1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 3
Текст из файла (страница 3)
задачу 10*) приповороте координатной системы, определяемом углами Эйлера a i , в, аг (рис. 1).а,ГаРис. 119*. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат а может быть записана в виде а = 1+?", где е"— антисимметричнаяматрица (ецс = —£ki)- Выяснить геометрический смысл Sik20. Доказать, что если а — ортогональная матрица преобразования, топри ее транспонировании получается матрица обратного преобразования.21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы при отражении или повороте и матрица преобразования компонентвектора совпадают.22*.
Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен + 1 , а при отраженияхнечетного числа координатных осей этот определитель равен —1.23. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональныв любой другой системе координат. (Такие векторы называются параллельными.)'Преобразования, определитель которых равен + 1 , называются собственными; преобразования с определителем — 1 — несобственными.18Глава I24*. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин еца, обладающих следующими свойствами: при перестановке любыхдвух индексов е»*/ меняет знак; ei23 = 1.Показать, что эта совокупность е»*/ образует псевдотензор III ранга(совершенно антисимметричный единичный псевдотензор III ранга).25.
Доказать, что компоненты антисимметричного тензора II рангапри вращениях преобразуются как компоненты вектора.26. Записать выражения для компонент векторного произведения двухвекторов и вихря вектора с помощью тензора е ^ . Указать, как преобразуются эти величины при вращениях и отражениях.27. Доказать равенства:а) eikieimn = 6im6kn - SinSkm',б) ешеыт = 2Sim.28. Записать в инвариантной векторной форме:а)einieiraeimpeatpanarbmct;б) einiekrs^imp^stpara'rfikb'29.
Показать, что Tikafik — Tikukh = 2ш • (а х Ь), где Т ^ — произвольный тензор II ранга, а и b — векторы, ш — вектор, эквивалентныйантисимметричной части Т ^ .30. Представить произведение [а • (b x с)] [а' • (b' x с')] в виде суммычленов, содержащих только скалярные произведения векторов.УКАЗАНИЕ. Применить теорему об умножении определителей или воспользоваться псевдотензором III ранга еш (см.
задачу 24*).31*. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякийтензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален Sik; тензор III ранга — е ш ; тензор IV ранга — (бцсдш ++ SimSkl + 6ц6кт)32*. Пусть п — единичный вектор, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и ихпроизведений: щ, щпк, щпкЩ, щпкщпт, пользуясь трансформационнымсвойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующихинтегралов.33.
Найти усредненные по всем направлениям значения следующих выражений: (а • п ) 2 , (а • n)(b • п), (а • n)n, (a x n ) 2 , (a x n)-(b x п),(а • n)(b • п)(с • n)(d • п), если п — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, Ь, с и d — постоянные векторы.§ 2. Векторный анализ19УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.34.
Составить все возможные независимые инварианты из полярныхвекторов п, п' и псевдовектора 1.35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов п, п' и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векторов п ь п 2 , п 3 ?§ 2. Векторный анализВ произвольной ортогональной системе координат q\, дг> Цз квадратэлемента длины выражается формулой(1.14)а элемент объема — формулой(1.15)dV =где(1.16)— функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные операции записываются так:eie2/12/13/11/13/11/12дддrotA =dqi/ll^!1I д fh2h3 dip\dqi V hi dqjdq2hi Aie3(1.17)dq3h3A3д (hih3 ду\дс^У h2 dq2)я /hih2 dy?\ldq3\ h3dq3)\'.В формуле для rot А дифференциальные операторы -£—, действуют на элеoq%менты нижней строки определителя.20Глава IВ сферической системе координат:х = г sin д cos а,ЛР = 1,у = г sin д sin а,/itf = г,z = г cos i9;/i a = rsini9;dipe# dipedipgradyj = e r -^- + — - ^ H ^a — ^ 1 ;агг от г sin а аа±div A = ±§-(1.18)rsini? dar2d ipr2sin2дda2'В цилиндрической системе координат:х = г cos а,hr = 1,у = г sin а,ha = г,а<р~er~drz = z;hz = 1;е а a<p~r"dai Qdipez~dz'1 dAdAdiv A = - — (rAr) Hs-2- + -^-:xrdr'r dadzrdr\dr)r2 da2IdArdzdAzdr '(1.19)dz2'При любых А и ip имеют место тождества:rot grad ip = 0,div rot A = 0,div grad ip = Aip.(1.20)Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать объемные, поверхностные и контурные интегралы друг в друга.§ 2.
Векторный анализ21Теорема Остроградского-Гаусса.f dwAdV=vsгде V — некоторый объем, S — замкнутая поверхность, ограничивающаяэтот объем.Теорема Стокса.Л'rotA-dS,I Adl=(I.22)sгде I — замкнутый контур, S — произвольная поверхность, опирающаясяна этот контур.В формулах (1.21) и (1.22) вектор А должен быть дифференцируемойфункцией координат.36. Записать циклические компоненты1 градиента в сферических координатах.37. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими координатами, вычислить divr, rot г, grad(l • г), (1 • V)r, где г —радиус-вектор, 1 — постоянный вектор.38.
Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических)координатах, найти rot(u» x г), где ш — постоянный вектор, направленныйпо оси z.39. Доказать тождества:а) grad(yj^)) = ср grad •ф + •ф grad cp;б) div(y?A) = tp div A + А • grad tp;в) rot(y?A) = (р rot A — А х grad (p;г) div(A х В) = В • rot А - А • r o t B ;д) rot(A х В) = A d i v B - Bdiv А + (В • V)A - (А • V)B;е) grad(A • В) = А х r o t B + В х rot А + (В • V)A + (А • V)B.УКАЗАНИЕ.
Доказательство этих тождеств следует производить с помощьюоператора V, пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторови не переходя к проекциям на оси координат.'См. задачу 10*.22Глава I40. Доказать тождества:а) С • grad(A • В) = А • (С • V)B + В • (С • V)А;б) (С • V)(A х В) = А х (С • V)B - В х (С • V)A;в) (V • А)В = (А • V)B + В div A;г) (А х В) • rot С = В • (А • V)C - А • (В • V)C;д) (А х V) х В = (А • V)B + А х rotB - AdivB;е) (V х А) х В = AdivB - (А • V)B - A x rotB - В х rot А.41.Вычислить gradyj(r); d\vip(r)r; rotip(r)r; (142.
Найти функцию <р(г), удовлетворяющую условию div у(г)г = 0.43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а • г)Ь, (а • г)г,(а х г), <p(r)(a х г), г х (а х г), где а и b — постоянные векторы.44.Вычислить g r a d A ( r ) - r ,Tot<p(r)A(r), (1V()A()gradA(r) • В(г),div <p(r)A(r),45. Вычислить grad ^—^ и rot P 3 Г (р — постоянный вектор), воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).46. Доказать, что(А • V ) A = —А х rot Апри А 2 = const.47. Записать проекции вектора Д А на оси сферической системы координат.УКАЗАНИЕ. Воспользоваться тождеством ДА = — rot rot A + grad div A.48.
Записать проекции вектора Д А на оси цилиндрической системыкоординат.49. Интеграл по объему /(grad ip • rot A) dV преобразовать в интегралпо поверхности.50. Вычислить интегралы ^ г(а • n) dS, f(a • г)п dS, где а — постоянный вектор, п — орт нормали к поверхности.51.Интегралы по замкнутой поверхности fnipdS, $(n x a)dS,^ ( п • b)adS (b — постоянный вектор, п — орт нормали) преобразоватьв интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.УКАЗАНИЕ. Решение выполнить по образцу предыдущей задачи.§ 2. Векторный анализ2352. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущейзадаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.53*.
Пусть /(а, г) удовлетворяет условию+ c 2 a 2 , r ) = c i / ( a b r ) +с2/(а2,г),где с\ и С2 — произвольные постоянные, и является дифференцируемойфункцией г. Доказать, что если V — произвольный объем, S — ограничивающая его поверхность и п — орт внешней нормали к этой поверхности, тоимеет место обобщенная теорема Остроградского-Гаусса:Оператор V в подынтегральной функции /(V, г) действует на г и стоитлевее всех переменных.УКАЗАНИЕ. Разложить п по ортам декартовой системы координат и воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса:54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остроградского-Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.55. Интеграл по замкнутому контуру § ip d\ преобразовать в интегралпо поверхности, опирающейся на этот контур.56.
Интеграл § и df, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур (и, f —скалярные функции координат).57. Доказать тождество:/ (А • rot rot В - В • rot rot A) dA = <j> [(В х rot A) - (А х rot В)] • dS.58. Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div A = 0,а на границе объема (поверхность S) — условию Ап = 0.
Доказать,f24Глава I59*. Доказать, что div R / —= 0, где А(г) — вектор, определен|R — г|ный в предыдущей задаче.60. Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Остроградского-Гаусса:УКАЗАНИЕ. ИСХОДИТЬ ИЗ теоремы Остроградского-Гаусса для вектора Ai=, где а — произвольный постоянный вектор.61.
Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярнойфункции, зависящей только: а) от г; б) от •&; в) от а (сферические координаты).62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярнойфункции, зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).63. Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения Aip + k2ip = 0 и а — некоторый постоянный вектор, то векторныефункции L = grad^>, М = rot(a^), N = r o t M удовлетворяют уравнению Д А + fc2 A = 0.т22V2г64*.
Уравнение ^-z + ^ + ^z = \{a>b>c)аЬсс полуосями а, 6, с. Уравненияизображает эллипсоидизображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостнойгиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точкупространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями £, т], С- Числа £, т], С называются эллипсоидальными координатамиточки х, у, z. Найти формулы преобразования от £, т), С к х, у, z. Убедитьсяв ортогональности эллипсоидальной системы координат.
Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.25§ 2. Векторный анализ65*. При а = b > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему координат. Координата С при этом переходит в постоянную,равную —а2, и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол а в плоскости ху.Координаты £, г] определяются из уравненийг2= 1,2с +;= 1,где f ^ - с 2 , - с 2 ^ 77 ^ - а 2 .Поверхности £ = const представляют собой сплюснутые эллипсоидывращения вокруг оси z, поверхности 77 = const — софокусные с нимиоднополостные гиперболоиды вращения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
