1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 14
Текст из файла (страница 14)
С возрастанием \(3а\ ширина разрешенных значений \(3а\, а значит и энергий, растет за счет уменьшения запрещенных.Каждому разрешенному значению энергии соответствует два значения (За,отличающиеся знаком. Следовательно, приближение Кронига-Пенни даетнам тот же результат, что и приближение почти свободных электронов, т.
е.,спектр энергий электрона в периодическом поле решетки состоит из непрерывных полос, разделенных интервалами запрещенных значений энергии.Равноценность выводов обоих приближений позволяет утверждать, что распад энергетического спектра на полосы в приближении Кронига-Пенни несвязан с принятыми предельными условиями. Обсуждая уравнение Кронига-Пенни, мы не делали никаких заключений о величине приведенногообрезывающего потенциала.
Однако энергетический спектр электрона существенно зависит от этой величины. Предположим, что Р = 0, тогда,согласно (7.18)2cos(fca) = cos((3a),2s = i^k(7.19)и, следовательно, ±fca + 2тгп = (За. Это значит, что (За может принимать897.1. Приближение Кронига - Пеннилюбые значения, т.
е. разрешенными являются все значения энергии то нулядо бесконечности. Такая ситуация, как мы знаем, свойственна свободнымэлектронам, когда энергетический спектр непрерывен и отсутствуют интервалы запрещенных энергий.Предположим другой крайний случай, т. е. Р = со. Мы знаем, чтоесли величина Р растет, то, согласно рис. 5, зоны дозволенных значений (Зауменьшаются и когда Р = со эти зоны вырождаются в дискретные уровни.Действительно, если внимательно изучить рис. 5, то легко увидеть, что вэтом предельном случае величина (За вообще не зависит от к, а определяетсясоотношением(За =дат,гдеп = ± 1 , ±2, .
. . .(7.20)или, раскрывая значение (3, находим^ 4п = ±1,±2, . . . .(7.21)Как известно, эта формула определяет энергетические уровни электрона визолированном атоме. Следовательно, этот случай соответствует полностьюсвязанному электрону. Сопоставляя оба предельных случая, можно сказать,что величина обрезывающего приведенного потенциала Р характеризуетэнергию связи электрона, т. е.
его свободу или локализацию.Рассмотрим еще случай, когда величина Р сравнительно велика и электроны сильно связаны. Зоны дозволенных энергий тесно примыкают к значениям /За, равным дат. Пусть ширина этих зон есть Д, тогда разрешенныезначения /За можно задать так:(За = пи + Д,гдеД «0.(7.22)Подставляем это условие сильно связанных электронов в уравнение Кронига-Пенни:cos(afc) = (-1)" + РЩ^А.(7.23)Действительно, так какcos(/3a) = cos(n7r + Д) = cos(nn) cos Д + sin(nTr) sin Д = ( — 1)™,sin((3a) = sin(mr + Д) = sin(nTr) cos Д + cos(nTr) sin Д = (—1)" Д,pa = nn + Д ~ П7Г.90Лекция 7Разрешаем уравнение (7.23) относительно ширины разрешенной зоны:Отсюда, используя (7.22), находим(За = пп + А = дат 11 + -^ [(-1)" cos(fca) - 1](7.24)Раскрывая величину [3, согласно (7.8), находим в явной форме энергетический спектр сильно связанных электронов:2та2h- £ + £(-!)" cos(fca)или(7.25)га = ± 1 , ±2, .
. . .Из этой формулы очень наглядно видны особенности энергетического спектра сильно связанных электронов.Потребуем, далее, чтобы рассматриваемая кристаллическая цепочкаудовлетворяла циклическим условиям Борна-Кармана, т. е. перейдем отбезграничного к ограниченному кристаллу. Мы знаем, что в этом случаеволновой вектор меняется не непрерывным, а дискретным образом согласно формуле (5.30)где z — целое число, изменяющееся, согласно (5.31), в интервале021)Каждому значению z из этого интервала будет соответствовать два решения, т. е. когда /3 > 0 и когда [3 < 0. Однако на каждое значение волновоговектора /с приходится строго один энергетический уровень в каждой энергетической зоне. Следовательно, можно повторить и здесь уже известное намположение (стр.
71), что каждая энергетическая полоса содержит столько917.1. Приближение Кронига - Пенниэнергетических уровней, сколько элементарных ячеек содержит кристалл.Сделаем здесь еще один важный вывод, заключающийся в том, что каждоеэлектронное состояние в кристалле необходимо нумеровать двумя квантовыми числами: волновым вектором к или, что все равно, квантовым числомz, и номером энергетической зоны п. Например, (pkn(r)- Причем волновойвектор мы рассматриваем в схеме приведенных зон, т. е.
в первой зонеБриллюэна.На модели Кронига-Пенни можно очень наглядно проследить, какквантовые числа приближения свободных электронов (Р = 0) переходятв квантовые числа, описывающие вырожденные энергетические состоянияэлектронов в изолированных атомах.Рассмотрим под каким углом криваязависимости энергии от волнового вектора евнутри каждой зоны пересекает ее границу.Имеем уравнение Кронига-Пенни:/(/За) = cos(ka).Дифференцируем его по /За, т. е.
