1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Он надеется реализовать ее в следующей книге, которая будет называться «Современная электродинамика» и готовится сейчас к изданию в Научно-издательском центре«Регулярная и хаотическая динамика».2001 г.И. ТоптыгинПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУИЗДАНИЮОбщий характер сборника остался таким же, как и при первом издании.Во втором издании мы исправили замеченные ошибки, опечатки и неточности, а также дополнили книгу новым материалом. Введены новые разделы: сверхпроводимость, когерентность и интерференция (включая вопросыголографии), дифракция рентгеновых лучей, элементы физики плазмы. Существенно дополнены гл. IX — новыми задачами о резонаторах, в том числеоткрытых, гл. X — новыми задачами на преобразования Лоренца, гл. XI —рассмотрением кинематики трехчастичных распадов и двухчастичных реакций.
Кроме того, мы перешли в этом издании на неэвклидову четырехмерную метрику, получающую все большее распространение в физическойлитературе.Мы благодарны всем товарищам, чья помощь и поддержка способствовали выходу в свет второго издания книги, чьи замечания помогли улучшитьее содержание. Особенно мы признательны проф. И. М. Шмушкевичу заценные советы, касающиеся содержания гл. X, XI, и просмотр рукописиэтих глав, проф. Я. А. Смородинскому за поддержку и советы по содержанию книги в целом и проф. А. 3.
Долгинову за просмотр материалов гл. XIV.1969 г.В. Батыгин, И. ТоптыгинИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУИЗДАНИЮНастоящий сборник задач рассчитан в основном на студентов-физикови составлен с учетом существующих программ по электродинамике. Онможет быть использован в качестве учебного пособия на инженернофизических факультетах втузов, на физических факультетах университетови педвузов, а также на радиотехнических и других факультетах, на которых изучается теория электромагнитного поля. Часть задач, включенныхв сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более углубленным изучением вопросов электродинамики.Кроме задач, иллюстрирующих основные понятия и законы электродинамики, которые решаются простыми математическими методами, в сборник включено значительное количество более сложных задач (эти задачиотмечены звездочкой).
Некоторые из них требуют трудоемких вычислений,в других рассматриваются вопросы теоретического характера, обычно выпадающие из лекционного курса (распространение волн в анизотропныхи гиротропных средах, движение заряженных частиц в электромагнитномполе, представление электромагнитного поля в виде набора осцилляторови др.). Наконец, имеются задачи, в которых разбирается материал, мало отраженный в существующей учебной литературе: взаимодействие заряженных частиц с веществом (гл. XIII), применение законов сохранения к анализу процессов столкновений и распада частиц (§ 1 гл. XI), ферромагнитныйрезонанс (§ 3 гл. VI) и др.
В разделе «Ответы и решения» приведены ответына большинство задач; многие задачи снабжены решениями.В начале каждого параграфа дается краткое теоретическое введениеи приводятся необходимые формулы. Излагаемые сведения не претендуютна полноту; более полное освещение соответствующих вопросов читательнайдет в литературе, указанной в конце каждой главы.В книге всюду используется гауссова абсолютная система единиц, таккак она наиболее часто употребляется в физической литературе. Обозначения применяются общепринятые. К сожалению, не всегда удавалось избежать применения для разных величин одинаковых символов, и наоборот.Однако это не может привести к недоразумениям, так как в теоретическихвведениях указываются обозначения, используемые в соответствующих главах или параграфах.Из предисловия к первому изданиюВ математических приложениях к сборнику приведены основные данные о дельта-функции, цилиндрических и сферических функциях, необходимые для решения задач.При подготовке книги использовался опыт преподавания электродинамики на физико-механическом и радиотехническом факультетах Ленинградского Политехнического института.
Значительная часть приведенных задачрешалась студентами третьего и четвертого курсов на практических занятиях, при выполнении контрольных работ, в качестве заданий повышеннойтрудности, на зачетах и экзаменах.При составлении сборника были использованы курсы Л. Д. Ландауи Е. М.
Лифшица, И. Е. Тамма, Я. И. Френкеля, Абрагама и Беккера, В. Смайта, Дж. А. Стрэттона и др., а также многие монографии, обзорные и оригинальные статьи. Ряд полезных задач, содержащихся в этих руководствах,включен в сборник.1961 г.В. Батыгин, И. Топтыгин11ЗАДАЧИГЛАВА IВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕИСЧИСЛЕНИЕ§ 1. Векторная и тензорная алгебра.
Преобразованиявекторов и тензоровСкаляром (инвариантом) в трехмерном пространстве называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатнойсистемы.Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трехвеличин, преобразующихся при поворотах системы координат по формуламз(i.i)Здесь Ак — проекции вектора на оси исходной, а А[ — на оси повернутойсистемы координат; аце — коэффициенты преобразования, представляющиесобою косинусы углов между к-й осью исходной и г-й осью повернутойсистемы координат.В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом суммирования,принятым в тензорном анализе: будем опускать знак суммы, подразумеваясуммирование во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаютсядва одинаковых индекса.
В соответствии с этим правилом, равенства (1.1)запишутся так:А[ =aikAk.Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная величина Тцс (г, к = 1,2,3), преобразующаяся при поворотахкоординатной системы следующим образом:Tik = OcuakmTlm(1.2)(сумма по I, т). Аналогично тензор s-ro ранга в пространстве трех измерений определяется законом преобразования:Тш.. .г=аИ'акк'• • -CHrr'Ti'k'l'.В этом равенстве величины Т имеют по s индексов.. .г'-(1-3)14Глава IВеличины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатнойсистемы, могут двояко вести себя при инверсии системы координат (преобразование х' = —х, у1 = —у, z' = —z).
