1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 ).= const/Т) = COIlSt= constРис.2Рис.3Найти выражения г, z в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.66*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64*) при а > b = с. Координата 77 при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а,отсчитываемым в плоскости yz от оси у.26Глава IКоординаты £, С определяются из уравненийwI2'21О/•Г2где £ > - Ь , - Ь ^ С > -а .Поверхности постоянных ^ и £ представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3). Выразить величины х, г через £, С; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласав переменных £, С, а.»/ = const= constРис.467. Бисферические координаты £, т/, а а связаны с декартовыми соотношениями:а; =У =a sin Tf cos ach£ — COST;'a sin r/sin аch£ — COST;'ash£z = c h £ — COST;'где a — постоянный параметр, — o o < £ < o o , 0 < 77 < тг, 0 < a < 2тг.27§ 2.
Векторный анализПоказать, что координатные поверхности £ = const представляют собой сферы х2 + у2 + (z — a c t h £ ) 2 = ( - г т ) , поверхности г] = const —веретенообразные поверхности вращения вокруг оси z, уравнение которыхповерхности a = const — полуплоскости, расходящиеся от оси z (рис. 4).Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны междусобой.
Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.МРис.568. Тороидальные координаты р, £, а образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотношениямиX =ashp cos ach p — cos £'ashp sin aУ = dip — cos£'Z =asin£ch p — cos £'28Глава Iгде а — постоянный параметр, —оо < р < оо, — 7г < £ ^ 7г, а — азимутальный угол, изменяющийся в пределах от 0 до тт.Показать, что р = In £ | (см. рис. 5, на котором изображены плоскости а = const, а + тг = const), a величины £ представляют собой уголмежду г\ и Г2 (£ > 0 при г > 0 и £ < 0 при z < 0).
Какой вид имеюткоординатные поверхности р и £? Найти коэффициенты Ламэ.ЛИТЕРАТУРАСмирнов В. И. [94, 95], Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэттон Дж. А. [100], Гельфаид И. М. [30], Гельфанд И. М , Минлос. Р. А., Шапиро 3. Я. [31], Морс Ф. М , Фешбах Г. [81], Лебедев В. П., Скальская И. П.,Уфлянд Я. С. [69].ГЛАВА IIПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕПОЛЕ В ВАКУУМЕВ этой главе содержатся задачи на определение потенциала <р(т) и напряженности поля Е(г) по заданному распределению зарядов, характеризуемому объемной р(г), поверхностной ст(г) или линейной х(т) плотностью.Распределение точечных зарядов может быть описано объемной плотностью р(т) = ^2 <7i<S(r — Ti), где <7J — величина г-го заряда, г* — радиус-век-*тор г-го заряда, 5(т — Ti) — <5-функция (см. приложение 1).
Напряженностьэлектрического поля удовлетворяет уравнениям Максвеллаdiv Е = 47гр,rot Е = 0.(II. 1)Бывает полезна интегральная форма первого из этих уравнений (электростатическая теорема Гаусса):l(11.2)где 5 — некоторая замкнутая поверхность, q — полный заряд внутри этойповерхности. Потенциал и напряженность электрического поля связаны соотношениямигоE = -grad^,<р(т) = J Е • dr,<p(ro) = O.(11.3)гПотенциал ip удовлетворяет уравнению ПуассонаА<р = -Ажр.(НА)Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства, где нетточечных зарядов, в частности, на заряженной поверхности, разделяющей30Глава IIобласти 1 и 2, ц>\ = ц>2 (рис.
6). Нормальные производные ц> терпят разрывна заряженной поверхности:ИЛИ^ - ^ = 4 Т Г < Т .(П.5)Нормаль п направлена из области 1 в область 2.На поверхности двойного электрического слоя с мощностью г (см.,например, [101])(U.6,(нормаль п имеет направление от отрицательной стороны слоя к положительной).Если распределениям зарядов р\ и рч соответствуют потенциалы <р\и tf2, то потенциалом распределения р = pi + р2 является ц>=ц>\ + ц>2(принцип суперпозиции).
