1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В таком случае элементарную ячейку можно задать матрицейагз = (А)г],(5.18)где элементы матрицы являются прямоугольными проекциями составляющих ячейку векторов. Такой ячейке можно сопоставить другую ячейку,задаваемую обратной матрицей{В)13Поскольку (A)ij(B)ij= {А)тзК(5.19)= 1, то необходимо, чтобыa-ijbij = 5ij,(5.20)Oi-bj(5.21)= 5ij.Таким образом, векторы bj обратны векторам базиса а, и представляютсобой базис обратной решетки. Так, если вектора X и Y определены какX = ХгЩ, Y = yibi, ТО X • Y = ХгУг.66Лекция 5Определим вектор обратной решетки из набора:G = п^тг^ + п22тгЬ2 + п32тгЬ3,(5.22)где rij — целые числа, в том числе отрицательные и нуль. Концы векторовG образуют обратную решетку. Множитель 2тг сразу введен в определениевектора обратной решетки для того, чтобы при разложении функции повекторам обратной решетки запись совпадала с принятым определениемволновой функции свободного электронаЕсли вектор R есть вектор трансляции прямой решеткиR = z\a\ + Z OQ + z3a3,2то скалярное произведение G • R равноG • R = 2-КП^Г = 2тггп1(г = 1, 2, 3).(5.23)Введенная таким образом обратная решетка является инвариантным геометрическим объектом, свойства которого играют важную роль в теорииметаллов.
Рассмотрим плоскую волну с вектором обратной решетки G:e x p ( i G - r ) = / ( G , г).(5.24)Подействуем на эту функцию трансляционным оператором Тц\TRf(G,r ) = / ( G , г + Л)=ехр(гС?-(г + Л))=ехр(гС?-Л)ехр(гС?-г).Используя здесь выражение (5.23), находимTRf(G,2iGг) = e * ™ b e " \(j = 1,2,3).(5.25)Таким образом, функции вида (5.24) обладают полной трансляционной периодичностью решеточного потенциала. Такой же периодичностью обладают и функции Mfc(r), согласно (5.17). Поэтому их можно разложить в рядФурье по функциям (5.24):i Gn -r).(5.26)5.1.
Электронный газ в периодическом поле ионов металлаТогда блоховская функция (5.6) может быть записана в формеЭто представление волновой функции электрона в периодическом поле является особенно важным при расчете электронных состояний. Отметимкратко некоторые свойства обратной решетки:1. Каждый вектор обратной решетки G ортогонален некоторой плоскости, образованной атомами прямой решетки.2. Длина вектора | G обратно пропорциональна расстоянию междусоответствующими атомными плоскостями.3. Объем иоб обратной ячейки обратно пропорционален объему vnячейки прямой решетки:«об = ^ - .(5.28)5.1.5.
Зоны БриллюэнаВ обратном пространстве удобно выбрать элементарную ячейку аналогично ячейке Вигнера-Зейтца в прямой решетке. Эта ячейка называетсяпервой зоной Бриллюэна и содержит те точки обратного пространства, которые находятся ближе к центру ячейки, чем к любой другой точке. Обратными векторами G здесь будут являться вектора, соединяющие два любыхузла обратной решетки. Отсюда хорошо видно, что если состояние электрона определяется волновым вектором к, то другое состояние электронак' = к + G будет ему эквивалентно. Действительно, так какik-R_ik'-R _ik-Ri G R_ik-Rчто справедливо для любого вектора -R прямой решетки. Следовательно,волновые функции, описывающие состояния кик'должны быть тождественны.
Итак, для всех точек, лежащих вне зоны Бриллюэна всегда найдутся эквивалентные им точки внутри зоны Бриллюэна, а каждой точкена поверхности зоны Бриллюэна найдется эквивалентная точка, лежащаятакже на поверхности зоны. Иначе говоря, любую точку к в обратном пространстве можно привести к соответствующей точке в первой зоне Бриллюэна. Это значит, что любую волновую функцию можно описать в схемеприведенных зон, так же как и в схеме расширенных зон. Важным выводом6768Лекция 5этих рассуждений является утверждение, что все состояния электронов впериодическом поле решетки характеризуются значениями волнового вектора к, лежащими внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна.Отсюда следует, что энергия электронных состояний будет многозначнойфункцией волнового вектора к.
Непосредственно мы убедимся в этом, рассматривая энергетический спектр электрона, движущегося в периодическомполе решетки.5.1.6. Число электронных состояний в зоне БриллюэнаПодсчет разрешенных электронных состояний, т. е. значений волновоговектора к, в кристалле можно осуществить, присоединяя циклические граничные условия Борна- Кармана. Мы уже дважды использовали эти условия при подсчете электронных состояний в модели свободных электронов ипри доказательстве теоремы Блоха. Сейчас мы обсудим этот вопрос несколько подробнее.
