано, потенциальная энергия этого электрона определяется только сферическим потенциалом самого иона, а всеми возможными эффектами обмена икорреляции можно пренебречь. Таким образом, необходимо интегрироватьрадиальное уравнение Шредингера с радиальной функцией Д;.'7£ - U(г) ~Ri=0(8.3)arи граничным условием (8.2). Здесь U(r) — сферически симметричный потенциал иона. Поскольку волновая функция обладает периодичностью решетки, повторяется при переходе из одной сферы в другую, то нам необходимо иметь решение только для одной сферы. Зависимость полной энергиикристалла от радиуса сферы RQ тогда можно найти, умножая соответствующую одноэлектронную зависимость на число атомов в кристалле. Отметим96Лекция 8еще, что при решении уравнения Шредингера мы не должны отбрасыватьрешения, не стремящиеся к нулю при возрастании радиуса г, как это делается для случая изолированного атома, поскольку нас будут интересоватьзначения радиуса г вблизи поверхности сферы ДоПриведенный расчет относится к состояниям электронов с к = 0, т.
е.касается основного состояния в зоне проводимости. Вполне понятно, чтозначительно сложнее рассчитать энергии состояний с к ^ 0. Простейшимприемом, позволяющим в рамках рассматриваемого метода, получить первое приближение для энергии возбужденного состояния является допущение, что волновую функцию можно выбрать в виде:гк г(8.4)Мг) = е - Мг).Эта запись напоминает запись функции Блоха, однако, здесь функция ipo{r)считается не зависящей от волнового вектора к. Тем не менее, она является лучшим, чем плоская волна, приближением к правильной волновойфункции.
Подставим ее в уравнение Шредингера:Преобразуем:илигк •A,H}+ Щфо() + | ^ W )Pok(8.5)Отсюда уже можно получить выражение для расчета энергии возбужденного электронного состояния, считая, что функция щ{г) нормирована кединице в объеме сферы Вигнера-Зейтца. Используя обычный рецепт определения энергии, находимJ2 m2 m3Jd r + / <p*0(r)U(r)<p0(r)(8.6)d3r,8.1. Методы расчета энергетической зонной структуры97или£k =l S ~ " Й / ^(^)VVo(r) d3r + У ^(r)[/(r)(p o (r) d3r.(8.7)Интегрирование здесь выполняется по всему объему сферы ВигнераЗейтца. Интегралв силу симметрии распределения заряда в ячейке.
Анализируя выражениедля энергии (8.7), видим, что первый член представляет собой энергию Ферми, а второй и третий — энергию Вигнера-Зейтца. Перепишем выражение(8.7) в более удобной форме:(8.8)^где£j3rSHVVoC) d3r + I v'0(r)U{r)Mr) d3r.(8.9)В принципе в выражение для е(0) можно было бы еще ввести поправкина корреляцию и обмен электронов, однако, вычисления потребовали быдальнейших упрощений и потому мы их здесь упускаем.Выражение для энергии (8.8) показывает, что энергия возбужденныхсостояний к =/= 0 может быть подсчитана как сумма энергий свободногоэлектронного газа и энергии основного состояния в форме энергии Вигнера-Зейтца.
В такой записи (8.8) закон дисперсии уже напоминает энергетическую зону.Итак, определив функцию <ро(г), характеризующую распределение заряда внутри сферы Вигнера-Зейтца, можно затем построить и всю энергетическую зону, пользуясь выражением (8.8).Можно рассчитать важную для оценки сил связи среднюю энергию,приходящуюся на один электрон, используя (8.8). Для этого необходимо,2как это мы делали ранее, усреднить величину к по сфере Ферми (3.19):(8.10)98Лекция 8здесь п — концентрация электронов проводимости. Учитывая (8.8), можнозаписать выражение энергии, приходящейся на один электрон проводимости в приближении Вигнера-Зейтца:.11)В заключение отметим, что последовательное использование общего метода ячеек потребовало бы учета в выражении кристаллического потенциала добавочных членов: 1.
Потенциала электростатического взаимодействияячеек, 2. Потенциалов взаимодействия данного электрона с электронами,находящимися в данной ячейке и распределенных в других ячейках. Этотучет связан с очень громоздкими выкладками и мы его не будем здесь затрагивать, а непосредственно используем вычисленную ранее (4.17) обменнуюэнергию.8.2.
Силы сцепления в металлахРассмотренный метод расчета электронных состояний в металле былпостроен на ряде допущений, касающихся вида волновой функции и видакристаллического потенциала. Особенностью этих допущений, сделавшихзадачу разрешимой, является то обстоятельство, что здесь совершенно игнорируется структура металла и результат расчета зависит только от объемасферы Вигнера-Зейтца. Тем не менее, применение этого простого методак определению дна зоны проводимости одновалентного металла, а, следовательно, и энергии связи дало результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом.