Те векторы, компоненты1 которыхпри инверсии координат меняют знак, называются полярными векторами,или просто векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака приинверсии системы координат, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами. Примером аксиального вектора может служить векторноепроизведение двух полярных векторов. Аналогично тензор s-ro ранга называется просто тензором, если его компоненты преобразуются при инверсиикак произведения s координат, т.
е. умножаются на (—I) 8 , и псевдотензором,если его компоненты умножаются на ( — l ) s + 1 .Таблица коэффициентов преобразования(an«21ai2 ai3\«22 СК23 I(1.4)«3i аз2 а з з /называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которогосовпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителемэтой матрицы:^an ai2 ai3| S | = O!21 0122 <*23 •«31 «32 «33(1.5)Суммой двух матриц a + /3 называется такая матрица % элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:lik=O4k+0ik.(1.6)Произведением двух матриц а/3 называется такая матрица % элементы которой получаются из элементов перемножаемых матриц од и /?^ по правилу:Ък = аийк(1.7)(суммирование по /).
Матрица 7 описывает такое преобразование, которое получается при последовательном выполнении преобразования сначалас матрицей 0, а затем с матрицей а.Единичной матрицей называется матрица вида(1.8)1Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров (см., например, [107]), так как оно несущественно для вопросов, рассматриваемых в этой книге.§1. Векторная и тензорная алгебра15Она описывает тождественное преобразование {А[ = Ai). Элементы единичной матрицы обозначаются символом Sik:приi = k,пригфк.( L 9 )Матрица видаа=0а20(1.10)называется диагональной матрицей.Если элементы матрицы удовлетворяют условиям(1.11)= бы,то она называется ортогональной.Матрица а " 1 , удовлетворяющая условиямаа'1=а~1а=1,(1.12)называется обратной матрице а.
Она описывает обратное преобразование,т. е. если А\ = aikAk, то Ак = а^А[.Матрица а, которая получается из а заменой строк на столбцы, называется транспонированной:а = I ai2 а 2 2 а 3 2 I ,\ai3 "23 "зз/aik = aki.(I.13)1. Два направления п и п ' определяются в сферической системе координат углами Ь,аи $', а'. Найти косинус угла в между ними.2. Доказать тождества:а) (А х В) • (С х D) = (А • С ) ( В • D) - (А • D ) ( B • С);б) (А х В) х (С х D) = [А • (В х D)]C - [А • (В х C)]D == [А • (С х D)]B - [В • (С х D)]A.3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трехвеличин ai (i = 1,2,3) и известно, что а*6» = inv относительно поворотови отражений.
Доказать, что если 6* — произвольный вектор (псевдовектор),то ai — также вектор (псевдовектор).16Глава I4. Доказать, что если а» = Tikbk в каждой системе координат и Т ^ —тензор II ранга, а Ьк — вектор, то а* — тоже вектор.5. Доказать, что -^- есть тензор II ранга.ОХк6. Доказать, что если Т»^ — тензор II ранга и Р ^ — псевдотензорII ранга, то TikPik — псевдоскаляр.7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное относительно вращении, т. е. тензор, симметричный (антисимметричный) в некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричным) и вовсех системах, повернутых относительно исходной.8.
Показать, что если тензор Sik — симметричный, а тензор Aik —антисимметричный, то AikSik = 0.9. Доказать, что сумма диагональных компонент тензора II ранга является инвариантом.10*. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора ах, ау, az рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами a±i = T~h=(o-x ± i>ay)> ao = а-z- Выразить скалярноеи векторное произведения двух векторов через их циклические компоненты.Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровыефункции1 Лежандра.11*. Найти компоненты тензора е~кх, обратного тензору £•»*,.
Рассмотреть, в частности, случай, когда £•»*, является симметричным тензором, заданным в главных осях.12. Пусть во всех координатных системах компоненты вектора а линейно выражаются через компоненты вектора Ь: а, = е%кЬк- Доказать, чтосовокупность величин Sik является тензором II ранга. (Точнее, Sik являетсятензором, если а и b — оба полярные векторы или псевдовекторы, и псевдотензором, если один из векторов — полярный, а другой — аксиальный.)13.
Показать, что совокупность величин АцаВус, где Aiki — тензорIII ранга, a Bik — тензор II ранга, является вектором.14. Найти закон преобразования совокупности объемных интегралов Tik = / XiXk dV при пространственных поворотах и отражениях(xi и Хк — декартовы координаты).'Определение шаровых функции приведено в приложении 2.§ 1.
Векторная и тензорная алгебра1715. Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе отдекартовых координат к цилиндрическим и обратно.16. Записать матрицу преобразованиякомпонент вектора: при отражении трех координатных осей; при повороте декартовойсистемы координат вокруг оси z на угол а.17. Найти матрицу преобразованиякомпонент вектора при повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера сц,в, аг (рис. 1), путем перемножения матриц,соответствующих поворотам вокруг оси zна угол «1, вокруг линии узлов ON наугол в и вокруг оси z' на угол а^.18. Найти матрицу D(aida2), с помощью которой преобразуются циклическиекомпоненты вектора (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
