1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 12
Текст из файла (страница 12)
плоские волны и энергию72Лекция б2. Для энергии возмущенного состояния получаем:(6.2)здесь E^ = ^-^энергия невозмущенногосмущенного состояния.Рассмотрим матричный элементМкк> = I e~lk 'rU(r)elk'rd3r = / > Unel{k~k+G">'rd3r,здесь использовано соотношение (6.1).
Согласно правилу отбора Мкк' == Y, Un, если к - к' + Gn = 0, и Мкк> = 0, если к - к' + Gn ф 0. Следопвательно, периодичность потенциала U{r) накладывает на матричные элементы перехода жесткое требование, являющееся центральным моментомприближения:k'-k= Gn.(6.3)Таким образом, можно переписать разложение (6.2) с учетом периодичностипотенциала U(r):Очевидно, чтобы разложение (6.4) имело смысл, необходимо потребовать,чтобы основное состояние было невырожденным, т.
е. Е^ ф Е^,с, иначеЕк -^> оо. Это значит, что объем обратного пространства, занятый невозбужденными состояниями, не должен достигать зоны Бриллюэна. Однако, этоне так. Поэтому, вероятно, нужно попробовать определить энергию возмущенного состояния из уравнения Шредингера, используя функцию Блоха вформе (5.27), когда периодическая часть функции разложена в ряд Фурьепо векторам Gn:Vk{r) = ^ c f c r l e x p ( i ( f c + Gn) • г).(6.5)6.1. Энергетический спектр электрона73Запишем уравнение Шредингера (5.5), подставляя выражение функции (5.27):(Pi\\ 2т\) ^/ п™™^пДля полного решения задачи необходимо определить значение коэффициентов скп. Для этого выберем из разложения (5.27) функциюскп,е х р ( - г (к + Gn>)-r),соответствующую определенному значению вектора обратной решетки иумножим ее на уравнение (6.6), интегрируя по всему объему кристалла:3,r-\-Поскольку функции Блоха образуют ортонормированную систему, то можнопредыдущее выражение переписать так:Ckn'Ckn'Ek+Gn,- Скп'Скп'Ек+ Скп' 2_^CknUn'-n = 0.пЗнак суммы в первых двух членах этого выражения пропадает.
Un — фурьеобраз потенциала U(r).Итак, имеем:Скп' (E°k+Gn- ~Ек)= -У2CknUn>-n-(6.7)74Лекция бПридавая векторам Gn и Gni конкретные значения, получаем систему уравнений относительно коэффициентов скп разложения функции Блоха. Когдакоэффициенты найдены, то все электронные состояния определены. Насбудут интересовать только те значения вектора обратной решетки, которые лежат в первой зоне Бриллюэна, т. е. всего два значения для случаяодномерной решетки:Gn> =Gn,-g,(6.8)=0Это соответствует центру и границе зоны Бриллюэна.
Итак, подставляя (6.8)в систему уравнений (6.7), находим-g = 0.(6.9)Эта запись означает, что среди совокупности коэффициентов Ск,п м ы выделили только два коэффициента, соответствующие волновым функциям,описывающим электронные состояния вблизи центра зоны Бриллюэна иее границы. Смесь этих волновых функций и будет соответствовать состояниям электрона в периодическом поле. Рассмотрим явно систему (6.9).Условием разрешимости ее является равенство нулю детерминантаdet =UgU-cили= 0,E°kE°k_g-UgU_g=0.Таким образом, для энергии возмущенного периодическим полем электронного состояния имеем:к-д)преобразуем это выражение:±Ък-д)-AUgU.g(6.10)756.1.
Энергетический спектр электронаЗдесь очень хорошо видно, что в результате возмущения, обусловленногопериодическим потенциалом, исчезают, как самостоятельные, электронныесостояния с энергией Е%, Е^hk22m'(6.11)а вместо них возникает смешанное состояние с энергией Е^ (6.10), которому соответствуют смешанные волновые функции.
