1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(6.23)Это полный гамильтониан системы, вторично проквантованный по плоскимволнам. Он очень удобен в работе и мы им будем неоднократно пользоваться.А сейчас рассмотрим, как можно решить задачу о состояниях электронного газа в периодическом поле решетки в формализме операторов вторичного квантования. Мы будем пользоваться гамильтонианом (6.22), считая,что в системе имеется один электрон и большой набор возможных электронных состояний к. Такой прием вызван тем, что нам необходимо найтизависимость одночастичной энергии от волнового вектора. Основное состояние системы задается гамильтонианом ^ е^С^аСка, возмущением служиткапериодический потенциал. Обозначим одночастичную волновую функциюсостояния г в компактном виде числа частиц в этом состоянии:Поскольку имеется возмущение, то истинная волновая функция Ф не будетсовпадать с одночастичной функцией, а должна быть выражена в формелинейной комбинации этих функций- «<•••>•(6-24)Запишем далее уравнение Шредингера с гамильтонианом (6.22), причем,6.1.
Энергетический спектр электрона81чтобы показать, что рассматривается одночастичная задача, придадим индексу к значок «штрих» и опустим спиновый индекс ак' G'. •• Щ. . .)=Умножим левую и правую часть этого уравнения на сопряженную функциюек. (... rij ...\C£,Ck>гк'г...*к' СЕCj,+G,Ck,|... щ ...) =аг . . .Используя свойство ортогональности одночастичных волновых функций ираскрывая соответствующие матричные элементы, находимггG'гили, преобразуя, можно записать так:aCtiiSjOji — HjOji) + 2_^ iiiоднако aj(5jj = a^, аг50+о>,гU/-^t G'Oj+G',i= U,G'= &J+G', тогда^^=0.Здесь, как и ранее, индексы нумеруют электронные состояния.
Пусть состояние j определено как (к + G), где G — вектор обратной решетки:ak+G(ek+G-= 0.82Лекция бСумму обратных векторов можно обозначить одним векторомG + G' = G",G' = G"G.Таким образом, последнее выражение можно переписать так:E) + Y^ UG"-Gak+G" = 0.(6.25)Это есть уже полученная нами ранее система уравнений (6.7) (в другихобозначениях) для определения коэффициентов оц в выражении волновойфункции возмущенной системы (6.24).
Следовательно, тот же результат может быть получен, используя метод операторов вторичного квантования.Лекция 77.1. Приближение Кронига-ПенниДо сих пор мы не делали никаких предположений, касающихся значения периодического потенциала системы ионов U(r). В действительностиэтот потенциал не представляет собой монотонную функцию, а имеет резкие перевалы вблизи каждого узла решетки. Это значит, что у него имеютсяфурье-компоненты с очень малой длиной волны, это приводит к плохойсходимости рядов, составленных из фурье-образов UQ- В связи с этим приближение почти свободных электронов в чистом виде не может быть реализовано и становится пригодным благодаря введению приема, связанного спсевдопотенциалом. Тем не менее, все качественные выводы модели почтисвободных электронов носят абсолютно всеобщий характер и составляютоснову всех последующих приближений.
Оставляя рассмотрение указанного приема до следующего параграфа, сделаем сейчас некоторые предположения относительно потенциала U(r). Грубым приближением к реальномураспределению его в одномерной решетке является предположение о наличии обрезающего потенциала С/о, позволяющее записать потенциальнуюэнергию электрона в поле решетки в виде:•(r-na),(7.1)здесь S(x) — дельта-функция Дирака. ТаРис 4ким образом, потенциальную энергию электрона можно графически изобразить в форме ступенчатой кривой из одинаковых элементов-ступенек (рис. 4), а — ширина потенциальной ямы, ао — параметр решетки.84Лекция 7Запишем одномерное уравнение Шредингера для электрона, движущегося в периодическом поле, аналогичное (5.5)Мы уже знаем (стр. 63), что это линейное дифференциальное уравнениевторого порядка с периодическими коэффициентами.
Решениями его, согласно теореме Блоха, являются функции (5.6):<p = eik-ru(r).(7.3)Эти решения полностью будут определены, если известна зависимость величины к от коэффициентов уравнения (7.2). Подставим потенциал Кронига-Пенни (7.1) в уравнение (7.2):Ч>2тП2(7.4)г - па)s -Рассмотрим это уравнение в главном интервале ступенчатости, т. е. там гдемы выбрали начало координат.
Периодичность решетки обеспечивает намсправедливость произвольного выбора начала координат:-Ь С г С ОII|ip2 НпZ//tтгЩъ = 0 ,Г» ^^0 $J r ^ а.(7.5)(7.6)hПодставляем в эти уравнения функцию Блоха (7.3):u'{{r) + 2iku'1(r) -ио,"Ir\ _l_ Oi hoi* (<гЛI J-2'£mII \р,2\ / <^^2\ / —— — 9 ~ ^ ^2\' ) — *-*•Здесь удобно ввести обозначение:l-(U0-e)=a2,2тН2(7.7)(7.8)857.1. Приближение Кронига - ПенниТогда последние уравнения можно переписать так:22м-,"(г) + 2г ku[(r) - (к + а ) иг(г) = 0«2 (г) + 2iku'2(r)(7.9)- (к2 - (З2) и2(г) = 0.(7.10)Решения этих уравнений хорошо известны и равны следующим выражениям:Ul{r)=Ае(-гк+а)г+Ве-(гк+а)г( ? _ п )и2(г) = Сег (-к+Р> + D е-1 {к+^г.(7.12)Решения для других участков потенциальной кривой (7.1) имеют тот же вид,что и (7.11), (7.12), лишь постоянные отличаются на фазовый множитель.Постоянные Л, В, С, D следует выбрать, требуя, чтобы функция и{г) иее производная и'(г) были непрерывны в точках, соответствующих скачкупотенциала U(r), т.