Дело в том, что рассмотрение бесконечных кристаллическихструктур требует бесконечного ряда волновых функций. Однако, можноизбежать этой трудности, используя трансляционную симметрию кристаллической решетки. Суть процедуры заключается в следующем: Формальнокристалл можно разбить на ряд микрокристаллов, содержащих конечноечисло элементарных ячеек, например N ячеек, в каждом из трех пространственных направлений. Потребуем, чтобы при этом удовлетворялись граничные условия:ipk(r + Na) = tpk(r).(5.29)Принятое деление, естественно, носит произвольный характер. Однако, отметим, что оно и необходимо нам как математический прием с тем, чтобыполучить обозримый объект, впоследствии же можно перейти к пределу,устремляя число JV к бесконечности. Сами граничные условия Борна-Кармана (5.29) наглядно можно осуществить в одномерном случае, беря замкнутую кристаллическую цепочку.
Трехмерный вариант этих условий реальнопредставить уже невозможно, но это не должно вызывать каких-либо сомнений, поскольку эти граничные условия не вносят никаких изменений врассматриваемую физическую картину.Используя эти граничные условия (5.29) в одномерном случае при доказательстве теоремы Блоха, мы получили для разрешенных значений волнового числа выражение (5.14):к=| р ,(5.30)695.1.
Электронный газ в периодическом поле ионов металлагде z = 1, 2, . . . , N. Однако, выбирая обратную ячейку в виде зоныБриллюэна, т. е. в одномерном случае в виде центрированного отрезка,необходимо взять для изменения величины z интервал(5.31)-\N<Z<\N.Это значит, что мы из многих возможных эквивалентных вариантов выбора обратной ячейки выбрали центрированную ячейку, т. е. первую зонуБриллюэна. Таким образом, все возможные значения волнового числа к вприведенной схеме зон Бриллюэна заключены в интервале- |< к< | .(5.32)Придавая величине z значения на отрезке (5.31), можно получить наборвсех возможных величин к, лежащих в интервале (5.32).
Значения к распределены в этом интервале с постоянной плотностью и, поскольку величина N очень велика, то можно сказать, что непрерывно. Эти результатыможно непосредственно перенести на трехмерный случай, считая, что выбранный макрокристалл имеет размеры N\ a\, N^a^, N3аз и для каждого изпространственных направлений выполняются, подобно (5.8), циклическиеусловия. Выполнение их требует справедливости для трех составляющихfci,fca,кз по осям обратного пространства вектора к необходимых условий:2TTZI2TTZ2 ,k1 = —-b1, fc2=,— — b 2 , fc3J\i2TTZ3 ,= — _ b 3 ,N2N3здесь bi = ^- есть, согласно представлению (5.22), базис обратного пространства.
Таким образом, получаем, что значения вектора к определяютсявыражением,fc2nzi,= lvr2-KZ2,bl +lvrb2 +2TTZ3 ,b3V -(5 33)-Набор всех возможных значений волнового вектора к можно найти, берявеличины Zi из областиNiiViN2N2N3N3/ г „„-^-<z1<^-,-^<z2<^,-^<z3<^.(5.34)Эта область представляет собой параллелепипед с центром в начале координат. Поскольку эта область эквивалентна объему первой зоны Бриллюэна, которую мы выбрали за основную ячейку обратной решетки, то и в70Лекция 5зоне Бриллюэна находится TVi x Л^ x Щ разрешенных значений волновоговектора к.
Итак, зона Бриллюэна содержит столько допустимых значенийвектора к, сколько элементарных ячеек содержит макрокристалл. Увеличение размеров макрокристалла просто увеличивает плотность состояний вfc-пространстве.Пусть объем макрокристалла, содержащего N3 = Ni • N2 • N3 ячеек,равен v, тогда на одну ячейку приходится объем vn = (v/N3) прямогопространства. Этот объем связан с объемом ячейки обратного пространствасоотношением (5.28):Отсюда можно легко найти объем обратного пространства, непосредственносвязанный с данным волновым вектором кМ^(535Обратная этому значению величина очевидно представляет число разрешенных значений вектора к в единице объема fc-пространства:*i = fn(5 36)-и служит весовым множителем при переходе от суммирования к интегрированию в обратном пространстве (3.10).Лекция 66.1.
Энергетический спектр электрона в поле спериодическим потенциаломКак и раньше, нас будет интересовать в рассматриваемой модели, главным образом, основная характеристика электронного газа — закон дисперсии, т. е. связь энергии с квазиимпульсом. Сейчас у нас имеются все необходимые сведения, позволяющие найти явный вид этого закона. До сих порнам приходилось иметь дело с квадратичным по квазиимпульсу дисперсионным соотношением, вытекающем из приближения свободных электронов.Оно утверждало, что энергия является непрерывной функцией волновоговектора при всех его значениях.Итак, рассмотрим энергетический спектр электронного газа, слабо возмущенного периодическим полем решетки.
Такое приближение для одноэлектронной модели известно как приближение почти свободных электронов. Обратимся непосредственно к одномерной модели и разберем математическую сторону вопроса, а затем остановимся на физических предпосылках приближения.Прежде всего используем свойство периодичности потенциала решетки U (г) и разложим его в ряд Фурье по векторам обратной решетки, также, как мы ранее разлагали в ряд функцию Uk(r):exp{iGn-r),n(6.1)здесь Un — Фурье-образ потенциала U(r). Выражение (6.1) показывает,что потенциал U(r) представляет собой функцию, определенную на дискретном пространстве узлов решетки. Предположим, что U(r) есть слабоевозмущение и воспользуемся обычной теорией возмущений, беря за основное состояние свободный электронный газ, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