То же справедливо для электрического поля Б . В частности, принцип суперпозиции позволяет из потенциаловэлементарных зарядов q/r получать путем суммиро(2)вания потенциалы сложных систем зарядов:В случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный интеграл в (П.7) заменяетрис 6ся соответствующим поверхностным или линейныминтегралом, а в случае системы точечных зарядов —суммой по зарядам. Это замечание относится также ко всем нижеследующим формулам, в которых содержатся объемные интегралы по распределению зарядов.В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (П.7) затруднительно. В связи с этим часто применяется представление потенциала в видеряда, который получается в результате разложения подынтегрального выражения по степеням х/r или х'/r и почленного интегрирования.
Такоеразложение можно получить как в декартовых, так и в сферических координатах.Декартовы координаты (рис. 7). При г > а (а — наибольшее расстояние зарядов системы от полюса О):<p(xyz) =гPдхаг+2! дхадх/згQgfrд33! дхпдхядхч1г(П.8)31Постоянное электрическое поле в вакуумеМультипольные моменты q, pa, Qa/3 • • • выражаются объемными интегралами:— полный заряд системы,q = I р{т) dV'— компоненты дипольного момента,Ра = I p(r')x'a dV'(II.8')— компоненты квадрупольного момента.Qap = I р{г)хах'р dV'Величины q, pa, Qap • • • при повороте системы координат преобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор II ранга и т.д. Второйи третий члены потенциала (П.8) могут бытьзаписаны в формег3(П.9)'R = r-r'r{r,d,aгде р = (px,Py,Pz) — вектор дипольного момента системы;(Зу2 - r2)Qyy + (3z2 -r2)Qzz+хо6xyQxy + 6xzQxz + 6yzQyz].Рис.7Сферические координаты.
Используем разложение | г — r ' | - 1 , приведенное в приложении 2 (П2.15). Подставляя это разложение в (П.7), получимпри г > г':ооf\ >I,2-~i 2-~i у 21 +1/=0 m=-l(г > г'),(11.10)'где Qim — мультипольный момент порядка I, т;(11.11)Если г' > г, то в (Ш1,15) г и г' меняются местами и=Е Е/=0 m=-/(11.12)32Глава IIгдеЕсли точка наблюдения г находится внутри распределения зарядов (см.рис.
7), то нужно разбить область интегрирования в (П.7) на две частисферой радиуса г с центром в полюсе О. При интегрировании по областивнутри сферы нужно пользоваться разложением (П2.15), при интегрировании по внешней области — формулой (П2.15) с заменой г <^ г'.Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убываетна больших расстояниях не медленнее, чем 1/г. Но при рассмотрении полявблизи средней части длинного цилиндра или ограниченного плоского телацелесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным.
При этомпотенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает полена расстояниях, малых по сравнению с размером тела.Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системыдифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных координатах Ц\,Ц2, <?з имеет видi?!£2£3где /ij — коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности описываются уравнением ip(r) = const.Точками равновесия поля называются такие точки, находящиеся наконечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = 0.Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной изформул:W = -±- / E*dV,W = ± / ptpdV(11.15)(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями:JJ| 12|Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием U или W по соответствующим обобщенным координатам а,:ffi.Постоянное электрическое поле в вакуумеОбобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответствующую координату.69.
Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена пообъему с плотностью р. Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля.70. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р == ро cos ах cos /Зу cos jz, образуя бесконечную пространственную периодическую решетку. Найти потенциал tp электрического поля.71. Плоскость z = 0 заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону ст = сто sin ax sin (Зу, где сто, а, (3 — постоянные. Найтипотенциал tp этой системы зарядов.72.
Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномернозаряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длиныприходится заряд н. Найти потенциал tp и напряженность электрическогополя Е.73. Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.74. Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающегочасть оси z от —а до +а; заряд отрезка q.75.
Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.76. Найти потенциал tp и напряженность Б электрического поля шара,равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q.77. Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля сферырадиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.78. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объемус плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой R\, а центр отстоит от центра шара на расстоянии а (а + R\ < R).Найти электрическое поле Е в полости.79.
Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусыкоторых R\ и Лг ( # i < R2), заряжено с объемной плотностью р = ^.Найти полный заряд q, потенциал tp и напряженность Е электрическогополя. Рассмотреть предельный случай Лг —> Ri, считая при этом q = const.3334Глава II80. Найти энергию электростатического поля W для распределенийзаряда, указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
