1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего эллипсоида (а = Ь > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.200*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, Ь, с находится в однородном внешнем поле с напряженностью Е о . Диэлектрическая проницаемость эллипсоида е\, а окружающего его однородного диэлектрика £гНайти потенциал ip результирующего электрического поля (воспользоваться указанием к задаче 195*). Найти напряженность Е электрического полявнутри эллипсоида, а также потенциал ц>2 вне эллипсоида на больших отнего расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости эллипсоида по главным осям.201.
Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью е\ находится во внешнем однородном поле Ео в однородной диэлектрическойсреде £2- Найти энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к немувращательный момент N. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения.202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферическойкапле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти этокритическое значение заряда q^. Радиус капли R, коэффициент поверхностного натяжения а.УКАЗАНИЕ. Сравнить энергию сферической капли с энергией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Площадь поверхности такого эллипсоида25 = 2тгЬ + -JzjzL- arccos |(а>Ь =203*.
Однородное электрическое поле Ео || z в полупространстве z < 0 ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круговымотверстием радиуса а. Найти поле ip во всем пространстве. Рассмотреть,в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве z > 0).УКАЗАНИЕ. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами(см. задачу 65*) с с=0. Искать решение во всем пространстве в виде if = —EQZF(£).60Глава III204.
Найти распределение зарядов а на проводящей плоскости в предыдущей задаче.205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя пересекающимися под углом /3 заземленными проводящими полуплоскостями О А и ОВ, в точке N(TQ) находится точечный заряд q (рис. 11).Рис. 11Цилиндрические координаты заряда (го, 7i 0); ось z направлена вдоль ребраклина, азимутальный угол а отсчитывается от грани О А. Доказать, чтопотенциал <p(r, a, z) может быть записан в видеоо<p(r,a, z) = / <fk{r,a) coskzdk,где71=1Кж (кго)1ш (кг) sin —± sin ——при г <г0,7шг (fcro).ft'mr (fcr) sin - д - sin —g-при г > r 0 ,евPP—^7птг и ^шг — цилиндрические функции.00УКАЗАНИЕ.
Воспользоваться формулой (П 1.11) и приложением 3.61§ 3. Специальные методы электростатики206. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновиднойобласти, найденный в предыдущей задаче, можно представить в видеоо<p{r,a,z) =/\/ch £ — ch 77гдеchrj =2rr0УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулами:-,оооо/ Kv(kr)Iv(kr0) coskzdk=J77 > 0 .i/-chr/2V2TTO J1-P2— 2p cos x + p"-0-207. Найти поле у заряда q, находящегося вблизи проводящей полуплоскости а = 0 в точке го с цилиндрическими координатами (ro,y, z = 0).УКАЗАНИЕ.
Воспользоваться результатом задачи 206. Для вычисления интеграла сделать подстановку ch — = ch ^ ch и, где 0 < и < оо.208. Найти распределение а поверхностного заряда вблизи ребра клина с двугранным углом /3 (угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного заряда.УКАЗАНИЕ. Сначала рассмотреть, случай, когда вблизи клина находится одинточечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 205*, разложениями (П3.6)и формулойKv{kp)kvcaskzdk = 2v-162Лекция 5Решение Блоха (5.6) представляет собой произведение обычной плоской волны ехр(г& • г) на периодическую функцию Uk(r) с периодом решетки. В целом эту функцию можно считать модулирующим множителемплоской волны.Учитывая, что р —> —ih-^-, перепишем уравнение Шредингера (5.5) вorвидеилиVV(r)+/(r)p*(r)=0.(5-7)Таким образом, исходное уравнение Шредингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом при искомой функции.
Общее решение уравнения типа (5.7)было получено еще в 1883 г. математиком Флоке. Он получил решение ввиде (5.6), т. е. в форме функций, которые сейчас называются одномернымифункциями Блоха.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим доказательство теоремы в одномерном случае. Предположим, что имеется бесконечная кристаллическая цепочка, содержащая Nионов. Реально ее можно представить в виде кольца, причем первый иони JV-й ион совпадают. Тогда должны выполняться циклические граничныеусловия:.(5.8)Пусть Тп — трансляционный оператор, действующий только на координатуг. Определим его так:Тп(г) = (г + па),(5.9)где п = 0, . .
