1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Все зд > 0.54Глава IIIОчевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов:(t = 1,2,3, . . . , п ) .(Ш.28)fc=iВеличины Cik называются емкостными коэффициентами. Приэтом сц > 0 (собственные емкости); сц, = Cki > 0 при г ф к (коэффициенты взаимной емкости, или просто взаимные емкости).Величина од представляет собой заряд, приобретаемый i-м проводником, когда все проводники кроме fc-ro заземлены, а fc-й проводник имеетпотенциал V* = 1. Матрицы ОД и од являются взаимно обратными.В случае одиночного проводника имеется единственный емкостныйкоэффициент с ц , называемый при этом просто емкостью. Емкость конденсатора (III.
14) может быть выражена через емкостные коэффициенты егообкладок (см. задачу 180).Энергия системы проводников имеет вид\\г,кi,kОбобщенная сила Fa соответствующая обобщенной координате а, определяется формулами:d.1Г 2 . faMk ==+2+2ikikПри решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности Грина: если потенциалы п проводников равны V\, V2, V3, .
. . , Vn,когда их заряды 91, 42, Яз, • • •, Яп и равны V{, V{, V3, . . . , V^, когда ихзаряды ?i, ?2> ?з< • • • 1 ?п> т 0 имеет место соотношение:179. Доказать теорему взаимности Грина (Ш.31). Доказать с помощьютеоремы Грина, что од = s^.180. Система состоит из двух проводников, удаленных от всех другихпроводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразитьемкости С и С конденсатора и уединенного проводника, образующих этусистему, через ее емкостные коэффициенты.
Доказать, что взаимные емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2,равны нулю.§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты181. Выразить потенциальные коэффициенты од через емкостные одв случае системы двух проводников.182.
Емкости двух уединенных проводников равны с\ и сг. ЭТИ проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е вакуумена расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами.Показать, что емкостные коэффициенты системы равны„ /Cll=Cl\l-\С1С2С\С2\—),С12 =С= СУКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностьюдо величины 1/г.183. Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны с ц ,С22, ci2 = C21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служатэти два проводника.184.
Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по угламквадрата. Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволочкой поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределениезаряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальныекоэффициенты системы заданы.185. Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятсяв вершинах равностороннего треугольника со стороной b ^ а. Вначале всесферы имели одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись навремя, достаточное для установления равновесия.
Какой заряд остается накаждой сфере по окончании всех операций?186. Собственные емкости двух проводников, находящихся в однородном диэлектрике, С\ и Сг, их потенциалы V\ и V2, расстояние междупроводниками г много больше их размеров. Найти действующую междуними силу F.187. Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом V\ содержитвнутри себя проводник с потенциалом Vo. При этом потенциал в некоторойточке Р между проводящими поверхностями равен Vp.
Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р помещен заряд q. Какие заряды будут приэтом индуцированы на проводниках?188. Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.5556Глава HI189. Два проводника с собственными емкостями сц и с22 и взаимной емкостью с\2, составляющие часть некоторой системы изолированныхпроводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкостьобъединенного проводника, коэффициенты взаимной емкости его и остальных проводников системы?190.
Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и внешних обкладок, соответственно а и 6, изолированы и находятсяна большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщенызаряды q и q\, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти(приближенно) изменение AW энергии системы.191. Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через котороепроходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводником, находящимся на большим расстоянии гот конденсатора.
Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд q. Раднус внешней обкладки конденсатора 6, радиус внутренней обкладки а. Найти силу F, действующую на третий проводник.192*. Проводник заряжается путем последовательных подсоединенийк разрядному шарику электрофора.
Шарик электрофора после каждого подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При первомподсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд получит проводник после очень большого числа подсоединений?§ 3. Специальные методы электростатикиВ этом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам электростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные методы решения задач электростатики изложены в рядекниг ([46], [66], [69], [93], [100]) в настоящем сборнике иллюстрируютсялишь некоторые из этих методов: метод криволинейных координат (дляслучаев эллиптических поверхностей и поверхностей двух сфер), методыизображений, интегральных преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется непосредственно в решениях задач (более подробно,например, в задачах 193*, 195*, 205*, 209*, 211*, 215*).
Изложим здеськратко только метод инверсии.Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка его переходит в точку, сопряженнуюотносительно некоторой, надлежащим образом выбранной сферы инверсиирадиуса R. Если сферическими координатами (с началом в центре сферы§ 3.
Специальные методы электростатики57инверсии) первоначальной точки являются г, д, а, то сферическими координатами инвертированной точки будут г' = В?/г, i?, а. В векторнойформе1( Ш 3 2 )г11гПреобразование инверсии обладает свойством конформности. При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежитна преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот).Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если функция ср(г) является решением уравнения Лапласа в исходномпространстве, то<р'(г') = -н<я(г) = ^(р(Щт')(Ш.ЗЗ)представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном пространстве.Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так.Нужно найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов qi, находящихся в точках г$. Потенциал на бесконечности V = const.Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников приобрели более простую форму.При этом точечные заряды qi заменяются зарядамиq'i = r:Qu(111.34)находящимися в точкахКроме того, в точке г' = 0 появляется точечный заряд9о = -НУ.(Ш.35)В инвертированной системе решаем электростатическую задачу — находим потенциал </?'(г').
Потенциал <р(г) можно затем получить с помощьюобратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот — по известному <р находить (р'.193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, 6, с помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал р,а также емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда а на егоповерхности.58Глава IIIУКАЗАНИЕ.
Воспользоваться эллипсоидальными координатами (см. задачу 64*). Искать потенциал в виде (£)194. Исходя из результатов предыдущей задачи найти потенциалыи емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения. Рассмотретьчастные случаи тонкого длинного стержня и тонкого диска. Емкость Си потенциал <р вытянутого эллипсоида вращения найти также, используярезультат задачи 75.195*. Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в пустоте в однородном внешнем поле, напряженность Бо которого параллельна одной изосей эллипсоида. Найти потенциал <р полного электрического поля.УКАЗАНИЕ.
Воспользоваться эллипсоидальными координатами задачи 64*.Граничные условия на поверхности эллипсоида (£ = 0) могут выполняться только,если зависимость потенциала <//, вызванного наведенными зарядами, от г), £, будеттакая же, как у внешнего поля:196. Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Ео. На заземленной обкладке имеется проводящий выступ в форме половины вытянутого эллипсоида вращения, ось симметрии которого перпендикулярнак плоскостям обкладок.
Расстояние между обкладками велико по сравнениюс размерами выступа. Найти электрическое поле ц> в конденсаторе. Определить, во сколько раз максимальное значение напряженности поля Етяхи превосходит EQ}197. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнемоднородном поле Бо, ориентированном произвольно по отношению к егоосям. Найти полное электрическое поле (р.
Рассмотреть поле на большихрасстояниях от эллипсоида, выразив его через коэффициенты деполяризации:оо(х) _аЬсоо[(У) _аЬсdsоd s(Д. ='Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.[ds§ 3. Специальные методы электростатики59198. Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенныхв предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения (а > Ь == с). Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида (стержня)и эллипсоида, близкого к шару.199.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