по энергии:7Гаd[3aРис. 6d[3На каждой границе зоны, как видно из рис. 5, ка = птт, отсюда s'mka = 0.Поскольку —— ф 0, то необходимо, чтобы — = 0. Имеем:араакdkd k=0,т а к к а кто(7.28)при к = п\.Это значит, что дисперсионная кривая пересекает границу зоны под прямымуглом, что также весьма важно и носит совершенно общий характер.
Нарис. 6 приводится качественно дисперсионная зависимость е(к) при п = 1,т. е. для первой зоны Бриллюэна. При к = ^ имеем ^ | = 0. Основнойособенностью приближения Кронига-Пенни является то обстоятельство,что оно позволяет на основе одной схемы рассмотреть различные случаи92Лекция 7одноэлектронных приближений, различающиеся энергией связи электрона.Все выводы этого приближения носят всеобщий характер, утверждающийзонную структуру энергетического спектра электрона в периодическом полерешетки. В дальнейшем мы еще вернемся к приближению Кронига-Пеннив связи с изучением локальных электронных состояний в металлах.Лекция 88.1. Методы расчета энергетической зонной структурыРассмотренные ранее приближения позволили выяснить основную особенность энергетического спектра электронов в металлах — его зоннуюструктуру.
Мы условились в связи с этим каждому электронному состоянию сопоставлять два квантовых числа: волновой вектор к в первой зонеБриллюэна и номер энергетической зоны п. Нам известно, что в каждойзоне имеется определенное число состояний, равное числу значений волнового вектора в первой зоне Бриллюэна, т. е. числу элементарных ячеекв кристалле. Каждое состояние может быть заполнено, согласно принципуПаули, двумя электронами с противоположными спинами.
Нам необходимо знать, в какой последовательности располагаются энергетические зоны,каков закон дисперсии внутри каждой зоны, какова ширина разрешенной изапрещенной зоны энергии, какова плотность состояний в области энергий,подверженных тепловому возбуждению и т. д.Расчеты зонной энергетической структуры металлов, призванные ответить на эти вопросы, образуют область весьма тонких вычислительныхметодов, которые в настоящее время хорошо освоены. На саму зоннуюструктуру большое влияние оказывает симметрия зон Бриллюэна и ячейкикристаллической решетки, поэтому для расчетов таких структур характерноиспользование теории групп. Она позволяет заметно упростить, а иногда иуточнить расчеты, так как в точках высокой симметрии исходные одноэлектронные уравнения Шредингера значительно упрощаются.Число методов, использующихся при расчетах структуры энергетических зон, достаточно велико.
Однако, мы рассмотрим только наиболее важные из них, применяемые при расчетах зон в металлах. Наше рассмотрение будет сводиться к решению одноэлектронного уравнения Шредингера,считая, что эффективный кристаллический потенциал (стр. 61) известен.94Лекция 8Общей особенностью почти всех используемых методов расчета являетсято обстоятельство, что они строятся на одноэлектронной основе и то, чтоискомая функция ищется в форме разложения в ряд по какой-нибудь полнойсистеме известных функций, чаще всего по плоским волнам, либо по системе произведений радиальных функций на сферические гармоники. Удобство такого подхода заключается в возможности выбрать систему простыхфункций так, чтобы удовлетворялись некоторые условия, накладываемые наискомую функцию.
Поскольку таким способом мы можем удовлетворитьлишь части необходимых требований, то выполнение остальных условийможно потребовать, выбирая должным образом коэффициенты разложения.Исключением из общей схемы построения методов расчета зоннойструктуры является своеобразный по построению метод ячеек, которыйизвестен еще как метод Вигнера-Зейтца.8.1.1. Метод Вигнера-Зейтца (метод ячеек)Если выбрать в качестве элементарной ячейки прямого пространстваячейку Вигнера-Зейтца, то для плотноупакованных металлов граница элементарной ячейки является поверхностью с высокой степенью симметриии потому очень хорошо аппроксимирующуюся сферой того же объема V == f 7ri?o> г Д е -^о — радиус сферы.
Каждая сфера содержит один узел решетки и является примитивной элементарной ячейкой. В центре такой ячейкирасположен ионный остов, размеры которого обычно малы в сравнении срадиусом сферы. Так, для натрия RQ = 1.85 А, а радиус иона RH = 0.95 А.Потенциал иона распространяется не на всю ячейку и обычно охватываетлишь часть ее объема. В таких условиях можно считать, что ионный потенциал заключен внутри каждой сферы и обладает сферической симметрией.Важно еще раз подчеркнуть это обстоятельство, отметив, что если электронпопал в область какой-нибудь сферы, то на него будет действовать потенциал, создаваемый ионом и другими валентными электронами, находящимисятолько в этой сфере.Обычно рассматриваемый метод используют для определения волновой функции и собственного значения энергии на дне зоны проводимости,т.
е. для состояний электронов с к = 0. Такое ограничение связано с наиболее просто реализуемыми граничными условиями на поверхности ячейки. Рассмотрим волновую функцию (fikn(f). Она, согласно теореме Блоха,958.1. Методы расчета энергетической зонной структурыдолжна удовлетворять граничным условиям периодичности:ipkn(r + R) = ei b 8f c(r).Для состояний с к = 0 имеем(8.1)+ R)=ipkn(r),здесь R — вектор трансляции, п — номер валентной зоны в общем числе зон.Это значит, что волновая функция должна быть непрерывной функцией безсингулярности и периодически переходить из одной ячейки в другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
