1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(11.15)).81. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г).Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р(г)потенциал <р и напряженность Б поля (записать <р и Е в виде однократногоинтеграла по г).82. Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.83. Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нор_2гмальном состоянии, с плотностью р(г) =^еа,а = 0,529 • 10~ 8 см —•каборовский радиус атома, ео = 4,80 • 10~ 1 0 CGSE — элементарный заряд.Найти потенциал ipe и напряженность Еег электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал <р и напряженность поля Б в атоме,считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат.
Построитьприблизительный ход величин <р и Е.УКАЗАНИЕ. Полезно воспользоваться методом решения задачи 81.84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля i?max1Радиус ядра R = 1,5 • 10~ 1 3 А 3 см, заряд Zeo (А — атомный вес, Z —порядковый номер, ео — элементарный заряд).85. Используя результат задачи 81, решить задачу 77.86.
Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженныхколец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга.Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q избесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно А\ и Аг.Найти заряды на кольцах q\ и 9287. Найти потенциал f и напряженность Б электрического поля на осиравномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q.Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Биспытывает скачок 4псг. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.88. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномернои противоположно заряженных полуколец с зарядами q и —q.
Найти потенциал <р и напряженность Б электрического поля на оси кольца и вблизи нее.Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?Постоянное электрическое поле в вакууме3589. Выразить потенциал tp равномерно заряженного круглого тонкогокольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интегралпервого родатг/2к(к)= [а2^УКАЗАНИЕ. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену а' =90. Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкогокруглого кольца (см. задачу 89), потенциал tp электрического поля: а) наоси кольца; б) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи нити кольца.УКАЗАНИЕ.
ДЛЯ случая в) воспользоваться формулами 8.113 в справочнике [90].91. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону <т = сто cos •&.Найти потенциал tp электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.92. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом.
Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют. Выразить потенциал tp и напряженность Е электрического полявблизи оси симметрии через значения потенциала tp и его производных наэтой оси.93. Найти потенциал tp электрического поля равномерно заряженногокруглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, радиуса R.94.
Найти потенциал tp электрического поля на больших расстоянияхот следующих систем зарядов: а) заряды q, —2q, q расположены по оси z нарасстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеютразные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороныквадрата параллельны осям хну (плоский квадруполь).95. Найти потенциал tp электрического поля на больших расстоянияхот следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 8а), б) пространственный октуполь (рис. 86).96. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами (го, i?oi ао). Разложить по мультимополям потенциал tp этого заряда.36Глава II97. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему;полный заряд эллипсоида q.
Найти потенциал <р на больших расстоянияхот эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частныеслучаи эллипсоида вращения с полуосями1 а = 6 и с и шара (а = Ь = с).УКАЗАНИЕ. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться обобщенными сферическими координатами х = ar sin fl cos а, у = brsintfsina, z == cr cos д.b+9а/-q-Q[-я.+q6)Рис.898. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольцас радиусами а и 6 (а > 6) и зарядами qn —q соответственно, расположеныв одной плоскости.
Найти потенциал <р на большом расстоянии от этойсистемы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см.задачу 94).99*. Показать, что распределение заряда р = — (р' • V)J(r) описываетэлементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением ^-функции(приложение 1).УКАЗАНИЕ. ИСХОДИТЬ ИЗ разложения по мультиполям в декартовых координатах.100.
Доказать, что распределение зарядов= qf[(ai-V)6(r)*=1'Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближениирассматривать как эллипсоиды вращенияПостоянное электрическое поле в вакууме37создает потенциал101. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольныймомент является тензором II ранга, найти поле tp на большом расстоянии отлинейного квадруполя, направление оси которого определяется полярнымиуглами 7, (3.
Каким еще способом можно решить задачу?102. Пространственный октуполь (рис. 86) повернут вокруг оси z наугол 0. Найти поле tp на больших от него расстояниях путем преобразованиякомпонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения.103.Найти потенциал tp электрического поля на больших расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей черезось z (рис. 9).
Компоненты квадрупольного момента получить непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 946).104. Шар радиуса R равномернополяризован, дипольный момент единицы объема Р . Найти электрическое поле tp.105.Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не зависящей от координаты z. Если р(г) ф 0 в ограниченной области 5 плоскости ху, то можно разложить потенциал tp вне распределениязарядов по мультиполям (двумерные мультиполи).
Найти это разложение.УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 73 и принцип суперпозиции, а такжеразложение 1п(1 + и2 — 2ucosy>) = — 2 *-••=1cosfcy;kIT u , \u\ < 1 (см. [90], 1.514)."*106. Разложить по двумерным мультиполям потенциал tp электрического поля линейного заряда х. Заряженная линия параллельна оси zи проходит через точку (го, с*о) плоскости ху.107. Найти потенциал tp электрического поля на большом расстоянииот двух близких параллельных линейных зарядов к и — х, расположенныхна расстоянии а друг от друга (двумерный диполь).38Глава II108.
На диске радиуса R имеется двойной электрический слой мощностью г = const. Найти потенциал (р и напряженность Е электрическогополя на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.109. Найти напряженность Е электрического поля двойного электрического слоя мощностью г = const, занимающего полуплоскость у = 0,х > 0. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока,текущего вдоль оси z. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя;б) определив сначала электростатический потенциал у.НО. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда +q, находящегося в точке z = а, и заряда ±q, находящегосяв точке z = —а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?УКАЗАНИЕ.
Вследствие симметрии силовые линии располагаются в плоскостях а = const, a Ez и Ег не зависят от а (цилиндрические координаты). Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий (II. 14) разделяются послезамены:z+az— a«=-г-, «=-г-111. Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного диполя в начале координат.112.
Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.113. Доказать, что поток напряженности электрического поля точечного заряда q через поверхность 5 равен qQ. Здесь Q — телесный угол,под которым виден контур поверхности 5 из точки, где находится заряд q(Q > 0, если из этой точки видна отрицательная сторона поверхности).114. Заряд q\ находится на оси симметрии круглого диска радиуса а нарасстоянии а от плоскости диска. Какой величины 92 заряд нужно поместитьв симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрическогополя через диск в сторону заряда q\ был равен Ф?115*.
Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных зарядов 9i, 92! • • •! 9п расположенных в точках z\, z-i,..., zn оси z, не интегрируядифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовойлинии вокруг оси симметрии.116. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов (ср, с задачей 110) и линейногоквадруполя (ср. с задачей 112).39Постоянное электрическое поле в вакууме117. Равномерно заряженные нити, несущие заряды х\ и —хг на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
