1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти, при каком соотношении между к\ и къ в числе поверхностейравного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.118. Точечные заряды q\ и — qi находятся на расстоянии h друг отдруга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центраи радиус. Найти значение потенциала ц> на поверхности этой сферы, если у(оо) = 0.119.
Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющийв сферических координатах вид: <р{т) = qe~ar/г, где a, q — постоянные.120. Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный импотенциал имел в сферических координатах вид ср(г) = ^е~где ео, а — постоянные.( р + 1J,121.
Найти энергию взаимодействия U электронного облака с ядромв атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотностью р(г) = — - ^ е ~ г , где ео — элементарный заряд (ср. с задачей 83),тгаа — постоянная (боровский радиус атома).122. В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются объемной плотностью р = — ^ | е ~ г , где а — боровский радиустгаатома, ео — элементарный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теориивозмущений).123. Центры двух шаров с зарядами q\ и q? находятся на расстоянии а друг от друга (а > R\ + Дг, где Ri,R-2 — радиусы шаров). Зарядыраспределены сферически симметричным образом.
Найти энергию взаимодействия U шаров и действующую между ними силу F.124. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается поддействием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженностьполя, при которой происходит пробой) равна -Бо, выяснить, можно ли сильно заряжая пузырь предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус R пузыря?40Глава II125*. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами аи Ь несут на себе равномерно распределенные заряды q\ и <7г- Расстояние между плоскостями колец с.
Найти энергию взаимодействия U колеци действующую между ними силу F.126. Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.127. Диполь с моментом pi находится в начале координат, а другойдиполь с моментом Р2 — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергиювзаимодействия U этих диполей и действующую между ними силу F. Прикакой ориентации диполей эта сила максимальна?128. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(т) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О.
Системапомещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть представлено в видеНайти энергию взаимодействия системы U с внешним полем щ, выразивее через а/ т и мультипольные моменты Qim системы (ср. с задачей 166*).ЛИТЕРАТУРАТамм И. Е. [101], Абрагам-Беккер [1], Джексон Дж. [52], Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В.
[93], Гуревич Л. Э. [49],Пановский В., Филипс М. [86].ГЛАВА IIIЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВИ ДИЭЛЕКТРИКОВ§ 1. Основные понятия и методы электростатикиЭлектростатическое поле в диэлектрике характеризуется вектором напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции D, которые удовлетворяют уравнениям:r o t E = 0,iилиdiv D = 4пр,j>DndS= 4nq,sгде р — плотность свободных зарядов в диэлектрике, q — полный свободныйзаряд, заключенный внутри поверхности S.
Плотность связанных зарядовв диэлектрике можно выразить через вектор поляризации Р (электрическийдипольный момент единицы объема диэлектрика, создаваемый связаннымизарядами):Рев = - div P .(III.2)Вектор поляризации Р выражается через Е и D :D = Е + 4тгР.(Ш.З)Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых поляхD = еЕ,(Ш.4)где е — диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных диэлектриках е — тензор II ранга, т. е.А = СгкЕк,(Ш.5)42Глава III(суммирование по к). Для описания поля удобно пользоваться скалярнойвеличиной — потенциалом ip:гоЕ = - grad <р, <р{т) = [ Е • dr,(III.6)ггде г — радиус-вектор точки наблюдения, <р(то) = 0.Потенциал удовлетворяет уравнениюdiv(egrady) = —4тг/0,(П1.7)которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнениюПуассонаД* = - ^ .(Ш.8)На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями должны выполняться граничные условия1Е1т = Е2т,D2n - Dln = 4тг(7(Ш.9)илиЧ>1=4>2, £ 1 ^ - - £ 2 ^ = 4 т г < т .(ШЛО)Орт нормали п проведен из первой среды во вторую; т — орт, касательныйк поверхности, а — поверхностная плотность свободных зарядов.
Поверхностная плотность связанных зарядов сгсв на границах раздела определяетсяформулой<Тсв = Pin ~ Pin(Ш. 11)Основная задача электростатики — нахождение потенциала ц> электрического поля. Она может быть решена разными методами. Основным методом является решение дифференциальных уравнений (Ш.7) или (Ш.8)с граничными условиями (Ш.9) или (ШЛО).
Иногда удается подобрать такую систему фиктивных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемойобласти удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям (метод изображений). В ряде случаев удается найти системуизображений простым подбором (см., например, далее, задачи 142, 146,153*, 155).'Граничные условия в форме (III.9) имеют место как в изотропных, так и в анизотропныхсредах.§ 1.
Основные понятия и методы электростатики43Внутри проводников, находящихся в постоянном электрическом поле, Е = 0. Поэтому граничные условия на поверхности проводника имеютвид:ЕТ = 0, tp = const.(III. 12)Если некоторая область пространства занята диэлектриком с проницаемостью е, и известно электростатическое поле во всем пространстве, топри е —> оо это поле принимает такой же вид, какой оно имело бы, если быданная область была занята проводником.Задача об определении электрического поля, создаваемого заданнойограниченной системой заряженных проводников, находящихся в диэлектрике, имеет единственное решение, если известен либо полный заряд каждого проводника, либо его потенциал.
В первом из этих случаев, нарядус условиями (III. 12) нужно использовать граничное условие(111.13)где q — заряд проводника, а интеграл берется по поверхности проводника.Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на одной изего обкладок (первой) к разности потенциалов между обкладками:С =^(Щ.14)Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его потенциалу (при этом нужно считать, что потенциал <р = Она бесконечности).Энергия электростатического поля, локализованная в объеме V, выражается интегралом по этому объему:W = fujdV,(III. 15)где из = D • Е/8тг — плотность энергии поля.Энергия W электростатического поля зависит от обобщенных координат а, характеризующих взаимное расположение заряженных тел.
Соответствующие обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены какпроизводные по координатам а от энергии W:=_(Ш_\ = (dW\\daJq \daJv'44Глава IIIПри постоянных зарядах q проводников следует пользоваться первым изэтих выражений, при постоянных потенциалах V — вторым.Если в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью е\ имелось сначала электрическое поле Е ь в которое затем было внесено диэлектрическое тело (объем тела V, диэлектрическая проницаемость £2), тоэнергия электростатического поля меняется на величинуE1dV,(111.16)где Ег — электрическое поле после внесения диэлектрического тела (источники поля E i при этом поддерживаются неизменными).
Величину Uможно рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического телас внешним полем E i (см. [76], стр. 108).Если диэлектрик изотропен и его диэлектрическая проницаемость зависит только от плотности массы т, то электрическое поле действует надиэлектрик с силой, объемная плотность которой выражается формулойf = рЕ_ ±Е*ffade+ JLgrader).(111.17)Объемные силы, действующие на свободные и связанные зарядыв некотором объеме V, могут быть заменены эквивалентной системой поверхностных натяжений, приложенных к поверхности S этого объема:F = ffdV=<I)TndS,V(III. 18)Sгде Т „ — поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней нормалью п.Поверхностные натяжения описываются тензором натяжений Г^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