. , N. Тогда действие этого оператора на волновую функцию,являющуюся решением уравнения (5.5), можно записать в видеТпрк(г)=Ыг+ па).(5.10)Будем искать только такие собственные значения оператора Тп, для которыхсправедливо равенствоTnfk(r) = cn<pk(r)(5.11)635.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металлаСп — собственное значение оператора Тп. Запишем (5.11), полагая п = 1 иn = N:(5.12)+ a),NTN<pk{r) = (ci) 4>kir) = <Pk(r + No).(5.13)Используя циклические условия (5.8), находим из (5.13)(ci)N= 1,илиСогласно определению (3.8) волнового числа к имеем2тг= к,Na(5.14)сг=егка.(5.15)отсюдаТаким образом, для произвольной трансляции па, используя (5.10), (5.11) и(5.15), находимсрк{г + па)=егкпасрк(г).(5.16)Здесь ехр(г кпа) является собственным значением оператора Тп, a <^fc(r) —его собственная волновая функция.
Условиям (5.16) удовлетворяет функцияБлоха (5.6). Покажем это:ik(r+na+ па) = e^uk(r+ па) ==гкпаегкгеТак как согласно условиям теоремы функция Ufc(r) периодическая с периодом решетки, тоик(г) =ик{г + па).(5.17)Таким образом, имеемгкпа гкг<рк(г + па) = е е ик(г)Это и доказывает теорему Блоха.=гкпае ^к{г).64Лекция 5Отметим, что функция y>fc(r), описывающая электрон в состоянии к,является собственной функцией оператора Блоха Hs и оператора трансляций Т. Из теоремы Блоха следует ряд важных следствий.
Так, каждаяволновая функция электрона в периодическом потенциальном поле характеризуется волновым вектором к. Елоховская волновая функцияимеет сходство с волновой функцией свободного электрона, т. е. с плоскойволной:<pk(r) = Aeik'T.Отличие, как хорошо видно, заключается только в модулирующем множителе. В связи с этим многие свойства электрона в периодическом полеаналогичны свойствам свободного электрона.
Волновой вектор к вводитсяс точностью до вектора обратной решетки и потому состояния электрона сволновыми векторами к и к + G эквивалентны.5.1.2. Точечная и трансляционная симметрия идеальнойкристаллической структурыКристаллическая решетка представляет собой систему определеннымобразом расположенных в трехмерном пространстве точек, занимаемыхионами металла.
Характерным элементом кристаллической решетки является элементарная ячейка, которая геометрически задается совокупностьютрех некомпланарных векторов (в простейшем случае) щ (г = 1, 2, 3). Если выбрать точку отсчета, то из нее можно построить любой узел решетки,используя элементы трансляций:I = lidi(г = 1,2, 3),li — целые числа.Таким образом, весь кристалл строится путем бесконечного повторенияэлементарных ячеек. Элементы трансляционной симметрии будут в основемногих последующих рассуждений.5.1.3. Элементарная ячейка кристаллической структуры.
ЯчейкаВигнера - ЗейтцаДля каждой кристаллической структуры существует некоторый произвол в определении формы элементарной ячейки. В связи с этим очень удобно использовать центрированные элементарные ячейки — ячейки Вигнера-655.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металлаЗейтца, которые, как будет видно далее, играют важную роль в электроннойтеории металлов. Такую ячейку можно построить согласно следующемуправилу: из выбранного центрального узла проводим векторы к ближайшим узлам решетки и строим плоскости через середины этих векторов иперпендикулярно к ним.
Возникающая область с центральным узлом естьэлементарная ячейка Вигнера-Зейтца. Если элементарная ячейка содержитодин атом, то структуру называют решеткой Бравэ, в противном случаеимеем решетку с базисом. Базисом определяется совокупность векторов,характеризующих положение атомов ячейки относительно одного из них.Ячейка Вигнера-Зейтца обладает тем свойством, что все точки решетки,принадлежащие ячейке, находятся ближе к центру ячейки, чем к какомунибудь другому узлу решетки. Удобство этой ячейки еще и в том, что оналучше всего аппроксимирует сферу, которую всегда приписывают атому вформальных моделях упаковки его в кристалле.5.1.4. Обратная решеткаЭлементарная ячейка считается заданной, если задана минимальнаясовокупность векторов, определяющих узлы ячейки относительно данногоузла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