е. при г = 0, г = — Ь (г = а):ui(0)=u2(0),wi(0)=u' 2 (0),{[(-b)=u'2(a),Uиг(-Ъ)" '=и2{а).Периодичность решетки позволяет утверждать, что условия непрерывности (7.13) должны выполняться и во всех других точках разрыва потенциала U[г). Присоединяя условия (7.13) к решениям (7.11) и (7.12), находим:A+B-C-D= 0,(ik-a)A + (ik + а)В -i(k-(3)C-i(k+ [i)D = 0,де(гк-а)Ъ _|_ g e(ik+a)b _ Qg i ( — k+ff)a _ JJ g - i (k+/3)a __ g(ik-a)A e(i k~a)b+ (ik + а)В e(i-i (k - [i)C el (~k+P)ak+a)b--i(k+ 0)D e~l (k+^a= 0.Запишем определитель этой системы уравнений относительно произволь-Лекция 7ных постоянных:(ik — a)(ik + a)a-(ik-a)b~(ik — ct)b(ik-a)~(ik + a)b(ik + a)1-i(k-(3)i(k-f))ae-(ik+a)b1-г(к+(3)ае_pi(-k+0)a_p-i(k+0)a = 0.-i(k-P)1-i(k + (3-1Разрешим его, последовательно подсчитывая определители третьего порядка, относительно волнового вектора к.
Имеем, после перехода к тригонометрическим и параболическим функциям:cos(k(a + b)) = ch(ab) cos(/3a)2af3• sh(o:6) sin(/3a).(7.14)Это выражение дает важную связь волнового вектора к с параметрами а и/3. Так как, согласно (7.7) и (7.8), имеем22тТТД2(7.15)пгто, задавая волновому вектору различные значения, можно найти зависимости а(к) и Р(к), или е(к).Используя зависимость (7.14), затем можно было бы определить и сами функции и (г).
Однако прямое решение уравнения (7.14) не возможновследствие его трансцендентности. Согласно Кронигу-Пенни, это уравнение может быть значительно упрощено в предельном случае малых толщинпотенциальных барьеров. Пусть b стремится к нулю, с другой стороны можно потребовать, чтобы обрезающий потенциал Щ стремился к бесконечности. С учетом этих условий и условия (7.15) уравнение (7.14) упрощается:cos(a£;) = cos((3a) +^sm((3a)~^2p~-(7.16)Мы использовали здесь:sh(o;6) « ab,Введем обозначениеch(ab)1 приam „ 7 DUob = Р,п(7.17)7.1. Приближение Кронига - Пенни87чтобы величина Р оставалась постоянной, можно потребовать постоянстваиф при переменных UQ И Ь.С учетом введенных обозначений выражение (7.16) принимает вид:cos(afc) = cos(/3a) + P sm^a>,(7.18)Это хорошо известное уравнение Кронига-Пенни, определяющее явнуюсвязь между собственным значением энергии е и волновым вектором к.Величина Р теперь является приведенным обрезывающим потенциалом.Очевидно, что если правая часть уравнения (7.18) будет меньше единицы, то волновой вектор является вещественным числом и решения (7.11)и (7.12) имеют смысл, если правая часть больше единицы, то к есть мнимаявеличина и (7.11) и (7.12) обращаются в бесконечность.
Трансцендентноеуравнение (7.18) уже можно решить графически для любого значения вектора к. Для этого построим зависимость правой части уравнения от (За;Если Ра = О, то, учитывая, чтоlim - ^ ± = 1,„,^n(_XнаходимС ростом (За до +тг эта функция убывает, становясь равной —1 при тг = (За,при /За > тг функция продолжает убывать и, достигая минимума, затемвновь растет, принимая при /За = 2тг значение + 1 . Далее при /За > 2тг онастановится больше единицы, достигает максимума и затем опять убывает ит. д.
Аналогичная картина складывается, когда /За изменяется в сторону отрицательных углов. На рис. 5 приведен качественный ход рассматриваемойзависимостиОчевидно, что при |/3a| = 2ттп, где п = ± 1, ±2, . . . , ±ЛГ, функция / = + 1 ,при |/За| = (2п + 1)тг имеем / = - 1 .Значения /За, удовлетворяющие условию (7.18), т. е. корни этого уравнения, получим, проводя прямые параллельные оси /За, и на расстоянииcos ka от нее. Меняя ка от 0 до тг и проводя соответствующие прямые,Рис. 5параллельные оси (За, находим точки пересечения прямых с кривой, описываемой функцией /. Эти точки и есть решения трансцендентного уравнения (7.18). При этом видно, что там, где |/| > 1, вещественных корнейнет.
Это значит, что значения (За, соответствующие |/| > 1, а значит и энергии, не являются в этих интервалах собственными энергиями в уравненииШредингера (7.2). Следовательно, весь интервал изменения (За, а значити е, является дискретным, т. е. распадается на зоны разрешенных и запрещенных энергий и значений /За. Разрешенные значения /За на рис. 5показаны жирной чертой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