Еще раз подчеркнем, что возникшее состояние с энергией Ек явилось результатом смешивания из-за возмущения двух ранее вырожденных по энергии невозмущенных состояний. Рассмотрим подробнее выражение для энергетического спектра (6.10) электрона. Определим обратную решетку для одномерной ионной цепочки и зависимость энергии от волнового вектораневозмущенного состояния Е% (6.11) в схеме приведенных зон (рис. 2).Далее, рассмотрим два случая: Пусть волновойвектор к принимает значения близкие к центрузоны Бриллюэна к и 0, тогда оказывается, чторазность невозмущенных энергий Е% — Е%_двелика в сравнении с возмущающим потенциалом Ug (по условию задачи он мал) и, согласновыражению (6.10), имеем:г^ 1 Г тр° _i_ тр° л- (тр°тр° Мfc - 2 1Ьк + Ьк-д ± \Ьк - Ьк-д)\ •ТРbРис.
2Здесь необходимо выбрать знак (+), иначе мыне будем в центре зоны Бриллюэна:(6.12)Это значит, что в центре зоны Бриллюэна электроны в периодическом поле тождественны свободным электронам и им отвечает квадратичное дисперсионное соотношение. Далее, рассмотрим состояние с волновым вектором к, лежащим на границе зоны Бриллюэна, т. е. к = д/2.
Подставляемзначение к в (6.10):76Лекция билиEg/2= E°g/2±(UgU^.(6.13)Итак, на границе зоны Бриллюэна энергия электрона в периодическом полерешетки имеет два значения:Eg/2= E°g/2-(UgU_g)?,(6.14)Eg/2= E°g/2 + (UgU-g)i,(6.15)т. е. меньше и больше соответствующего значения энергии свободного электрона Е°,2. Эти значения энергии разделены энергетической «щелью», шириной 2([/д[/_ э ) 1 / 2 . Можно сказать, что при значениях волнового вектора,близких к границе зоны Бриллюэна, происходит отклонение закона дисперсии от квадратичного, причем это происходит за счет смешивания электронных состояний, различающихся на вектор обратной решетки. Это смешивание приводит к понижению энергии одного состояния и повышениюэнергии другого состояния и на границе зоны возникает разрыв энергетической кривой.
Значения энергии, попадающие в этот разрыв, не могут бытьсобственными энергиями электронных состояний в кристалле и составляют запрещенную энергетическую зону. Это и есть основной результат,характерный для электронов в периодическом поле. Он утверждает, что вметалле энергетический спектр (закон дисперсии) носит зонную структуру,т.
е. обратное пространство состоит из отдельных полос разрешенных инеразрешенных энергий, чередующихся между собой. Для всех значенийволнового вектора к, лежащих внутри зоны Бриллюэна, энергия являетсянепрерывной функцией вектора к. Эта непрерывная совокупность значений энергии и представляет энергетическую полосу. В схеме приведенныхзон (рис. 2) энергия становится многозначной функцией волнового вектора. Отметим еще раз, что разрывность энергетического спектра электронав периодическом поле является фундаментальным свойством, обуславливающим многие свойства металлов.
Наличие запрещенной энергетическойзоны означает, что в кристалле не может возникнуть электронных волн сэнергией, лежащей в этой зоне. Если пучек электронов с энергией, соответствующей запрещенному значению, падает на кристалл, то он весь долженбыть отражен, поскольку электроны с такой энергией не могут двигатьсяв кристалле. Таким образом, любая попытка возбудить электронные волны6.1. Энергетический спектр электрона11с энергией, лежащей внутри запрещенной зоны, не приводит к возникновению стационарного состояния, а введенное возмущение быстро затухает.Природа возникающей особенности в энергетическом спектре электроновзаключается в осуществлении условия (6.3):п,п>•—\Jfyi ^(6.16)которое соответствует плоскости в обратном пространстве, где образуетсяэнергетический разрыв.
Это условие по-существу является одной из формзаписи известного закона отражения Брегга-Вульфап\ = 2dsm9.(6.17)Следовательно, можно сказать, что зонная структура энергетического спектра является следствием брэгговского отражения электронов от решетки. В трехмерном случае качественная картина одномерной задачи сохраняется полностью, однако, ширина запрещенной зоны не всегда соответствует таковой в одномерной модели. В зависимости от характера периодического потенциала может возникать наложение соседних разрешенных зон.