Под энергией сцепления металлов обычно понимают разностьмежду средней энергией валентных электронов и энергией валентных электронов в изолированных атомах, находящихся в основном состоянии. Последнюю энергию можно получить из спектроскопических данных. Обычно главный интерес в проблеме сцепления металлов представляет собойопределение зависимости энергии сцепления от радиуса До- Ценность метода Вигнера-Зейтца и заключается в том, что он позволяет явно найтиэту зависимость, хотя и численными методами. Минимум на кривой этойзависимости отвечает энергии связи, а соответствующий этому минимумупараметр решетки является равновесным. Кривизна кривой, как мы увидим,характеризует сжимаемость металлов.
Если найти эту зависимость для де-998.2. Силы сцепления в металлахформированного металла, то можно определить и упругие характеристикисреды.В соответствии с определением энергия сцепления в металлах представляется выражением:Есп = Ею + EOQ — Еа — Ei,(8.12)здесь:-ЕОб — средняя на электрон обменная энергия,Ei — средняя энергия корреляции на электрон,Ет = е{0) + -^— (Зтг 2 п) 2 / 3 - энергия Вигнера-Зейтца,Еа — энергия низшего состояния валентного электрона в изолированном атоме.Согласно виду волновой функции ipk(r), вычисленной Вигнером-Зейтцем, она в большей части характеристической сферы представляет собойплоскую волну. Это позволяет рассматривать обменные и корреляционныеэффекты в предположении приближения свободных электронов.
В связис этим мы воспользуемся ранее полученными численными результатамиэтих поправок. Более точное определение корреляционных поправок можетбыть сделано на основе многоэлектронной модели взаимодействующегоэлектронного газа. Отметим еще одну трудность, возникающую при расчете энергии сцепления металлов — это поляризация ионного остова. Онаявляется следствием корреляции между валентными электронами и электронами подвалентных уровней.
Кроме того, флуктуирующий дипольныймомент ионного остова должен экранироваться компенсирующей деформацией плотности валентных электронов, поэтому радиус поляризованногопотенциала сравнительно невелик, меньше радиуса RQ. Однако, роль поляризационных эффектов в величине энергии сцепления металлов еще плохоизучена и является проблемой, как и в целом весь вопрос.Приведем некоторые численные результаты расчетов сил сцепления вкристалле натрия. Итак, имеем:= е(0) + £^(^2п)~з= (-0.611 + 0.144) ^ = -0.467 ^ ,ГУЕа = -0.378 -£,-Еа = -0.089 § ^ -27.2ГЛАВА VIIКВАЗИСТАЦИОНАРНОЕЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводникахЕсли период колебаний электромагнитного поля значительно превышает время распространения поля через систему:Т»-,^«у,(Vn.l)где с — скорость света, I — линейный размер системы, то можно пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений внутри системы.
Такое приближение называется квазистационарным1.Ток в замкнутой цепи с э.д.с. S(t), емкостью С, индуктивностью Lи сопротивлением R удовлетворяет в квазистационарном приближениидифференциальным уравнениямлdq1где q — заряд на обкладке конденсатора.При гармонической зависимости э.д.с. от времени ($(t) =и установившемся режиме ток пропорционален э . д .
с :§ое~ш1)( m 2 )Величина Z называется комплексным сопротивлением (импедансом) цепи.Собственная частота ^о колебаний в контуре, состоящем из емкости Си самоиндукции L, дается формулой Томсона1Иногда квазистационарное приближение дает хорошие результаты и при нарушении условия (VII. 1), например, в теории длинных линии. Подробнее об этом см.
[101] § 107.§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводникахДля разветвленной цепи дифференциальные уравнения, определяющиетоки в отдельных участках, могут быть составлены на основе законов Кирхгофа.Если э. д. с. в линейном контуре наводится в результате электромагнитной индукции, она может быть вычислена с помощью закона Фарадея:где Ф — поток вектора магнитной индукции через контур. Величина Ф можетизменяться как вследствие изменения магнитного поля, так и в результатедвижения или деформации контура. Если имеется несколько индуктивносвязанных контуров, то полный поток магнитной индукции через г-й контур Ф» выражается формулойЗдесь Jk — ток в fc-м контуре, L ^ — при г ф к — коэффициент взаимнойиндукции между г-м и fc-м контурами, ЬЦ = Li — коэффициент самоиндукции г-ro контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