Рассмотрим для примера двумерную квадратную решетку в обратном пространстве (рис. 3). Пока волновой вектор к электрона близок к центру зоны Бриллюэна мы имеем концентрическуюокружность для изоэнергетической линии; затем по мере увеличения энергии изолинияэнергии коснется границы зоны Бриллюэна ипотеряет окружную форму. Дальнейшее увеличение энергии соответствует появлению линий равной энергии в других зонах Бриллюэна, причем на границе зоны происходит разрыв непрерывности изолиний энергии, т. е.
этиизолинии как бы отражаются от границы зоны.Сформулируем теперь кратко основныерезультаты рассмотренной задачи о состояниях электронного газа в периодическом поле:Рис. 31. Энергетический спектр электрона в периодическом поле дискретен, и, следовательно, для электронных состояний в металле характерна зонная энергетическаяструктура.78Лекция б2. Внутри каждой энергетической зоны зависимость энергии от волнового вектора является непрерывной функцией, причем отклонение от квадратичного закона существенно только для состояний вблизи границы зоныБриллюэна.3. Ширина запрещенной энергетической зоны связана с Фурье-образомпериодического потенциала и в одномерном случае равна 2([/ g [/_ g ) 1 / 2 .4. Природа возникающей особенности в энергетическом спектре заключается в осуществлении брэгговского отражения электронов от решетки.5.
Собственные волновые функции оператора Блоха представляют собой смешение плоских волн, отличающихся на вектора обратной решеткис различным весовым множителем.6. Качественные результаты одномерной модели справедливы и в многомерном случае.6.1.1. Оператор Блоха в представлении операторов вторичногоквантованияПредставляет интерес некоторые предыдущие рассуждения о состояниях электрона в периодическом поле перевести на язык операторов вторичного квантования.
Этот переход очень привлекателен в связи со своейкомпактностью записи.Прежде всего получим многочастичный оператор Блоха, суммируя одноэлектронные операторы (5.4):Каждому одноэлектронному оператору Блоха соответствует собственнаяволновая функция Блохаifik{r) = exp(ik • r)v,k(r).(6.19)Построив соответствующие полевые операторы -ф+{г) и tp(r), согласно (3.27) и (3.28), можно записать в представлении чисел заполнения one-796.1.
Энергетический спектр электронаратор (6.18):Н = J ф+(г) | ^ + U(r) I V(r)tfV=fefe' CT= ££<W£fcC+CTCfcCT = £kk' aEkC+aCka,(6.20)kaH = YEkCtCk(6.21)Здесь мы использовали то обстоятельство, что функции Блоха (6.19) образуют ортонормированную систему и каждая из них описывает состояние сэнергией Ек.Таким образом, многочастичный оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования по функциям Блоха имеет вид (6.21). Однако, иногда удобно представить оператор Блоха (6.18), используя формализмвторичного квантования по плоским волнам.
Проделаем соответствующиевыкладки без пояснений:2/Ф+(г)^-ф(г)/•d3r + / ф+(г)и(г)ф(г)d3r =kk+ ££ £ C++ aCka ffe-*k''-rU(ry kkk'd3r =Ja= £ £ ek5kk,C+aCka+ Y: £ C+acJ e"<k'-UGe> ^h'кh к'кааГТb к'b> arr ПкGkG^aздесь:UG = Un — фурье-образ периодического потенциала U(r).G — вектор обратной решетки.Итак, оператор Блоха (6.18) в представлении операторов вторичного кван-80Лекция бтования по плоским волнам можно записать так:J2 Е UGCt+GaCka.ka-kG(6.22)aЕсли сюда включить еще оператор (4.39), описывающий взаимодействие всистеме электронного газа, представленный также в необходимой форме,то гамильтониан взаимодействующего электронного газа в периодическомполе решетки имеет вид:= Е ^с+аска+Е Екак к' a-a'кGG^OсгuGc++Gi(rck<T+Ч£ {CU М-+а,аС„аСь, - п) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
